Главная » Просмотр файлов » Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного

Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 25

Файл №1118147 Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного) 25 страницаЛ.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147) страница 252019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

ю = (чьссх) , 8.89. ю = ( т/х) (п, т — натуральные числа). 8.90. и = е171'т О. 8.91. ю = ~ . 8.92. ю =1я ,/Б ' ' ' 1+,/х' 8.93. ю = е<'"0 (п — целое число). 8.94. ю = х' = е'1'"'. 8.95. ю = з1п? и х. 8.96. ю = — ? и —. 8.97. ю = х + ? и х. 1 1 х 1 — х 1 1 8.98. ю = — Агсвьпх. 8.99. ю = — + Агс18х. хе В задачах 8.100-8.103 построить римановы поверхности заданных функций. 8,100. ю = х' (а — комплексное число).

8.101. ю = ? и ((х — а)(х — Ь)]. 8.102. ю = ? и [(х — а)(х — Ь)(х — с)). 8.103. ю = ? и сбп х. 10 Л.И. Волковыскил и Лр. 8.104. Пусть ~ = у(х) — однозначная или многозначная аналитическая функция, П, и — ее риманова поверхность над х-плоскостью и ю = ?(ь) — однозначная аналитическая функция с областью определения СС. В каких областях на ??, каждое из указанных выражений: 146 Гл.

И/Ь Аналитическое продолжение 1) ю(л) = /[1о(л)), 2) и(л) = /(з)+ 1о(л), 3) ю(л) = /(з)1о(л), определяет единую аналитическую функцию? Рассмотреть, в частности, случай, когда ~р — алгебраическая или обратная к мероморфной, а / — рациональная или трансцендентная мероморфная функция. В задачах 8.105 — 9.2 выяснить, какие нз указанных функций ю(з) распадаются на различные аналитические функции, а какие — нет; определить также их особенности н там, где указано, построить римановы поверхности (и и гп — натуральные числа).

8.105. ю = ч/зз (сравнить с (~Й)з). 8.106. ю = ч/г4 (сравнить с (рз) ). 8.107. ю = ч/ст (сравннть с (~/з)™). 8.108. и = 1/ел. 8.109. ю = 1/з1пз. 8.110. ю =?лг'. 8.111. а~ = Ьпе'. 8.112. и = 1п(з — 1/з). 8.113. и = Ьп(е' —. 1). Построить риманову поверхность. 8.114. и = Ьп з1п г. Построить рнманову поверхность. 8.115. и = Ьп 18л. Построить риманову поверхность. 8.116.

ю = Атосов(созе) (сравнить с соз(Агссозл)). 8.117. ю = Агсгб(18е) (сравнить с 18(Агсгбл)). 8.118. 1) и = (з")"' (гы гз — рациональные числа). Сравнить 2 3 с (л"')"'. Рассмотреть, в частности, гг — — —, гз = —,. 2) и = з" г'ч 3) ю = г"'+л"'. 8.119 ю = бГл ~/Т вЂ” л. 8.120 ю = ~/ Я вЂ” 1. 8.121. ю = фг+ 1 8.122. и = Жп л. Построить риманову поверхность.

8.123. и = Ьп Ьп ю Построить риманову поверхность. 8.124. и = (Ьп (г — 1))'. 8.125. ю = ь/Агсз1г1з. Построить риманову поверхность. 8.126. ю = АгсзшЬпс. Построить риманову поверхность. 8.127. ю = Ьп (Г/л — 1). Построить риманову поверхность. 8.128. и =1п . 8.129. и =Агсз1п —. 1+,/л 1+х 8.130. ю = Ьп з (сч — действительное число). 8.131. ю = т/л+ Ьпл.

Построить риманову поверхность, 42. Особые точки многогночного характера. Римоноеы поверхности 147 8.132. ю = Ьпх+ Ьпх. 8.133. и = Агсз1пх+ Агссозх. 8.134. ю = Атеях+ Агсстйх. 8.135. и = АгтЬх — АгсФЬх. 8.136. Построить риманову поверхность функции ю = (Ьпх)' и исследовать множества предельных значений ю для одной л.т.в. над точкой х = О, получаемые при: 1)г-+О, ~ртсопзй 2)г-еО, сг<у<~3; 3) г = сопзг, и -е асс; 4) г -+ О, р -э тоо.

