Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Функция ~(2) = и(х, у) + ео(х, у) аналитична в точке ео = = хо + 1уо и У(ео) = со Доказать«что У(2) = 2о( — ', — ') — до, 3.142. Доказать, что в условиях предыдущей задачи 2 (2) = 22о(, ) + со. В задачах 3.143-3.145 найти аналитическую функцию 1(2) = = о(х.у) + го(х,у) по данной ее действительной или мнимой части.
3.143. и(х,у) = х2 — уз+ 2. 3.144. и(х,у) = е*(х сов у — уз2пу) хе+ уе 3.144. о(х.,у) = х+у — 3. 3,145. и(х,у) = созхз11у — зйхсбпу. Неравенства Коши 3.147. Пусть разложение функции 2'(2) в круге [2[ < В имеет вид 1(з) = ~ ~с„г". =о 2« ОО 1) Доказать, что — ~ [Я(ге«е)[ йр = ~~ [с„[ г " (г < Й). 1 г 2«,/ о «=о 2) Доказать, что если тпах[1(з)[ = М(г), то козффициенты с„ удовлетворяют неравенствам (нераеенства Коши) [с„[ < — „(г < ге).
М(г) г" 3) Доказать, что если хотя бы одно из неравенств Коши обрашаетсл в равенство, т. е. [се[ = М(г) (ге, то функция 1(2) имеет вид 1(2) = = сев~. Указание. Воспользоваться следующим из п. 1) неравенством ~ [с„[ г " < [М(г)) . «=О 3.148. С помощью неравенств Коши доказать теорему Лиувилля; если функции 1(2) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.
П р и м е ч а н и е. Другой способ доказательства теоремы Лиувиллл указан в задаче 3.36. Гя. П1. Интегралы и степенные ряди 70 3.149. Доказать, что расстояние ближайшего к точке з = 0 нуля функции ~(с) = ~~~ спзп не меньше, чем, где р — любое р!се! М + (се! ' число, не превышающее радиуса сходимости ряда, а М = М(р) = = шах(г(с)!. Рйпя Указание. Установить, что функция 7(з) не имеет нулей в области, где /~(с) — со/ < (со!, и оценить (Д(з) — со(, воспользовавшйсь неравенствами Коши. 3.150. Функция 7'(г) = ~~ спгп аналитическая при ф < г.
Дон=о с спсп казать, что ряд ~с(с) = э †" сходится во всей плоскости и для и! п=с г Й М г г его суммы справедливы оценки (~р(г)( < Ме~'~7", (сррб(с)( < — е~'~7" (М вЂ” постоянная). Теоремы площадей для однолистных функций 3.151. Пусть функция ?(с) = ~~~ с„гп аналитична в круге ~г! < 1 п=о и отображает этот круг однолистно на область С площади 5. Доказать, что я = я ~ ~п)с„)з. п=1 Указание. Записать формулу для вычисления площади о' в полярных координатах. П р и м е ч а н и е.
Если опустить условие однолистности, то отдельные части области ьг нужно считать столько раз, сколько раз принимаются в круге (з~ < 1 соответствующие значения функции ?(з). 3.152. Доказать, что если в условии предыдущей задачи функция 1(с) аналитична только в открытом круге ф < 1 и если при этом существует конечный предел Дш Я„= Я, где Я, — площадь обг-~1 5 раза круга ф < т < 1, то ряд э н)с„( сходится и его сумма равна —. Доказать также, что если ?пп 5„= оо, то ряд р н)с )~ расходится. г-г1 пья П р и м е ч а н и е.
См и не пример, [4, гл. Х?? ?, З Ц. 3.153. 1) Пользуясь решением задачи 3.151, доказать, что если 7'(О) = 1 и функция,?(л) отображает конформно и взаимно однозначно бб. Приложения интегральной формулы Ноши и степенных рядов 71 круг (г( < 1 на некоторую область С, то площадь области С не меньше площади отображаемого круга (экстремальное свойство отображения ка круг). 2) Доказать, что из всех функций 1(г), аналитичных в круге ф < < Н и удовлетворяющих условию ~~ДЛеие))зйр = М, линейная о функция реализует отображение круга на область наименьшей плошади.
