Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если обозначить через С окружность круга К, в котором уравнение х — а — ш7'(з) = 0 имеет только один корень (см. задачу 4.280), то ф( ) г к) 1 — юР'(е) 2ка / Ь вЂ” а — вх'(Ь) с Разложить далее подынтегральную функцию в ряд по степеням щ и оценить остаточный член. дб. Раенреденение нулей. Обращение радое 101 4.282. Пользуясь обозначениями предыдущей задачи, доказать н йе — 1 формулу Лагранжа Ф(з) = Ф(а) + ~~ф —, — „, (Ф'(а)[Да)["). н=! Получить отсюда, в частности, разложение самой функции з = = з(ю) в ряд Тейлора.
Указание. Применить к функции Ф(з)[1 — ю~'(е)[ решение предыдущей задачи. 4.283. Разложить в ряд по степеням ю каждую из ветвей функции з(ю), определенной уравнением ю = 2з+за (для одной ветви з(0) = О, для лругой з(0) = — 2). 4.284.
Разложить в ряд по степеням ю ветвь функции з = з(ю), г — а определенной уравнением ю = 2, для которой з(0) = а. ег — 1 4.285. Исходя из определения полиномов Лежандра Р„(г), с по- 6 862 1 (см. задачу 3.108) доказать, что Р„(з) = — — [(з 1) "[. 2ндг йен У к а з а н и е. В условиях задачи 4.284 применить формулу Лагран- 1 г "ф-- фм! — 2 +Ы 4.286. ФУ « *=и ) 6 8 =6 равенством ю = зе "'. Разложить в ряд по степеням ю: 1) з(ю). 2) еьф(26) 4.287. Разложить по степеням ю функцию з = е(ги), определенную в окрестности точки ю = 0 уравнением Кеплера з — а = юагпз (а ф О,юн,ю2я, ...).
4.288*. Определить радиус сходимости полученного в предыдущей задаче разложения з(ю) в случае, когда а = н/2. 4.289. Показать следующее обобщение теоремы Лагранжа. Пусть ,г(з) и 1е(з) — функции, аналитические в окрестности точки а, С— окружность с центром в точке а радиуса г такая, что во всех ее точках [ггДз) + гуур(з) [ ( т.
Если Ф(ь) — аналитическая функция единственного корни уравнения з — а — сгр'(з) — бур(з) = О, то ФЮ = Ф(о)+~~6 и,", „,„, (Ф'(о)У(о)[ [фр(о)[ ), где суммирование распространено на все гв и п, кроме т = и = О. ГЛАВА У РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 3 1. Функциональные ряды В задачах 5.1 — 5.10 найти области сходимости данных рядов. 5.1. ~ ~ли+ — „). 5.2. ~ ( —, + — „). 5.3. ~ [ а=о п=о и=1 пп 00 п сп п=1 и=1 п=а п=о п и СЮ п 5.8. 1 —. 5.9. т — „.
5.10. 7 с ~1 зп хг 11+ з1и' ' ',~ ~(4+э)(4Ч з1) (4+ли)' п=1 п=о п=1 оп ОО и х т апз 5.11 . Доказать, что если ряд 1 ап сходится, то ряд 1 2 п=1 СО п=1 сходится всюду, где ф ~ 1; если же ряд ~ ап расходится, то п=1 сп сп аппп ряд т сходится в круге сходимостн ряда ~ апз и рас- 1 — гп п=1 п=1 ходится вне этого круга. апзп 5.12. 1) Разложить в ряд по степеням г сумму ряда т и найти радиус сходимости полученного ряда.
2) Доказать, что при )з) ( 1 ~~~ 1а(п) — = „где 1 — зи (1 — г)1' и=1 Ч1(т1) — количество тех натуральных чисел, меньших и, которые взаимно просты с п. Указание. Воспользоваться известным в теории чисел соотношением ~ 1р(н) = т, где и пробегает значения всех делителей числа т, включая 1 и пт. 5.13. Разложить функцию 1,(з) = ~ — = ~ ~е'1" п (дзета-фуялп=! п=1 ция Римана) в ряд Тейлора в окрестности точки з = 2 и найти ра- у л. Функциональные ряда 103 диус его сходимости. В задачах 5.14-5.17 найти суммы данных рядов ф~ ~ 1). 5.14.
~ ( „— и,). п=1 и 5.15. 7, . Указание. Умножить числитель и (1 еп)(1 пь1) ' п=1 знаменатель на (1 — л). Оп ь оо, -ь 5.16. ~~1 „. 5.17. ~ "=' П(' у=о 5.18. Доказать предложения: СЮ 1) для равномерной сходимости ряда ~1„(г) на множестве Е п=1 необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое число М = Х(е), что для всех и > Х, всех е б Е и любоп.~-р го натурального числа р выполнялось неравенство ~~ )ь(г)~ ( е; Ь=п-~-1 2) из равномерной сходимости ряда ~1 )(п(е)~ на множестве Е п=1 следует равномерная сходимость на этом же множестве ряда Ь-() п=1 5.19.
Найти множества, на которых равномерно сходятся данные последовательности: 1)( — „); 2)( и); 3)( — ). 5.20. Доказатьн для того чтобы последовательность непрерывных функций (1„(л)) равномерно сходилась на ограниченном замкнутом множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность сходилась во всех точках этого множества и чтобы она сходилась непрерывно во всех предельных точках множества Е, т.
