Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 12
Текст из файла (страница 12)
п=е «=О 3.53. Радиусы сходимости рядов ~ а«»« и ~~ Ьпхп равны соотп=е «=О ветственно г! и тх, Что можно сказать о радиусах сходимости рядов: 1) ~ ~(ап ~ Ьп)х"; 2) ~ а«Ь«х"; 3) ~~3 — пхп? «=О «=О п=е 3.54. Просуммировать при ф < 1 следующие ряды: «О п 1«Е! ОО 1)~~ их"; 2) 3 —; 3)~~! ~~; 4)~~! ( — 1)«+'— «=1 «=1 «=о «=1 Гл.
1П. Интегралы и степенные ряда Поведение на границе круга сходимости В задачах 3.55-3.61 исследовать поведение степенного ряда на гра- нице круга сходимости. с« сс «с 3.55. ~~г г". 3.56. ~~г —. 3.57. ~~ «=О п=1 =1 цп Еп 3.58 ~~ г". 3.59. ~~ — (р — натуральное число). =1 «=1 3.60. ~ ( ) гзп '. 3.61. ~~ 1пп 111 ' Вторая теорема Абеля Согласно второй теореме Абеля, если ряд ~с„сходится, то п=О 1пп ~~~ с«ге = ~~~ сп (О < г < 1).
3.62. Показать, что теорема„обратная второй теореме Абеля, не имеет места, т. е. привести пример расходящегося ряда ~ ~сп, для «=О которого существует предел 1пп г спг". ,,1- п=о 3.63. Пользуясь второй теоремой Абеля и решением задачи 3.54, доказать следующие равенства: 1) ~ — '~ = — 1п (2 агп ~ ! (О < ! р( < гг); п=1 2) ~~г = (0<1О<2я); «=1 3) ~ ( ~ = — 1п)сьб~~~ (О</ф<я); «=О ~у» ьда(2п+1)Гс я 2п+1 4 «=О 5) ~ ~( — 1)п'"1 — = 1п(2а1п-) ( — гг < гр < гг); «=1 2 «=1 лб. Ряд Тейлора 1)~~/Щ и 3.64*.
Доказать, что ряд ~~~ сходится неабсолютно и=1 во всех точках границы круга сходимости. Указание. Если г = 1, то разбить ряд на группы слагаемых одного знака и показать, что эти группы удовлетворяют условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов. Если ]з] = 1 и з ~ 1, то воспользоваться теоремой из задачи 1.90, положив ап = [ — 1)[ гл)з", Ьп = 1/п. 3.65. Доказать, что если последовательность действительных положительных чисел (а„) монотонно стремится к нулю и радиус сходимости РЯда ~ аплп Равен 1, то этот РЯд сходитсЯ всюдУ на окРУжп=е ности ]я] = 1, исключая, быть может, точку я = 1.
Указание. Воспользоваться признаком сходимости Дирихле [см, задачу 1.88). 3,66. Доказать, что если ряд ~~~ спгп сходится в точке ~ = Ве'е на п=а окружности круга сходимости, то он сходится равномерно во всякой замкнутой области С, принадлежащей кругу сходимости, лежащей в угле между какими-нибудь двуми хордами окружности ]г] = й, выходящими из точки ~, и не содержащей никаких точек окружности [з] = 77, кроме точки ~. Примечание.
Это утверждение является более общей формой второй теоремы Абеля (см., например, [2, гл. П1, З 7]). 3 5. Ряд Тейлора Разложение функций в рнд Тейлора В задачах 3.67-3.81 указанные функции разложить в степенной Ряд ~ сп=" и найти радиус сходимости. п=о 3.67. сЬг. 3.68. зЬг. 3.69. а1п~з. 3.70. сЬгг.
3.71. [а+ -)е [ае = е'"'""). З.Т2. ~lз+г' (~/г = — 1. ~/2 / 3.73. (Ь ф 0). З.Т4.. 3.75. аз+ Ь г 4 +13' ' '( +Цг' З.Т6. 1и —. 3.77. Агсь8л (Агсь80 = 0). 1+я 1 — я 3.78. АгаЬл [АгаЬО = О). З.Т9. 1п [зг — Зл+ 2) бй. Р атеа р 55 3.101. Доказать, что все числа Бернулли с нечетными индексами, кроме В„равны нулю. (- ) У к а за н не. Воспользоваться тождеством — з. ел — 1 е' — 1 3.102. Разложить в ряд по степеням з функцию зстйз и найти радиус сходимости полученного ряда. Указание. Воспользоваться вытекающим из формул Эйлера равенством з стй г = ье + 2зз/(ещл — 1).
3.103. Разложить данные функции в ряды по степеням з и найти радиусы сходимости полученных рядов: 1) )п —; 2) 13г; 3) !псозщ 4)— Л ешз 3.104. Доказать, что коэффициенты с„разложения 1 = ~с„ю" 1..- сг =о удовлетворяют соотношению с„= с„~ + с„з (и ) 2). Найти с„н радиус сходимостн ряда. Примечание. Числа с„называются числожи Фийоначчи. 3.103. В разложении,, = ~~~ с„з" (о ~ О) найти А+ Вг+ Сз' о+ Дз+ те + да и=о со, сы сз, а также рекуррентпае соотношение между с„, с„„с„з, с„з (и > 3). Производящие функции систем многочленов Если в некотором круге ф < Л имеет место разложение '(' з) = Е ~-(з)'" а=о то функция Г(т,з) называешься производящей функцией для последовательности (Г„(г)). Часто некоторые свойства последовательности функций (,Г„(з)) удается доказать, опираясь на свойства ее производящей функции.
3.106. Полиномы Бернулли у„(з) определяются разложением е" — 1 ч Фп(е) и е~ — 1 ~-~ и! =о Доказать следующие их свойства: 1) 1зо(л + 1) 1зе(з) пе 2) если т — натуральное число, то ~"+~ 1+ 2е + 3е + + (~п 1)е. и+1 5 Л.н. Волковыскиа и Лр, 45. Ряо Тейлора бт Найти производящую функцию для последовательности (Ь„(г)) и с ее помощью получить рекуррентную формулу, связывающую ь„4(г), ь„(г) и е„+2(г). П р и меч а н ие. В задачах 3.107 — 3.111 рассмотрены лишь некоторые частные свойства указанных систем полиномов. О других важнейших их свойствах, играющих большую роль при решении различных задач математической физики, см., например, [3, гл.
УП, 2 2) или: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — Мл Гостехиздат, 1951. — Т. 1, гл. П, ЧП. Решение дифференциальных уравнений В задачах 3.112 — 3.114 найти решения данных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие условиям щ(0) = О, ш'(0) = 1. я 2 3 2 4 3.113. (1 — 22)шо — 224о'+ п(п + 1)4о = О.
3 114 (1 — 22)4оо — 424о' — 24о = 0 3.115. Разложить в ряд вида ~ с„г" функцию соз(птагсз1пг) =е (агсз1пО = 0), составив дифференциальное уравнение, одним из решений которого является эта функция. 3.116. Дифференциальное уравнение Ы'4Е а'4о г(1 — г) — + [с — (а + Ь + 1)г) — — абш = 0 йг йг называется гипергеометрическим. Найти аналитическое в точке г = 0 решение ш(г) гипергеометрического уравнения, удовлетворяющее условию 4о(0) = 1, предполагая, что с не равно нулю или целому отрицательному числу.
3.117. Доказать, что общее решение гипергеометрического уравнения имеет вид (с не равно целому числу) 4о = С4Г(а„б,с,г)+ Сгг' 'Р(а+1 — с, 5+1 — с, 2 — с, г), где г'(а, б, с, г) — функция, определенная в предыдущей задаче (гипергеометрическнй ряд).
3.118*. Доказать, что если с не равно нулю или целому отрицательному числу, то ИР(а, б, с, г) еб йг с Га. П1. Иягяегрегы и сегелекные ряды ба 3 6. Некоторые приложения интегральной формулы Коши и степенных рядов Нули аналитических функций 3.119. Доказать, что точка го тогда и только тогда является нулем порядка Й аналитической функции Г(г), когда в некоторой окрестности точки го имеет место равенство /(г) = (з — зо)" ~р(з) „где фУнкциЯ д(г) аналитична в точке го и 1е(го) ~ О.
3.120. Найти порядок нуля з = 0 для функций: 1) зз(е» 1). 2) бзшзз+ гз(гб 6). 3) еыпг егаг 3.121. Точка ге является нулем порядка ?г для функции 1(г) и нУлем поРЯДка 1 ДлЯ фУнкЦии 1Р(г). Чем Явлаетса точка го длЯ следующих функций: 1) ((з)~р(з); 2) ~(г) + 1е(з); 3) ((г)(~р(з) ? В задачах 3.122-3.136 найти порядки всех нулей данных функций. 3.122.
з + 9. 3.123. —. 3.124. гсйпг. 2 г +9 г4 2 г 3.125. (1 — е*)(гз — 4)з. 3.126. 1 — собз. 3.127. 3.128. ~ . 3.129. е'е' 3.130. лйпз г. з 3.131. — '. 3.132. аьпгз. 3.133. созе г. 3.134. * . 3.135. ( е — 2) . 3.136. е — 2 — 2 е Теорема единственности 3.137. Может ли последовательность нулей (или вообще А-точек) функции, отличной от тождественной постоянной и аналитической во всей конечной плоскости, иметь предельную точку? 3.138.
Существует ли функция, аналитическая в точке г = 0 и принимающая в точках г = 1?и (и = 1,2, ...) значения; 1 1 1 1 )0,,0,,0,1,...,0,1,..., 2)0,—,0,—,0,—,...,0,—,..., 11 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 п 3)-,— ' 2' 2' 4' 4' 6' 6' ' 2е' 2й' ' ' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 'я + 1' 3.139.
Существуют ли функции, аналитические в точке з = 0 и удовлетворяющие условиям (и — натуральное число); ) ~С-„) =~(--„) =А; ) ~(Ч=~(-9=А? 1 3.140. Функция ьбп — имеет бесконечную последовательность 1 †» нулей, сходящуюся к точке г = 1, но тем не менее эта функция отлична от постоянной. Не противоречит ли это теореме единственности? бб. Прилоееения интегральной формулы Коши и отененных рядов аа Выражение аналитической функции через ее действительную или мнимую части 3.141*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
