Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2х+3 1 х = 1. 4.62. соз —, х = 1. 1+ х — 2ч/х' 1+ /х' 4. 63. 1 х = 4. (2 + ч/х) з1п(2 — ч/х) ' 4.64. с18, х = (1+ — ), где к = ~1,~2,..., и х = 1. +,/; 4.65., х = „, где к = ~1,~2,..., 1 2(1 -~- Ьг) з1в (1+ / ) с ' (1+ кк)- "— 1' х — 2 и х=сс. 1 4.66. зш, х = ос. х 1+ /: х — 2 4.67. 1), х=1; 2), х=1. 1 1 Ьох ' Епг ' ял сди 2с т 4.68, з1п(сгй ), х = 1.
4.69. Пусть Р„(х) и Яхо(х) — многочлены соответственно и-й и т-и степеней. Охарактеризовать поведение на бесконечности следующих функций: 1) Р„(х) + С) (х); 2) †" ; 3) Р„(х)Я (х). Ют(х) ' 4.70. Показать равносильность следующих двух определений: 1) точка хо называется полюсом порядка п функции /(х), если в лорановском разложении /(х) в окрестности хо /(Х) = ~~', Сн(Х вЂ” ХО) ~ С и Ф О~ С (он!) = С вЂ” (нч-2) = ... = О; 2) точка хо называется полюсом порлдка и функции /(х), если в некоторой окрестности этой точки /(х) = у(х)/(х — хо)", где функция 1о(х) аналитична и 1о(хо) ф О.
4.71. Построить примеры функций, имеющих в расширенной плоскости только следующие особенности: 1) полюс второго порядка на бесконечности; 2) полюс второго порядка в точке х = О с главной частью разложения с з/хз и простой полюс на бесконечности; 3) простые полюсы в точках хи = ы"', где ы = ез '/" (к = О, 1, 2, ... ..., п — 1).
тб Рл. П«. Ркд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функций 4.72. Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенности: 1) один простой полюс; 2) один полюс поридка я; 3) полюс второго порядка в точке г = О с главной частью разлолсения 1?г~; 4) полюс порядка и в точке г = О и полюс порядка т на бесконечности; 5) и полюсов первого порядка. 4.73. Пусть 1(г) — однозначная функция, не имеющая в области С других особенностей, кроме полюсов.
Доказать, что функция (логарифмическая производная функции 1(г) — А) име- Г() ет простые полюсы во всех полюсах функции?(г) и во всех А-точках этой функции и не имеет никаких других особых точек. 4.74. Какую особенность имеет в точке г = го (допускается случай го = оо) функция Е(г) = ([Р(г)], если функция 1о(г) в этой точке аналитична или имеет полюс, а точка ~о = у(го) является для функции ?(~) особенностью следующего вида: 1) устранимой особой точкой; 2) полюсом порядка и; 3) существенно особой точкой? 4.75. Точка го (допускается случай го = оо) является изолированной особой точкой функции 1(г), отображающей дугу окружности (или прямолинейный отрезок) 7 на некоторую дугу окружности (или прямолинейный отрезок) 7'. Каков характер особенности функЦии 1(г) в точке го, симметРичной с «о относительно з (фУнкциЯ 1(г) пРодолжена чеРез 7 по пРинЦипУ сичметРии), если точка го Явлаетси для Т(г): 1) полюсом порядка и; 2) существенно особой точкой? 4.76.
Теорема Со«пико«о утверждает: если точка го является существенно особой для функции 1(г), то, каково бы ни было комплексное число А (включая А = оо), существует такая последовательность точек (г„), сходящаяся к точке го, что 1цп 1(г„) = А. Доказать, что теорема Сохоцкого остается справедливой для неизолированной особой точки, являющейся предельной для полюсовг). (Иногда такую точку просто причисляют к существенно особым.) 4.77. Найти пределы: 1) 1пп с13 г; 2) 11щ . ; 3) 1цп †; 4) 1пп 2 . 1 .
1 . 1 уе*оо ' уехало в1п«' л->~со св«' л=о в1п(1/«) у-еп Не противоречит ли существование этих пределов теореме Сохоцкого? ) Предполагаетсл, что в окрестности рассматриваемой точки полюсы являются единственными особенностнми. аз. Вычисление еычелгов Теорема Пикара утверждает: в окрестности существенно особой точки аналитическая функция принимает бесконечно много раз венков конечное значение, зв исключением, быть может, одного, которое называется нинароесним исключительным значением.
Если рассматривать мероморфные функции, то возможное число исключительных значений (включая со ) не превосходит двух (см., например, (2, гл. Ъ'Ш, 2 8)), 4.78. Проверить теорему Пикара для функций: 1) е', 2) е'/', 3) соа-: 4) 18з; 5) 18гз. 1 Найти исключительные значения для каждой нз этих функций и показать, что эти значения (если они существуют) являются асимптотическими, т.
е. что можно указать хотя бы одну линию, оканчивающуюся в существенно особой точке, вдоль которой функция стремится к исключительному значению. 3 3. Вычисление вычетов В задачах 4.79 — 4.99 требуетсн найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точек и относительно бесконечно удаленной точки (если она не явлнется предельной длн особых точек). 4.79.
—,. 4.80. ' (гг + 1)г ' гч 1 4. 81. (1 Ч- г)о (и — натуральное число). 4.82. г(1 — гг) 4.83.. 4.84.. 4.85.. 4.86. 18-. гг(г ц ' ' ' (г цг ' ' зг(ггЧ о)' 4.87. —. 4.88. с18гя 4.89. с18зз. яаг 4.90. 1) сое —; 2) засов —. 4.91. е'"'/'. 4.92. э1пззш з — 2' г — 2 г г 4.93. еш —. 4.94. соа . 4.95. (й ф О). г+1 г+3 ' г(1 — е "') 4.96. з" яп — (и — целое число). 4.97.. 4.98.— ь /г я а(1/г) яп ч/г 4.99.