е. чтобы для всякой последовательности точек яп, принадлежащих множеству Е и сходящихся к точке ло, 11пь 1„(лп) = 1(зо). В задачах 5.21 — 5.25 найти множества, на которых равномерно сходятсн данные ряды. 5.21. ~ — (еп+ —,). 5.22. ~~1 е п=1 п=о 104 Гл. К Различные функциональные ряды. Интегралы от наральтера 5.23. ~~ Е * 1" и 5.24. ь С, и.
и=1 и=! и 5.26. Доказать, что ряд ~ — равномерно сходится в замкнул ~пг п=1 том круге )г( < 1. Будет ли сходиться равномерно в круге (г) < 1 ряд, полученный почленным дифференцированием? ( 1)и 1 5.27. Доказать, что ряд Ъ вЂ” сходится равномерно в лю...+и и=1 бой конечной части плоскости, из которой удалены круги сколь угодно малого радиуса р с центрами в точках г = О, — 1, — 2, ... Доказать также, что этот ряд ни в одной точке не сходится абсолютно.
юпг 5.28. Доказать, что ряд ~ — сходится равномерно в интерваи ле ( — 1,0), а ряд 1 ~ — ~ в этом же интервале сходится, но.не рави ьа=1 и номерно. ~Таким образом, ряд ь — в интервале ( — 1,0) нельзя маи п=1 жорировать сходящимся числовым рядом.) П р и м е ч а н и е. Настоящий пример показывает, что д о с т а т о чный признак равномерной сходимости Вейерштрасса не является н е о б х о д и м ы м. 5.29. 1) Ряд 2, сходится абсолютно при ф ) О, )агйг( < (1 + гг) и п=о < я/4 (эти значения г не исчерпывают всей области абсолютной сходимости, которая, как легко видеть, состоит из точки г = 0 и внешности лемннскаты ~1+ г ~ = 1).
Доказать, что ряд в указанной области сходится неравномерно. П р и м е ч а н и е. Это показывает, что даже из абсолютной сходи- мости ряда в замкнутой области не следует равномерная сходимость. 2) Доказать, что в этой же области ряд 1, сходИтсЯ ран- 3, 11+ге)п п=е номерно и абсолютно, но не абсолютно равйомерно (т. е. ряд из модулей не сходится равномерно). 5.30. Доказать, что если ряд ~ ) Гп(г)) сходится равномерно во и=1 всякой замкнутой области, внутренней по отношению к области 6', то этим же свойством обладает и ряд ~ )Яг)). и=1 ба.
Ряды Дирихле 1оа 2 2. Ряды Дирихлег) Ряд вида ~~1 а„е ""', где а„— комплексные коэффициенты о=1 и ˄— положительные числа, удовлетворяющие условиям Л1<ЛЧ<... и 11щ Л„=со, называется рядом Дирихде с положительными показателями. 5.31. Доказать, что если рлд Дирихле сходится в точке до = хо + + суп, то он сходится во всех точках полуплоскости Вез > Веге, причем сходимость РавномеРна в каждом Угле ~агб(д — хп)~ < 0 < л/2. Указание. Применить преобразование Абеля к сумме Ч Ч Е =Е -Л г — Л эое-Л (л-ло) и = ~~а„е о=р п=д и воспользоваться неравенством (а < 6, г =- х + Чу) ь )е "— е ~'! = (з/е '101~ < ) (е '* — е ел) о 5.32. Доказать, что если рнд Дирихле сходится абсолютно в точке д = дп, то он сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Вез > > Вега.
Из теорем, сформулированных в задачах 5.31 и 5.32, следует, что областью сходимости ряда Дирихле (если таковая существует) являетсн полуплоскость Вез > х, (х, > -оо), а областью абсолютной сходимости (если таковая существует) — полуплоскость Вез > х, (х, > -оо), причем ряд либо сходится абсолютно на всей прямой Вед = х„ либо не сходится абсолютно ни в одной точке этой прямой. Числа х, и х, называют соответственно абсциссоб сходимости и абсциссоп абсолютной сходимости ряда Дирихле. В задачах 5.33 — 5.39 найти абсциссы сходимости (х,) и абсциссы абсолютной сходимости (х,) данных рядов. ОО со 5.33. ~ е " е '" . 5.34.
~ е ""'"" =о =2 1 и оо 5.35. ~1 ( ) ""'"" 5.36. ~~~ (-1)" п=з п=з 5.37. ~( — 1)"е """ 5.38. ~ ~— е '"". 5.39. ~е' е *" . п=1 о=.1 о=о 1) по поводу приводимого цикла эвдач см., иапример, (2, гл. 1лг, 1 2). \Оа Г*. К Различные функциональные рады. Интегралы от иаралстера — 1и )аи! х, =х„= 1!щ са — а си Ли !и та 5.40. Доказать, что если !пп — =О, то и-асо Ли — 1и и 5.41. Доказать, что если 1пп — =1, то «-аоо Л„ х,— х,<1.
В задачах 5.42-5.46 исследовать сходимость ряда Дирихле на границе полуплоскости сходимости. 5.42. ~~а ( — 1)и '"" 5.43. ~ 'л~иг «=1 «=1 си 1 и ,1% 5.44. ь — е '" 5.45. ь — е '" 5.46. ь е '". «=1 «=1 Указание. См. задачу 3.64. «=1 3 3. Интегралы, зависящие от параметра Сходимость интегралов 5.49. Доказать теорему; пусть С вЂ” простой контур (замкнутый или незамкнутый), имеющий конечную длину, и !(т,х) — функция, аналитическая по переменной з и непрерывная по т для всех з из не- В задачах 5.47, 5.48 рассматриваются ряды Дирихле с комплекс- ными показателями. 5.47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
