Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для каких сг (О < сг < 2к) существуют интегралы: 1) 11 = ( е 1/*11г; 2) /р — — / е 11' 1Ь (р — натуральное число); взятые по радиусу-вектору точку г = ег ? бб Гл. 111. Интегралы и степенные реева 3.14. Доказать, что если !а) ф В, то !4е! 2нВ (е — п)(е+ е! )В' — )а!е! < !л)=Я 3.15. Доказать следующие утверждения: 1) если 1(х) непрерывна в окрестности начала координат, то 2л 1пп ~1(гаге) г(!е = 2я,г'(О); о 2) если Г"(х) непрерывна в окрестности точки г = а, то 11гп ! = 2н11(а). г 1( )г! л-ае / с — а !л-а)=с 3.16.
Доказать следующие утверждения. 1) Если !(х) непрерывна в полуполосе х > хо, О < у < !г и сущест- вует предел !пп Дх+!у) = А, не зависящий от у и равномерный по у, то 1пп (',г"(х) г!х = гА!г, где Д, — отрезок вертикальной прямой Р* О < р < 6, пробегасмый снизу вверх. 2) Если г(х) непрерывна в секторе О < (х — а~ < го, О < агб (х — а) < < а (О < сг < 2х) и существует предел !пп [(з — а)г'(х)) = А, л-аа то !пп 1 ('(х) г!с = !Ао, с-ао З где у„— находящаяся в данном секторе дуга окружности !х — а~ < г, пробегаемая в положительном направлении. 3) Если 1(х) непрерывна в области ф > Во, О < ахях < сг (О < гг < < 2х) и существует предел 1пп хг"(х) = А, то 1пп !' 1(з) г!х = гАо, я-асс З г„ где Ея — дуга окружности ф = В, лежащая в данной области, про- бегаемая в положительном направлении относительно начала коор- динат.
3.17. Доказать следующие теоремы. 1) Если 1(х) непрерывна в области /х! > Во, 1пг х > а (а — фикси- рованное действительное число) и в этой области Дх) — г О при е -е оо, то для любого положительного числа т 1пп / е' *1(х) г!х = О, / гя дд, Интегральная теорема Коши 57 где Гя — дуга окружности ф = В, лежащая в рассматриваемой области (лелглга Жордана).
Указание. При оценке модуля интеграла по полуокружности ф = В, 1гпл > О воспользоваться неравенством щид > 2д/я длн О < д < я/2, а при оценке по дугам, лежащим в нижней полуплоскости (в случае а ( 0), — тем, что длина каждой из них стремится к )а! при Й-ч оо. 2) Если /(з) непрерывна в подуплоскости Вез > а (а — фиксированное действительное число) и в этой полуплоскости /(з) ч О при г -+ оо, то для любого отрицательного числа 1 1нп / е"/(х) г4з = О, я — ню 7 г„ где Гн — дуга окружности ф = В, Вез > а.
Если /(л) непрерывна в полуплоскости Вез ( а, то утверждение справедливо, если 1 положительно, а Гя — дуга окружности 1г~ = Л, Ке з < а. Примечание. Показательство обеих теорем приведено, например, в (3, гл. Ъ', 5 2, и. 73). 5 2. Интегральная теорема Коши' ) 3.18. Показать, что если путь не проходит через начало координат, то — =!пг+ ир+ 2хгй, ш, где й — целое число, указывающее, сколько раз путь интегрирования обходит начало координат (л = ге'о). 3.19. Показать, что если путь не проходит через точки щ г, то 1 = — + Ьг, и.
1+Ге 4 где й — целое число. а 3.20. Показать, что если С вЂ” произвольный простой замкнутый контур, не проходящий через точку а, и и — целое число, то с О, если пф — 1, (з — а)"гЬ = 2хг, если и = — 1, а внутри С, О, если и= — 1, анне С. 3.21. Интегральная теорема Коши справедлива в следующем усиленном виде: если /(з) непрерывна в замкнутой области С, ограниченной простым спрямляемым контуром С, и аналитична внутри С, г) Звдечи нв вычисление интегралов, приведенные в этом и следующем пврвгрефех, носят в основном иялюстретивныя хврентер. Бояьщинство эедвч твкого Ропе помещено в 14 гя.
11г, посвященном применению теории вычетов. ~чт ч 1л. 111. Интегралы и степенные ряды то /1(г) дг = О. Доказать это для случая звездного контураз). с Указание. Считая С звездным относительно начала координат, рассмотреть контуры Сд: ~ = Лх (О < Л < 1, х б С) — и совершить предельный переход при Л -+ 1 (см., например, (1, гл. Ч, и. 8] или ]3, гл. 1, 2 4, п. 12]). 3.22. Доказать следующие утверждения. 1) Если 1(г) аналитична в полосе О < у < Ь, 1пп 1(х+йу) = О а-ахсо и интеграл ( 1(х) с(х существует, то интеграл / 1(х + зб) с(х также существует, и эти интегралы равны между собой.