Найти зту площадь, если 1(0) = О. Принцип максимума модулн В задачах 3.154-3.157 следует воспользоваться принципом максимума модуля, 3.154. Доказать, что если функция 1(г), отличная от константы, аналитична в области 6 и нс обращается в нуль, то минимум )Дг)~ не может достигаться внутри области С. 3.155. 1) Доказать, что внутри области, ограниченной простой замкнутой линией уровня модуля функции 1(г) (т.
е. линией, во всех точках которой )~(г)( = сонат) и содержащейся вместе с границей в области аналитичности функции 1(г), найдется по крайней мере один нуль этой функции Щг) ~ С). 2) Доказать, что если Р(г) — многочлен степени и, то линии уровня его модуля ~Р(г)~ = С (лемнискаты) могут распадаться не более, чем на п связных компонент. 3.156. Доказать лемму Шварца: если функция 1(г) аналитична в круге ф < 1, 1(0) = 0 и )Дг)! < 1, то во всем круге )1(г)) < )г). Доказать также, что если хотя бы в одной внутренней точке круга )~(г)( = )г(, то /(г) = е' г (а — действительное число).
Указание. Рассмотреть функцию 1(г)/г и применить к ней принцип максимума модуля. 3.157. Доказать, что если в предыдущей задаче условие 1(0) = = 0 заменить условием г'(сс) = 0 ()се! < 1), то при ф < 1 справедливо неравенство )Дг)! < ! 1 — ое Указание. Рассмотреть функцию — 1(г). ГЛАВА ГЧ РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 2 1.
Ряд Лорана В задачах 4.1 — 4.18 данную функцию разложить в рнд Лорана либо в указанном кольце, либо в окрестности указанной точки. В последнем случае надлежит определить область, в которой разложение имеет место. 4.1. — в окрестности точек з = 0 и з = оо. 1 а — 2 4.2. (а ф О, Ь вЂ” натуральное число) в окрестности то- 1 (г — а)е чек а=О и з=оо. 4.3. 1 в окрестности точек з = О, з = 1, з = оо.
з(1 — з) 4.4. 1 (О < )а! < )Ь|) в окрестности точек з = О, (х — а)(г — Ь) а=а, а=ос ивкольце /а/<!з!<!Ь|. Р— 2л+ 5 4.5., в окрестности точки з= 2 и в кольце 1 < ф < 2. ( -2)('+1) 4.6. 1 в окрестности точек з = ! и з = со. ( !+ГЕ !.!. Д:-йЯ*'= 9 Оь! ~ ! О ! ° ° * * = !!-. смотреть обе ветви функции). 4!. У(*! = !! * (! У(-) 0) ° - 1 /,/ 2.
4.9. з~е'1' в окрестности точек з = 0 и з = оо. 4.10. е!!(! '1 в окрестности точек з = 1 и л = со. л~ — 4з 4.11. соа, в окрестности точки з = 2. (г — 2)! 1 4.12. гз а1п — в окрестности точки л = 1. з — 1 4.13. е"+!~' в области О < ф < со. 4 д Рад Лорана б) ., а=О; а)п(1/а)' 4) ссбз, з = оо; 5) 11) —, з = 0 1 7) 7 а=ос; 8))пз, з=О; 9)1п —, з=(ю; з 1 зга з — 3 ' 1 7 10) 1п'— , а= со; 11) за(ООеа'"'), 4.20. Выяснить, имеют ли указанные многозначные функции однозначные ветви, допускающие разложение в ряд Лорана (в частности, в ряд Тейлора) в окрестности данной точки: 1),7)з, ° = 0, :2),(7(л — 1), з = оо; 3) ', з = оо; (з — 1)(з — 2) ' ( — 1)( — 2)( — 8), * = , '8) '7*( — Т) 7) 2 8 2, = ° ; 8) 77* 2 7Р - 2, * = 8) /*822' — ), *=1; 18) 187— У з -(-1 11) Еп)(з — 1)(з — 2)), г = со; 12) Вп )(, г = со; (з — 7Нз — Ь) ' 13) Агса)п з, з = 0; 14) Агстб (1 + з), з = 0; 15) Ага1) (1 + з), з = 0; Ы)7772 — 8 1, *=1; П)17)1:8 Ог8 = '2)2.