8.137. Пусть т(х) — однозначная аналитическая функция в круге [х] < 1, нигде не продолжимая за окружность ]х[ = 1. Выяснить, при каких значениях а указанные функции распадаются на различные аналитические функции, а при каких не распадаются: 1) ю = зг(х) + ~/г — а; 2) ю = т(х) Ьп(х — а); 3) ю = з1(а + х"); 4) ю = зг(а + е').

8.138. Выяснить вопрос о распадении функций: 1) ю = Я вЂ” а, 2) и = Ьп (ч — а),. где ~ = Х '(х), а т — функция из задачи 8.137. 8.139. Исследовать поведение отдельных аналитических функ- ций, определяемых равенствами: 1) и = ".г(х)(Ьпх)', 2) ю = зг(х)[Ьп(х — 1)]', где зс(х) — функция из задачи 8.137. Найти, в частности, области неопределенности в окрестности л. т. в. У каза и не. Воспользоваться решением задачи 8.136.

8.140. Пусть Дх) — целая функция. Построить римановы поверхности функций: 1) ю = ьУ7(х); 2) и = Ьп Дх); 3) ю = [У(х)] (а — иррациональное число), 8.141. Построить риманову поверхность функции ю = 1 ~~ х"'. о» п=! 8.142. Пусть Дх) = х+ ~ . Построить рима+2 (2" + 1)(2" + 2) н=г новы поверхности функций: 1) и = ЯЯ; 2) и = ЬпДх); 3) ю = Ьп ([-) +Ьп(( — ). Указание. Предварительно доказать, что функция Дх) однолистна в круге ]х] < 1 и имеет окружность ]х] = 1 своей естественной границей. 10' ГЛАВА 1Х КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 3 1, Формула Кристоффеля-П1варца ') Обозначим через Р ограниченный многоугольник в аьплоскости, Ай (к = 1,2, ..., и) — его вершины, расположенные в порядке положительного обхода Р относительно его внутренности, и сгйя — его внутренние углы (~ ай = и — 2).

Функция ш = 1(х), отображаюй=1 шая верхнюю полуплоскость 1ш х > 0 на внутренность многоугольника Р, определяется по формуле Кристоффеля †Швар Еж,(.) =С/П(, П,,-- ад+С1, О й=й где — ~ю < о1 < аз < ... < а„< оо — точки на оси х, соответствуюшие вершинам А1, Аз, ..., А„многоугольника Р; С н С1 — комплексные постоянные. В формулу (1) входят подлежащие определению точки ай — образы заданных вершин Ай многоугольника и постоянные С и С1. Из и точек ай т р и можно выбрать произвольно, так как дробно- линейным преобразованием верхней полуплоскости на себя их можно перевести в три заданные точки. Определение остальных п — 3 точек и комплексных постоянных С н С1 (всего и + 1 де й с т в и т ел ь н ы х параметров) представляет главную трудность при практическом использовании формулы (1).

В принципе неизвестные параметры могут быть найдены из следуюших соображений. Длина 11 СтероНЬ1 А1А1Е1 (1 = 1,2,...,п — 1) равна а ни ами н )1 = / )Уч(х))г(х = )С) 1~ П )х — ай( " сХх. а, а1 1=1 Длина 1„стороны А„А1 равна асс в а1 в .= '()и -"--" (и -""-'] аа 1=1 -оо й=1 1) К этому параграфу смс [2, гл. чПП 1 7), (3. гл, П, 1 3]; Ко н вен фе л ь с В., Ш те л ь м в и ф. Практика конформнма отображений.— Мс ИЛ, 1963 (в втой книге содержитсн также каталог отображений различного рода многоугольников).

91. Формула Кристоффеля-Шварца 149 Я.1. Доказать, что если одна из вершин многоугольника — образ бесконечно удаленной точки, например, аи = оо, то отображающая ли — 1 функция имеет вид )1з) = С/ Пйз — ай)"" аз+ Сй. о й=й 1 Указа н и е. Совершить преобразование ~ = — —, если все ай ф О, 1 и й = ††, где а ф ай, если одна из точек ай = О (к = 1,2,...

