Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1~Р((1) чз(ьг)! С ь ~~! ьг~ где точки (! и ьг принадлежат контуру С, а й — постоянная. Тогда, если точка контура ~о не является его концом, существует сингулярный интеграл г(чо) = —. /— 1 Г !Л(~) г!Ь' 2яг' г' ь" — ье с определяемый как главное значение интеграла типа Коши. Это главное значение можно выразить через обычный несобственный интеграл по формуле г(ьо) = —./ г р(г) — у (О) 1, р(О) Ь вЂ” ~ сК+ —,з(~о) + —. 2 п —, (2) 2п! г' Ь вЂ” Ьо 2 2лз и — Ь'а с ) Под гладким контуром мы подразумеваем простую (т.
е. без точек само- пересечения) линию с непрерывно меняющейся касатеяьной и не имеющую точек возврата. Впрочем, условии, наложенные на контур С, могут быть значительно расширены. Смл П ри валов И. И. Граничные свойства аналитических Функций.— 2-е изд.— Мл ГТТЛ, !950.— Гл. и!. Можно также рассматривать сложные контуры, состоящие из конечного числа контуров указанного типе. б1.
Интегралы тина Коши 121 где точки о и Ь вЂ” концы контура С, если он незамкнут. Однозначная ветвь Еп выбирается так, что в случае замкнутого контура (а = Ь) член с логарифмом исчезает, и формула принимает вид ~ у'(() — р((с) „ 1 2ггз 1 ( — (с 2 с (2') Если обозначить через Ге((о) и Г ((о) предельные значения интеграла типа Коши Г(г) при г -+ (о соответственно слева от С и сп ра ва от С, то по формулам Сохоцкого Г ((о) — Г((о) + р((п), Г ((о) — Г((п) р((о), (3) или Г((о) — — [Г ((о) + Г ((о)], Г ((о) — Г ((о) — ~р((о) (4) Если контур С замкнутый и порядок его обхода обычный, то Ге(() — предельные значения функции Г"(г), определенной внутри контура (область Рч'), а Г (() — функции Г (г), определенной вне контура (область Р ) д).
(См., например, (2, гл. 1П, 2 3] или ]3, гл. Ш, 2 3] ) 7.1. Доказать, что если С вЂ” замкнутый контур и плотность интеграла типа Коши Ф(г) = — ~ — Ы( может быть представлена 1 г 1о(() 2к1,/ ( — г с в виде ~р(() = ~р+(() + 1а ((), где 1он(() и ~р (() — граничные значения функций, аналитических соответственно внутри и вне контура С, то Ф ( ) =~'~(г) Ф (г) = — М' (г)+Ч' (оо) ) К атому же случаю относится и тот, когда контур — бесконечнан линия, делягина плоскость на две области.
Примечание. Если в условии задачи одна из функций ~р или ут тождественно равна нулю, то интеграл типа Коши обращается в интеграл Коши соответственно для внутренней или внешней областей, 7.2. Пусть С вЂ” замкнутый контур. Найти Г+(г) и Г (г), если плотность интеграла типа Коши — указанная функция (п — натуральное число): 1) 1а(() = (( — а)"; 2) 1а(() = (а внутри С); 3) <Р(() = (а вне С). 7.3. Найти Г+(г) и Г (г), если: 1) функция чг(() — граничное значение функции, аналитической 122 Гл. 1П.
Интегралы типе Коши. Интеграеьные формулы в Р+ всюду, за исключением конечного числа точек аь, где она имеет полюсы; 2) функция 1о((') — граничное значение функции, аналитической в 12 всюду, за исключением конечного числа точек аы где она имеет полюсы (среди ае может быть и точка з = со). Т.4. Найти Г+(г) и Г (г), если ~ — 2 ~г + г~г — ~ + 41 à — З С" — ЗЬг — 4 (г — 4 иС вЂ” ру ..ЦтЗ/2.
Т.б. Найти Р+(г) и Г (г), если ~р(() = стй~ и С вЂ” окружность Ц = 5. 7.6. Найти Г" (г) и Г (з), если уеЯ = и С вЂ” действиьг+ 1 тельная ось, пробегаемая слева направо. П р и м е ч а н и е. Под интегралом типа Коши, взятым по действительной оси Р(г) = — / — г1т следует понимать его главное Т р(т) 2нг,l т — г значение, если он в обычном смысле расходится. Т.Т. Найти Г+(з) и Г (з), а также предельныезначения Р (~) на контуре интегрирования С, если С вЂ” окружность Ц = Л, ае а 1о(ь) = — + 2 (а„солнц+ Ь„а1пну) — равномерно сходящийся ряд 2 п=е Фурье действительной функции гу(В) = ~р(Ее'г). 7.8.
1) Пусть С вЂ” окружность ф = я/2 и /(~) — функция, аналитическая в круге Ц < я/2. Найти функции, определяемые интегралами 1 2н1Г/Яс б(~ — ) С з( ) 2н1/ ( — ) 1 М)К с с в областях, точки г которых обладают тем свойством, что ни одна из точек з + йх (й — целое число) не лежит на С. 2) Решить задачи, сформулированные в п. 1), в предположении, что С вЂ” окружность Ц = н. 7.9. Пусть С вЂ” отрезок [ — 1,Ц, пробегаемый слева направо, и 1о(ь): — 1. Найти Г(з) вне С, предельные значения Р~(~) и главное значение Р(~) на С.
