Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ю = (чьссх) , 8.89. ю = ( т/х) (п, т — натуральные числа). 8.90. и = е171'т О. 8.91. ю = ~ . 8.92. ю =1я ,/Б ' ' ' 1+,/х' 8.93. ю = е<'"0 (п — целое число). 8.94. ю = х' = е'1'"'. 8.95. ю = з1п? и х. 8.96. ю = — ? и —. 8.97. ю = х + ? и х. 1 1 х 1 — х 1 1 8.98. ю = — Агсвьпх. 8.99. ю = — + Агс18х. хе В задачах 8.100-8.103 построить римановы поверхности заданных функций. 8,100. ю = х' (а — комплексное число).
8.101. ю = ? и ((х — а)(х — Ь)]. 8.102. ю = ? и [(х — а)(х — Ь)(х — с)). 8.103. ю = ? и сбп х. 10 Л.И. Волковыскил и Лр. 8.104. Пусть ~ = у(х) — однозначная или многозначная аналитическая функция, П, и — ее риманова поверхность над х-плоскостью и ю = ?(ь) — однозначная аналитическая функция с областью определения СС. В каких областях на ??, каждое из указанных выражений: 146 Гл.
И/Ь Аналитическое продолжение 1) ю(л) = /[1о(л)), 2) и(л) = /(з)+ 1о(л), 3) ю(л) = /(з)1о(л), определяет единую аналитическую функцию? Рассмотреть, в частности, случай, когда ~р — алгебраическая или обратная к мероморфной, а / — рациональная или трансцендентная мероморфная функция. В задачах 8.105 — 9.2 выяснить, какие нз указанных функций ю(з) распадаются на различные аналитические функции, а какие — нет; определить также их особенности н там, где указано, построить римановы поверхности (и и гп — натуральные числа).
8.105. ю = ч/зз (сравнить с (~Й)з). 8.106. ю = ч/г4 (сравнить с (рз) ). 8.107. ю = ч/ст (сравннть с (~/з)™). 8.108. и = 1/ел. 8.109. ю = 1/з1пз. 8.110. ю =?лг'. 8.111. а~ = Ьпе'. 8.112. и = 1п(з — 1/з). 8.113. и = Ьп(е' —. 1). Построить риманову поверхность. 8.114. и = Ьп з1п г. Построить рнманову поверхность. 8.115. и = Ьп 18л. Построить риманову поверхность. 8.116.
ю = Атосов(созе) (сравнить с соз(Агссозл)). 8.117. ю = Агсгб(18е) (сравнить с 18(Агсгбл)). 8.118. 1) и = (з")"' (гы гз — рациональные числа). Сравнить 2 3 с (л"')"'. Рассмотреть, в частности, гг — — —, гз = —,. 2) и = з" г'ч 3) ю = г"'+л"'. 8.119 ю = бГл ~/Т вЂ” л. 8.120 ю = ~/ Я вЂ” 1. 8.121. ю = фг+ 1 8.122. и = Жп л. Построить риманову поверхность.
8.123. и = Ьп Ьп ю Построить риманову поверхность. 8.124. и = (Ьп (г — 1))'. 8.125. ю = ь/Агсз1г1з. Построить риманову поверхность. 8.126. ю = АгсзшЬпс. Построить риманову поверхность. 8.127. ю = Ьп (Г/л — 1). Построить риманову поверхность. 8.128. и =1п . 8.129. и =Агсз1п —. 1+,/л 1+х 8.130. ю = Ьп з (сч — действительное число). 8.131. ю = т/л+ Ьпл.
Построить риманову поверхность, 42. Особые точки многогночного характера. Римоноеы поверхности 147 8.132. ю = Ьпх+ Ьпх. 8.133. и = Агсз1пх+ Агссозх. 8.134. ю = Атеях+ Агсстйх. 8.135. и = АгтЬх — АгсФЬх. 8.136. Построить риманову поверхность функции ю = (Ьпх)' и исследовать множества предельных значений ю для одной л.т.в. над точкой х = О, получаемые при: 1)г-+О, ~ртсопзй 2)г-еО, сг<у<~3; 3) г = сопзг, и -е асс; 4) г -+ О, р -э тоо.