в — а' ..., и — 1). Я.2. Доказать, что если одна или несколько вершин Ай лежат в со, то формула (1) остается в силе, если под айя понимать угол между Ай Ай Ай й-1 Ай, Ай„ 1 Ай' А А, АЙ Рис. 32 соответствующими лучами в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус. Указание. Пусть Ай = оо. Если глй < 1, то рассмотреть многоугольник Р', отсекаемый от Р отрезком А'„.Ай', где Ай и А'„' лежат Составляя отношения длин и — 3 сторон к одной из трех оставшихся, получаем и — 3 независимых уравнения для определев п ния и — 3 точек ай. Тогда функция 4 = ~ Ц(з — ай) ' 'Нз опрео й=й делит отображение верхней полуплоскости на многоугольник Р' в 4-плоскости, подобный данному. После этого строим линейное преобразование ш = С4+ См переводящее Р' в Р. Отображение верхней полуплоскости на внешность того же многоугольника реализуется функцией Р(') = С/ П(' — а'„)л -' ~', „+ С,, (2) о й=й где 6 — точка верхней полуплоскости, соответствующая бесконечно удаленной точке и-плоскости; а' — точки, соответствующие вершинам Ай многоугольника (теперь со ) а' ) а' » ...

ай > — со); и 13йя — внешние углы многоугольника (й3й = 2 — ой ~~' Дй = п+ 2) й=1 Га. 1Х. Конфоржные опяоороженип (нродолзяение) 160 достаточно далеко иа сторонах Ае 1Аь и Ар мАе (рис. 32, 1)), и в формуле (1) для Р' совершить предельный переход А'„— > оо, А'„' -я оо. Если же яяе > 1, то А~А~ соединить в Р ломаной (см. рис. 32, 2)) и, подобно ее расширяя, удалить в со. 9.3. Определить величины аы входящие в формулу (1), для образоваииых параллельными лучами бесконечно удаленных вершин 2) Ае А 3) 4) Ая ~Аз Ае А,,Ае Ая ЦЯЯ~~Ц 6) Ая Ая А "~2 8) А — Ае Ая Ае Ая А Ае Рес.

33 "многоугольников", изображеииых иа рис. ЗЗ. Указание. Совершить предельный переход, аналогичный реко- меядовапиому в указании к задаче 9,2. 9.4. 1) Доказать, что при отображении единичного круга )з) < 1 иа многоугольник Р, расположенный в конечной части плоскости, отоб- ражающая функция имеет вид л п 1(з) = С/ П(е — аь) ' ~ яяз+ Ся, О Е=я где ае = еяо (уя < ярз « ... ио„) — точки иа окружности )е~ = 1, соответствующие вершинам Ае, обходимым в положительном пап- равлеиии, а сяяя — внутренние углы многоугольника Р. 2) Доказать, что фуикция, отображающая единичный круг )з) < 1 у 1.

Формула Крисллоффе*л-Шварца на внешность того же многоугольника Р, при условии, что точка х = 0 переходит в точку ш = оо, имеет вид х «-1 ,)(Х) = С ( П (Х вЂ” ал)ль 1 1с=1 где а„' = ело' ((о1 > срз » ... цл~), а (1ьл — внешние углы Р. 9.5. Найти все случаи однозначного обращения формулы Кристоффеля — Шварца (1), т. е.

выяснить, для каких многоугольников Р обратная функция х = х(ш) определена и однозначна во всей ш-плоскости. Указание. Многоугольники, получаемые из Р любым четным числом зеркальных отражений относительно сторон, должны без пропусков и перекрытий замостить всю ш-плоскость. В задачах 9.6-9.8 отобразить верхнюю полуплоскость 1тх > 0 на указанные области Р, расположенные в ш-плоскости, при заданном соответствии вершин Р и точек действительной оси. Определить также период или периоды обратной функции х(ш), группу С ее инвариантных линейных преобразований ю-плоскости и фундаментальную область В этой группы (см, с, 38). 9.6.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее