Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рассмотреть — /,, где контур у указан на 2кг,/ а» сбил»' рис. 12, и перейти к пределу при 11 — ь оо. 1 Гед» 4.130. — / —, где контур интегрирования С указан на рис. 13. 2кг сое» с Определенные интегралы Если функция 1(х) обращается в бесконечность при х = с (а < < с < Ь), то главным значением интвг- ь рала /1(х) г1х по Коши называется а 1 е-г ь О а е-~- -аь Это определение естественным образом обобщается на случай криволинейно- Рис.
12 го интеграла. Если функция 1(х) непрерывна на всей числовой оси, то глав- ею н ным значением интеграла / Дх) г(х называется 1пп / 1(х) г1х. Ж-гаа З 44. Вычисление ингивгралое З1 В задачах 4.131-4.138 найти определенные интегралы. В случае, если интеграл несобственный и расходится, найти его главное значение (если оно существует). зл 4.131. 1 (а > 1). Указание. Положить есл = з. г 41с а+соз1с о 4.132. / ~, (а > б > 0).
о 2л 4.133. г' ~,, (а > О, 6 > О). (а +Ь з'р) о зл 4.134. / ~р , (а — комплексное число и а ~ х1). 1 — 2а сов р + аг с зл 4.135. ~, (а — комплексное число и а ф х1). соз' Зр ИЧс / 1 — 2асову+аг о зл 4.136. /сс" е соз(пр — з1п р) ЫЧг (и — целое число). о Л 4.137. /1н(х+ га) с(х (а — действительное число). о 4.138. /с18(х+а)Нх (а — комплексное число и 1ша ф 0). о 4.139. Доказать, что при б > а > — 1 и лг'з г лГ(а+ 1) /соз' гр сов Ь;р га†2- Г( — "+1)Г~ — + 1) Указание. Рассмотреть /(в+ -) х сгз, ь-г л~ с где С вЂ” контур, изображенный на рис.
14, 1 / и устремить радиусы дуг маленьких окружностей к нулю. При вычислении интеграла по вертикальному отрезку разбить его на два и соответствующими подстановками свести их Ркс. 14 к эйлеровым интегралам первого рода; воспользоваться также известным соотношением между эйлеровыми интегралами В(р,д) = Р и формулой Г(р)Г(1 — р) = Г(р+ а) в1п лр б Л.И. Волкооыскка к Лр. 82 Ге. 1У. Ркд Лорана.
Особне точки однозначних анааитических функций В задачах 4.140-4.146 вычислить интегралы с бесконечными пределами. -Ос о 4.142. ~, (и — натуральное число). дх / (хч Ч. цп о ОО о Г дх 4.145. ~ (и > 2 — натуральное число). /1+хо Г дх Указание. Рассмотреть интеграл (, где С вЂ” контур, ) 1+оп' с состоящий из лучей ахнх = О, асях = 2к(п и соединнющей их дуги окружности. хп 4.146. ~,„с(х (и > 2). Примечание.
Метод вычисления интегралов из задач 4.145 и 4.146 переносится иа интегралы от рациональных функций вида В(х"). 4.147. Доказать, что — ~ — — ' (и и 1 г дт ч~ " '(и+/с — 2)! 2к1 l тпттк (25)пче '(Ь вЂ” 1)!(и — 1)! с й — натуральные числа), где С вЂ” прямая, параллельная действительной осн и отсекающая на мнимой оси отрезок, равный й (и > О). 1 г дт 4.148. Вычислить интеграл — ~ (Й вЂ” натуральное 2к1 .I тту(т — х) с число), где С вЂ” контур предыдущей задачи.
В задачах 4.149 — 4.152, пользуясь леммой Жордана (см, задачу 3.17), вычислить указанные интегралы. х сое х Нх 2) х е1о х Их ./ хе — 2х+ 10' / хч — 2х+ 10' 4. 150. / хч+4х+20 Г соеах 4.151. ~ — с(х (а и Ь вЂ” положительные числа). '.) *'+ь о 44. Вычисление интеграаое 4.152. ~ — 21х (о и Ь вЂ” положительные числа). Г хашах ./ х2+ Ь2 о 4.153. Пусть Дх) = е' 'Ь"(х), где т > О, а функция г'(х) обладает следующими свойствами: 1) в верхней полуцлоскости она имеет конечное число особых то- ЧЕК О1, аз, ..., а„; 2) аналитична во всех точках действительной оси, кроме точек х1, хз, ..., х, являющихся простыми полюсами; 3) Е(х) -+ О, если х -+ оо и 11п х > О.
Доказать, что 00 т т / 1(х) 22х = 2х2~ ~ ~гезу(х)], „+ — ~~2 гез'Ь2'(х)], — СО 1 — — 1 Ь=1 где интеграл понимается в смысле главного значения (относительно всех точек хь и сс). В задачах 4.154 †.158 найти главные значения указанных интег- ралов (2 — действительное число). ! 222 СО 4.154. / — 2(х.
4.155. / 2 (х2 + 4)(х — 1) / 1 + х2 2 1 — х2 В задачах 4.159 — 4.164 вычислить указанные интегралы (а и Ь— положительные число). 00 2 2 ОО СО 4 159 1 22х. 4.160. 2 4.161. 1 / хсЕЬ' х ' ' / х(х2Ч-Ь2)' ',I х(хи+Ь')2 о о о ~соз2ах — соз2Ьх 4 2 х. х о / хе У к а з а н и е. Воспользоваться 221* 1 интегралом / 2 22х, где кон- С тур С указан на рис. 15.
Рис. 1Ь Г2Ш Х 4.164. ~ — 22х. У ь а з а н и е. Воспользоваться интегралом / х2 о е222 — Зе22 + 2 Нх, где контур С указан на рис. 15. с а4 Гж!11 Рнд Лорана. Осодыв точки однозначны» аналижических яункций р В задачах 4.165-4.168 вычислить интегралы, считая, что хР > 0 при х > 0 (зто условие сохраняется во всех последующих задачах). сс С 4.165. 1) / х" 4 соя ах с(х (а > О, 0 < р < 1); Ос С р й * 2) /хи «з1пахс(х (а>О, — 1<р<1). о Указание.
Воспользоваться интегралом »Р 'е "с(», где контур С указан на рис. 16. С 4.166. / созх" Нх (р > 1). о 4.168. / «1х (р > — ). о 4.169. Пусть рациональная функция г(») имеет полюсы ог, о», ... ..., о„, ни один из которых не лежит на положительной части действительной оси и не равен нулю, и р — такое действительное число, что 1цп (»Р+' Г"(»)) = 1пп (»Р~'1(»))=О. * — «о «-«сс Доказать, что: 1) если р не целое число, то ~хр Г'(х) Ых = — е "рс 'р гез (»ру(»)],— „; Ми кр к=в 2) если р — целое число, то ~хг1(х) с(х = Рис.
17 — гез(»РЬп». 7(»))« — „, ь=! 4.167. / ьйп хР с(х (~р~ > 1) о где Еп» = 1п ф + «аг8» и 0 < агб» < 2х. Указание. Рассмотреть соответственно интегралы /»Рг'(») 4» с и «(»Р 1,п». г'(») Н», где С вЂ” контур, изображенный на рис. 17. с сс 4.170. Вычислить / (О <р< 1). Нх »Р(х+ 1) о 4.171. Доказать, что Г(а)Г(1 — а) = (О < и < 1). вгика яв. Вычисление интегралов яя Указание. Воспользоваться известным соотношением между эйлеровыми интегралами Г(а)Г(Ь) = Г(а+ Ь)В(а,Ь) и произвести в 1 интеграле, определяющем бзта-функцию В(а, Ь) = /х' '(1 — х)~ ' г1х, о замену переменной, положив х = у/(1+ у).
Примечание. Соотношение, доказываемое в задаче лишь для действительных чисел а, заключенных в интервале (9,1), справедливо для всех комплексных чисел. При г = — п, где и — натуральное число, обе части равенства обращаются в со. В задачах 4.172-4.174 вычислить указанные интегралы. 4.172. / ", ( — 1<р<1). 4.173. /,, ( — 1<р<3). о о 4.174. Их (-1<р<1, — я<Л<я). хг + 2х соя Л+ 1 о 4 175. Пусть рациональная функция 1(г) имеет на положительной части действительной оси полюсы лишь первого порядка Д, Дз, ..., Д, а среди других ее полюсов оы аз, ..., а„(если они есть) нет равного нулю. Пусть далее р — такое действительное число, что 1пп [ги''7'(г)] = 1пп [ггы.г(г)] = О. Доказатгч понимая под интегралом его главное значение, что: 1) если р не целое число, то х"1(х)г1х = и т — е "' ~ атея [г "Дг)] = „— я с18 яр ~ 1)еи гея [((г)]г — д,, и=1 а=1 где хи > О при х >О; 2) если р — целое число, то хг,г"(х) дх = о и Пй — гея [гв Ьп г ((г)],-„, — ~~~ Я(1п 11е + я1) гея [1(г)],-яи; ветвь Ьпг выбирается так же, как в задаче 4.169.
В задачах 4.176 — 4.178 вычислить главные значения интегралов. ее СО 4 176. / . 4.17Т. / о о ао Гл.11з. Рнд Лорана. 0сойые точки однозначных аналитических функций сер рс 4.178. / — ( — 1 < р < 0). 4.179. / — (О < р < 1). о — сс В задачах 4.180-4Л86 вычислить указанные интегралы. 1 гх' "(1 — х)Р 4.180. ~, с(х ( — 1 < р < 2).
Указание. Рессмот- (1» )з о Г с' '(1 — с)Р реть ~, сзх, где С вЂ” указанный на рис. 18 контур, огра- (1» )з с ничиваюший двусвязную область, и перейти к пределу при Н -+ оо. 1 4.181. ( з1х ( — 1 < газ 1жхз о <р<2). Указание. Доказать, что !пп ' ' зЬ=2лзе а ', я — зо»,/ 1+ сз ск где Сн — обходимая в положитель- Рнс. 1В ном направлении окружность (з~ = В. 1 х' Р(1 — х)Р д о 1 4183. /( — ) — (-1<р<1, а>0). о 1 4.184. / ( — ) „(-1 < р < 1, а > 0). о 1 з р 4.185. /( ') (, ) с(х (-1<р<2). 1»-хз -з 1 4.186. з' ' з а+ ) озчз:.Т ' 1 4.187.
Вычислить интеграл (,, где ъТ вЂ” х ) 0 дх (х — а) ~/~ — х' — 1 при — 1 < х < 1, а — комплексное число и а = х1. Найти, в частности, значения интеграла при а = хез (О < а < х), а = зу ро'. Вычисление интегралов и — 1 < а < 1 (главное значение). 1 /х" '(1 — х) 4.188. Вычислить интеграл ) Ых, где 0 < р < 1, Ь вЂ” х о Ь вЂ” комплексное число и Ь ф О, Ь ф 1. 1 4.189.
Вычислить интеграл ) (п = 2, 3, ...). г!х о 4« Указание. Рассмотреть интеграл ), где С вЂ” контур, 1 «и' с состоящий из разрезов по радиусам-векторам точек 1, и/, и/2, ..., го" ', Рис. 19 Рис. 29 где ы =. е«"/", и окружности !«~ = «1 > 1. (Этот интеграл может быть вычислен и с помощью бэта-функции Эйлера.) В задачах 4.190-4.195 вычислить интегралы (а > 0). 7!пхйх 4.190. ) — „,. Указа н и е. Воспользоваться интегралом ,) хе + аг о !и «с!« „где контур С указан на рнс. 19. «2 ! 11~ с 4.191. ! . 4.192.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