8.137. Пусть т(х) — однозначная аналитическая функция в круге [х] < 1, нигде не продолжимая за окружность ]х[ = 1. Выяснить, при каких значениях а указанные функции распадаются на различные аналитические функции, а при каких не распадаются: 1) ю = зг(х) + ~/г — а; 2) ю = т(х) Ьп(х — а); 3) ю = з1(а + х"); 4) ю = зг(а + е').
8.138. Выяснить вопрос о распадении функций: 1) ю = Я вЂ” а, 2) и = Ьп (ч — а),. где ~ = Х '(х), а т — функция из задачи 8.137. 8.139. Исследовать поведение отдельных аналитических функ- ций, определяемых равенствами: 1) и = ".г(х)(Ьпх)', 2) ю = зг(х)[Ьп(х — 1)]', где зс(х) — функция из задачи 8.137. Найти, в частности, области неопределенности в окрестности л. т. в. У каза и не. Воспользоваться решением задачи 8.136.
8.140. Пусть Дх) — целая функция. Построить римановы поверхности функций: 1) ю = ьУ7(х); 2) и = Ьп Дх); 3) ю = [У(х)] (а — иррациональное число), 8.141. Построить риманову поверхность функции ю = 1 ~~ х"'. о» п=! 8.142. Пусть Дх) = х+ ~ . Построить рима+2 (2" + 1)(2" + 2) н=г новы поверхности функций: 1) и = ЯЯ; 2) и = ЬпДх); 3) ю = Ьп ([-) +Ьп(( — ). Указание. Предварительно доказать, что функция Дх) однолистна в круге ]х] < 1 и имеет окружность ]х] = 1 своей естественной границей. 10' ГЛАВА 1Х КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 3 1, Формула Кристоффеля-П1варца ') Обозначим через Р ограниченный многоугольник в аьплоскости, Ай (к = 1,2, ..., и) — его вершины, расположенные в порядке положительного обхода Р относительно его внутренности, и сгйя — его внутренние углы (~ ай = и — 2).
Функция ш = 1(х), отображаюй=1 шая верхнюю полуплоскость 1ш х > 0 на внутренность многоугольника Р, определяется по формуле Кристоффеля †Швар Еж,(.) =С/П(, П,,-- ад+С1, О й=й где — ~ю < о1 < аз < ... < а„< оо — точки на оси х, соответствуюшие вершинам А1, Аз, ..., А„многоугольника Р; С н С1 — комплексные постоянные. В формулу (1) входят подлежащие определению точки ай — образы заданных вершин Ай многоугольника и постоянные С и С1. Из и точек ай т р и можно выбрать произвольно, так как дробно- линейным преобразованием верхней полуплоскости на себя их можно перевести в три заданные точки. Определение остальных п — 3 точек и комплексных постоянных С н С1 (всего и + 1 де й с т в и т ел ь н ы х параметров) представляет главную трудность при практическом использовании формулы (1).
В принципе неизвестные параметры могут быть найдены из следуюших соображений. Длина 11 СтероНЬ1 А1А1Е1 (1 = 1,2,...,п — 1) равна а ни ами н )1 = / )Уч(х))г(х = )С) 1~ П )х — ай( " сХх. а, а1 1=1 Длина 1„стороны А„А1 равна асс в а1 в .= '()и -"--" (и -""-'] аа 1=1 -оо й=1 1) К этому параграфу смс [2, гл. чПП 1 7), (3. гл, П, 1 3]; Ко н вен фе л ь с В., Ш те л ь м в и ф. Практика конформнма отображений.— Мс ИЛ, 1963 (в втой книге содержитсн также каталог отображений различного рода многоугольников).
91. Формула Кристоффеля-Шварца 149 Я.1. Доказать, что если одна из вершин многоугольника — образ бесконечно удаленной точки, например, аи = оо, то отображающая ли — 1 функция имеет вид )1з) = С/ Пйз — ай)"" аз+ Сй. о й=й 1 Указа н и е. Совершить преобразование ~ = — —, если все ай ф О, 1 и й = ††, где а ф ай, если одна из точек ай = О (к = 1,2,...
в — а' ..., и — 1). Я.2. Доказать, что если одна или несколько вершин Ай лежат в со, то формула (1) остается в силе, если под айя понимать угол между Ай Ай Ай й-1 Ай, Ай„ 1 Ай' А А, АЙ Рис. 32 соответствующими лучами в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус. Указание. Пусть Ай = оо. Если глй < 1, то рассмотреть многоугольник Р', отсекаемый от Р отрезком А'„.Ай', где Ай и А'„' лежат Составляя отношения длин и — 3 сторон к одной из трех оставшихся, получаем и — 3 независимых уравнения для определев п ния и — 3 точек ай. Тогда функция 4 = ~ Ц(з — ай) ' 'Нз опрео й=й делит отображение верхней полуплоскости на многоугольник Р' в 4-плоскости, подобный данному. После этого строим линейное преобразование ш = С4+ См переводящее Р' в Р. Отображение верхней полуплоскости на внешность того же многоугольника реализуется функцией Р(') = С/ П(' — а'„)л -' ~', „+ С,, (2) о й=й где 6 — точка верхней полуплоскости, соответствующая бесконечно удаленной точке и-плоскости; а' — точки, соответствующие вершинам Ай многоугольника (теперь со ) а' ) а' » ...
ай > — со); и 13йя — внешние углы многоугольника (й3й = 2 — ой ~~' Дй = п+ 2) й=1 Га. 1Х. Конфоржные опяоороженип (нродолзяение) 160 достаточно далеко иа сторонах Ае 1Аь и Ар мАе (рис. 32, 1)), и в формуле (1) для Р' совершить предельный переход А'„— > оо, А'„' -я оо. Если же яяе > 1, то А~А~ соединить в Р ломаной (см. рис. 32, 2)) и, подобно ее расширяя, удалить в со. 9.3. Определить величины аы входящие в формулу (1), для образоваииых параллельными лучами бесконечно удаленных вершин 2) Ае А 3) 4) Ая ~Аз Ае А,,Ае Ая ЦЯЯ~~Ц 6) Ая Ая А "~2 8) А — Ае Ая Ае Ая А Ае Рес.
33 "многоугольников", изображеииых иа рис. ЗЗ. Указание. Совершить предельный переход, аналогичный реко- меядовапиому в указании к задаче 9,2. 9.4. 1) Доказать, что при отображении единичного круга )з) < 1 иа многоугольник Р, расположенный в конечной части плоскости, отоб- ражающая функция имеет вид л п 1(з) = С/ П(е — аь) ' ~ яяз+ Ся, О Е=я где ае = еяо (уя < ярз « ... ио„) — точки иа окружности )е~ = 1, соответствующие вершинам Ае, обходимым в положительном пап- равлеиии, а сяяя — внутренние углы многоугольника Р. 2) Доказать, что фуикция, отображающая единичный круг )з) < 1 у 1.
Формула Крисллоффе*л-Шварца на внешность того же многоугольника Р, при условии, что точка х = 0 переходит в точку ш = оо, имеет вид х «-1 ,)(Х) = С ( П (Х вЂ” ал)ль 1 1с=1 где а„' = ело' ((о1 > срз » ... цл~), а (1ьл — внешние углы Р. 9.5. Найти все случаи однозначного обращения формулы Кристоффеля — Шварца (1), т. е.
выяснить, для каких многоугольников Р обратная функция х = х(ш) определена и однозначна во всей ш-плоскости. Указание. Многоугольники, получаемые из Р любым четным числом зеркальных отражений относительно сторон, должны без пропусков и перекрытий замостить всю ш-плоскость. В задачах 9.6-9.8 отобразить верхнюю полуплоскость 1тх > 0 на указанные области Р, расположенные в ш-плоскости, при заданном соответствии вершин Р и точек действительной оси. Определить также период или периоды обратной функции х(ш), группу С ее инвариантных линейных преобразований ю-плоскости и фундаментальную область В этой группы (см, с, 38). 9.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