Вычислить, в частности, Р(Ы), Р~(0) и Г(0). 7.10. Пусть С вЂ” полуокружность Ц = В, 0 < агй~ < я (начало в точке Н) и у(г,): — 1. Найти Р(з) вне С, предельные значения Р~(Ь) и главное значение РЯ на С. Вычислить, в частности, Р(0), Р~(гЛ) и Р(ъй). Найти также Р'(0). ой Интегралы типа Коши 123 7.11. Пусть С вЂ” полуокружность Ц = Л, — л < агй~ < 0 (начало в точке Л) и ~р(~) = 1. Найти Г(з) вне С, предельные значения Г~(ь) на С, Г(0) и Г'(0).
7.12. Пусть плотность интеграла типа Коши у(~) = 1/~". Найти Г(з) вне С, если контур С вЂ” указанная линия: 1) граница кольца г < ф < Л; 2) прямая 1ш ~ = л, пробегаемая слева направо; 3) граница полосы (1шз) < л; 4) полуокружность Ц = Л, 0 < агб~ < л (начало в точке Л); 5) полуокружность ф = Л, — л < агй~ < 0 (начало в точке Л).
В пп. 4) и 5) найти предельные значения Г*© на С и вычислить Г(0). В задачах 7.13-7.18 найти Г(з) вне С, предполагая, что контур С вЂ” дуга, соединяющая точки а и Ь, а д(~) — указанная функция. 7.13. ~р(~) = 1. 7.14. р(~) = ь. 7.15. 1) ~р(~) = ь"; 2) у(~) = ~~~ са(" — целая функция. 7.16 р(0 =, (ео ф С). 7.17. Щ) = 1 (зо к С). Вычислить, в частности, Г("о).
(( — е)" У к а з а н и е. Воспользоваться равенством ИО юЫ) — о( ) + ~Ф) — — ~ — е 7.18. Найти Ге(з), Г (з) и предельные значения Г*(~), если С вЂ” окружность Ц = Л, ~о(~) — логарифмическая функция, определенная условиями: 1) ~о(Ч) =!пЬ = 1пЛ+ по, — л < ~р < л; 2) р(~) = Еп ~ = )п Л+ ир, О < у < 2л. У к а з а н и е.
Рассмотреть контур, состоящий из окружности ф = Л с разрезом по радиусу [-Л, 0) в первом случае н (О, Л) — во втором. Примечание. Если не фиксировать заранее ветви логарифма, а требовать ее непрерывного продолжения вдоль контура интегрирования, то интеграл будет зависеть от выбора начальной точки интегрирования. 7.19. Найти Г+(з), Г (з) предельные значения Г"(() на С, если у(~) = 1п —, а контур С: 1) окружность Ц = Л (Л ) 1); 124 Гм у!!. Интегралы тило Коши. Интегральные формулы 2) прямая 1щ ~ = 1, пробегаемая слева направо. 7 20 Найти г'(г) и предельные значения Ел(Ь) на С, если угу = = 1п —, а контур С вЂ” полуокружность ф = й (Н > 1), 0 < вге ~ < а ~ — 1' (начало в точке !1). 7.21.
Найти,('ь(г) и Г (з), если р(О = ~/7 (О < агКЯ < к) и С вЂ” окружность Ц = 1. В задачах 7.22 — 7.24 найти г'~(г), если С вЂ” замкнутый контур, точки а и б лежат внутри него, а д(~) — однозначная ветвь многозначной функции, определенная вне разреза, соединяющего точки а и б и лежащего внутри контура С.
7.22. ф~) = Ьп — (Ьп 1 = 0). 7.23. у(() = — (уг(оо) = +1). Указание. Для отыскания интеграла по контуру, окружающему разрез, разложить — в ряд по степеням ~(О) 1 7 24 ~р(~) = (~ — а)Л(Ь" 6)г-Л (Ф~1 ~ 1) ~-ь с= 7.25. Найти г'~(г), если контур С замкнутый, точка а принадлежитобласти Р, точка Ь вЂ” области Р и у(Д =Ьп— ( — а ь" — о (Ьп 1 = 0) — однозначная ветвь, определенная вне разреза, соединяющего точки а и Ь и пересекающего контур С в одной точке (о.
Указание. Присоединить к С разрез вдоль дуги ~оа, если г лежит в области Р+, и вдоль ~оЬ, если г лежит в области Р 7.26. Доказать справедливость равенств (О < Л < 1): 1 1)/( — ) — = — «1 — ( — ) ~ (г к (О,Ц); о 2) /( — ) — = «1 — ( — ) созЛл~ (т Е (0,1)). о Указание.
Для получения первой формулы рассмотреть интеграл Ноши — ~ ( — ) —, где ( — ) — функция, однознач2нг ! (~ — 1! ~ — е' ~~ — 1! с ная в плоскости с прнмолинейным разрезом (О, Ц и равная 1 на оо, а С вЂ” граница двусвязной области: круга ф < Я (Н > 1) с разрезом по отрезку (О, Ц. Вторая формула получается из первой при помощи формул Сохоцкого. О1. Интегралы типа Коши 125 7,27. Вычислить сингулярный интеграл 1 г )~ — «'+З вЂ” — а ( — 1«*1).
l ~(1+! ! — * — ! 7.28. Найти интегралы: ! ! 1) / 1п — — (з р (О, Ц); 2) Г 1п — — (т с (О, 1)). о о 7.29. Рассмотрим сингулярный интеграл Г(з,!о)= —, I (у=а+ъ0, 0<а<1), 2л! / (т — уг)о(т — г) с где С вЂ” дуга, соединяющая точки а и 6, !о — точка атой дуги и (т — го)о — однозначная ветвь в плоскости с разрезом, соединяющим точки го и оо. Если точка !о совпадает с одним из концов дуги С, то будем считать, что разрез проходит по всему контуру С; если же точка го внутренняя, то разрез проводим по дуге (!о,Ь) контура С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