(и — натуральное число). гяг зо В задачах 4.100-4.107 требуется найти вычеты каждой из однозначных ветвей соответствующих многозначных функций относительно указанных точек. 4.100. — относительно точки з = 1. ч/г 1 — з 1 4.101. относительно точки з = 1. г/2 — з+ 1 та Гл. 1К Рнд Лорана. Особые точки одноеначнык аналитических функций 4.102. — (»е = ее""') относительно точки з = 1. ' 1 —,/ 4.1оз. ~(,—, и-н 4.104.
1) Ьп — относительно точки л = сю; е — ~3 г — а 2) е'1п — относительно точки г = оо. е — 8 1 4.105. 1) Ьп г з1п — относительно точки з = 1; с — 1 1 2) Ьп з соз — относительно точки е = 1. с — 1 Агссй е 4.106. 8 относительно точек г = О и г = оо. 4.107. за Ьп — (и — целое число) относительно точек г = О с — Р' и з = оо (прн вычислении вычета относительно точки з = 0 предполагается, что о ф О, р ф О).
4.108. Разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид г(з) = со+ — '+ ... Найти гез[(((з))~),— 4.109. Найти тел [у(зЩл)[,-„если у(л) аналитична в точке а, а г(з) имеет в атой точке: 1) простой полюс с вычетом А; 2) полюс порядка й с главной частью: + ... + с-1 с-н г — а (е — а)" Найти гез~ — ~, если: Г~'(с)ч У(с) с=а' нуль порядка п функции Г(г); полюс порядка и функции Г"(з).
Найти тел~ар(з) — ~, если со(л) аналитична в точ- У'(е) 1 У(е) с=а 4.110 1) а— 2) а— 4.111 ке а и; 1) а — нуль порядка и функции г'(л); 2) а — полюс порядка и функции г'(з). 4.112. Найти геа(У[у(з)]),-„если функция у(з) аналитична в точке а и ~р'(а) ф О, а Г(~) имеет полюс первого порядка в точке ь = у(а) с вычетом А. 4.113. Функция со(з) имеет в точке а полюс первого порядка с вычетом А, а Д~) имеет в бесконечности полюс первого порядка с главной частью В~.
Найти гез (~[у(л)Ц,=,. 4.114. Функция г"(з), принимающая на дуге Ю окружности [з— — а[ = В действительные значения, аналитически продолжена через зту дугу по принципу симметрии. Пусть точка з = р (Д ф а) является ~4. Вычисление интегралов Ь для Дл) полюсом порядка Й с главной частью (» В)и ' еьн Найти геа[Г(г)],-д., где В' — точка, симметричнан с точкой г = Д относительно 1. 2 4. Вычисление интегралов Непосредственное применение теоремы о вычетах В задачах 4.115 — 4.124 вычислить интегралы, считая, что обход замкнутых контуров происходит в положительном направлении. 4.115. ~ —, где С вЂ” окружность х +р = 2х. Ыг г ' l .
+1' с г гав 1 4.116. ГГ где С вЂ” окружность ~г — 2! = —. l ( -1)( -2): 2 с 4.117. /,, где С вЂ” окружность ф = 2. 4г (г — З)(г1 — 1) ' ! с У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что сумма вычетов относительно всех особых точек (включая бесконечно удаленную) равна нулю. ) Г л'дг 4.118. ~ —, где С вЂ” окружность ~г( = 1. ,/ 2г1 -> 1 ' с е' 4.119.
),, Вг, где С вЂ” окружность ~г) =1. 4.120. — ~ з1п — с(г, где С вЂ” окружность ~г~ = г. 1 Г . 1 2нг l с 1г.г1 4.121. —. 11 згп — Вг, где С вЂ” окружность ф = г. 2л1 г' л с 4.122. — 1хоегГ'Их, где и — целое число, а С вЂ” окружность 2ве Г (г! = г. 4.123. / (1 + г + гг)(е1Г* + е1Г(* 0 + е1Г1' г))г(г ~ 1=з 4.124.
сдп г(1 — сое в) )л)=Ь 1 г Г"(г) 4.125. Вычислить интеграл —,Гà — 4г, если С вЂ” простой 2нг,/ ло(л) с замкнутый контур, ограничивающий область С, содержащую точ- ае Гл. 11». Ркд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функций ку» = О. Функции Д») и д(х) аналитичны в замкнутой области С, причем функция д(») не обращается в нуль на контуре С и имеет в области С лишь простые нули аыаз,...,а„, ни один из которых не совпадает с началом координат. у 4.126.
Пусть З(х) = по+ агх+ ... +а„»". Доказать, что — / х" '(~(»)(24» = аеа„Д2" 2гн' д г»(=я О В задачах 4.127-4.130 вычислить указанные интегралы. а.гег. — г, С вЂ” гг 1 г И» 2 г ность )»! = г ф 1. 4.128. — / (чгг1 = 1), где Рис. 12 2кг' З (»4+ 1),/»7Ч 1 с С вЂ” парабола уз = х, обходимая в сторону возрастания у. 4.129. — / (а' = е""'), где а > О, а С вЂ” проходимая 2ггг з а' егия» С снизу вверх прямая х = о, 0 < о < 1. 1 г д» Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