4.21. Функция 7'(г) = 7 с„г", аналитическая в кольце т < а ОО < ф < гг, однолистно отображает это кольцо на некоторую область О. Доказать„ что площадь Я этой области равна п)~ )з(Дз 1 тза) 4) 6) 8,71+ Ч(з, э=1; 4.14. е1п з а1п — в области 0 < )з( < оо. 1 4.15.
а1п — в окрестности точек з = 1 и з = со (в последнем 1 — з случае ограничиться четырьмя первыми членами ряда). 4.16. ссяз в окрестности точки з = 0 и в кольце я < Ц < 2я. г — а 4.17. 1п — в окрестности точки з = со. г — Ь 1 з — 2 4.18. — )п —, в окрестности точки з = со и в кольце з — 2 а+2 1 < ф < 2.
4.19. Выяснить, допускают ли указанные функции разложение в ряд Лорана в окрестности данной точки: 1 1 1 1)соз —, а=О; 2)соэ —, з=оо; 3)аес —, а=1; з' з — 1' т4 Ря. ХК Ряд Лорана. Оаабыа тачки однозначных аназатичвских функций 2) Доказать, что формула для площади Я сохраняет свою силу и тогда, когда /(х) аналитична лишь в области г < ~х~ < В; при этом обе части равенства могут одновременно обращаться в со. Указание.
См. задачи 3.151 и 3.152. 4.22. Функция Г(х) однолистна в области ф > 1 и разлагается в этой области в ряд Лорана вида Т(х) = х+ — + — г + ... х хг Доказать, что п|с „! <1, п=г и выяснить геометрический смысл полученного неравенства (внешняя теорема плошадей). Указание. Воспользоваться тем, что для площади Я„, ограниченной образом окружности ~х~ = г > 1, имеем ®х) = и+ го) гк 0<8,= / иНо= / — —,( — — — )Ицг. )г(=а о 2 2. Особые точки однозначных аналитических функций В задачах 4.23 — 4.58 найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности ').
4.23. —. 4.24. —. 4.25.. 4.26. х з' ' '11+ з' '(1 х)г' ' 'х( Ч4)г' 4.2Т.. 4.28.. 4.29. хе '. 4.30. 1+ха е' ' е' — 1 х' 4.31, . 4.32.. 4.33, 4.34. 1Ь х. х(1 — е-')' 2+аз' зз(2 — сояз) 4.35. е г/' . 4.36. хегг'. 4.3Т. егг(' з~г. 4.38. е' Е'Дг Н 1 Сая Х 4.39.. 4.40. —. 4.41. — „. 4.42. ь8х. аз — 1 агп х хг 4.43. 18 х. 4.44. —. 4.45. ссбх — —.
4.46. с18х — —. 2 1 2 г х х 4.4Т.... 4.48.. 4.49. я1п —. 1 1 1 агах — агпа сова+сова 1 — х 4.50. 4.51. сь8 —. 4.52. с18 — — —. 1 1 1 (хг — 4)г соя(1/(з — 2)) х 4.53. яш — + —. 4.54. е *соя —. 4.55. е'"Я('гз1. 1 1 1 г' х ) В ответах на дававтпн различив между устрвиимай особой тачиай и правильной. ах. Особые точки однозначных аналитических функция тз В задачах 4.59-4.68 исследовать поведение каждой из однозначных ветвей заданной многозначной функции в указанных точках (определить, является точка правильной для соответствующей ветви или особой; в последнем случае указать характер особенности). 4.59., х = 4. 4.60,, х = 1. 1+ ч/хх:3' ' ' ' ч/х+ 4~х' 4.61.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