2) Если 1(д) аналитична в угле О < вгйг < а (О < сх < 2л), !пп г1(г) = О и интеграл (1(х) Нх существует, то интеграл ('1(г) Нг а-+со о вдоль луча г = ге', О < т < оо, также существует, и зти интегралы равны между собой. Указание. Воспользоваться результатами задачи 3.16. 3.23. Доказать, что /е * соз2Ьхс(х= — е ". 2 о 2 У каза н и е. Интегрировать функцию 1(г) = е ' по границе прямоугольника ]х] < 17, О < у < Ь и воспользоваться интегралом Пуассона ~ е ' й = чгж 3 24. Доказать равенства / сов х' дх = / згпхг Нх = — (имтег2чГ2 ралы Френеля). ххз Указание.
Интегрировать функцию 7(г) = е'* по границе сектора О < ]г] < П, О < агй г < и/4 и воспользоваться результатом задачи 3.17, 1) (положить гз = ~). гвшх л 3.25. Доказать, что 1г — Нх = — (интеграл Дирихле). 2 о Указание. Интегрировать функцию 1(г) = е"/г по границе области г < ]г] < В, О < агах < л и воспользоваться результатами задач 3.1б и 3.17.
3.26. Доказать, что при О < е < 1 справедливы равенства: з) Контур называется звездным относнтааино некотороа точки, асан каждый яуч, выходящий из атой точки, встречает контур в одной точке. уЯ, Интегральная формула Коши 59 1) /х' 'совх~Ь = Г(в)сов —; 2) гхл ~в1пхдх = Г(в)в!и ев. о о Указание. Интегрировать функцию г'(«) = «' 'е "по границе области г < ~«~ < В, -я/2 < агя«( О; воспользоваться результатами задач 3.16, 2) и 3.17, 1) и интегральным представлением Г-функции: Г(т) = /х е *ГГх. о 2 3. Интегральная формула Коши Всюду в задачах этого параграфа С означает простой замкнутый спрямляемый контур. 3.27.
Вычислить интеграл ~ —, если: г Ф l '+у' с 1) точка Зъ лежит внутри контура С, а точка — 31 — вне его; 2) точка — 31 лежит внутри контура С, а точка 31 — вне его; 3) точки АЗ? лежат внутри контура С. 3.28. Вычислить все возможные значения интеграла ~ К« «(«е — 1) с при различных положениях контура С. Предполагается, что контур С не проходит ни через одну из точек О, 1 и — 1. 3.29. Какое число различных значений может принимать интегг а« рал Г, где ш„(«) = (« — «ън« вЂ” ««)...(« — «„) («; ф «.) н кон/ ш„(«) ' И 1 с тур С не проходит ни через одну из точек «;? «О« 3.30. Вычислить интеграл Г, а ) 1.
«" — 1' (ъ-а)=а 1 Г еъН« 3.31. Вычислить интеграл †.г „ если контур С содер2я1 / «ы + а'' с жит внутри себя круг )«~ < а. 1 Г «е*г1« 3.32. Вычислить интеграл — ~ , если точка а лежит 2,. /1 а)з' внутри контура С. с У к а з а н и е. Воспользоваться формулами для производных интеграла Коши. 1 г е'Н« 3.33. Вычислить интеграл — ~, если: ж/ р-)' с 1) точка О лежит внутри, а точка 1 — вне контура С; бо Гл. Ш.
Интегралы и гл|еяенныг ряды 2) точка 1 лежит внутри, а точка Π— вне контура С; 3) точки О и 1 обе лежат внутри контура С. 3.34. Функция г'(») аналитическая в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, содержащим внутри себя начало координат. Доказать, что при любом выборе ветви 1 и» вЂ” / гг~(») Ьп» г(» = гг(»о) — гг(О), с где»о — начальная точка интегрирования. У к а з а н и е. Интегрировать по частям.
3.35. Вычислить интеграл — ~ » Ьп — О», если Ьпа = 1па »+1 2яг,/ » — 1 С для а > О, и контур С. 1) окружность ~»~ = 2; 2) окружность )» — Ц = 1 и начальная точка интегрировании » = 1+г. 3,36. Согласно теореме Лиувилля, функция г'(»), аналитическан и ограниченная во всей плоскости, является постоянной.
Доказать эту теорему, вычислив интеграл (' (~а! < Л,)6~ < )т) г(») д» (» — а)(» — Ь) /г)=я и произведя его оценку при Л -г оо. 3.37. Пусть 1'(») аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром С; »ы »г,...,»„ — различные произвольные точки внутри С и ш„(») = (» — »1)(» — »г)...(» — »„). Показать, что интеграл 1 г ~К) -.«)--.(»),~ 2я1 / ыа(ь) С есть многочлен (и — 1)-й степени, совпадающий с,г(») в точках»г, »г, ..., »„(многочлен Р(») называется иигперполяциоиным многочленом Лагранжа.) 3.38. Доказать следующую теорему (формула Коши для бесконечной области). Пусть С вЂ” простой замкнутый контур, ограничивающий конечную область Р.
Функция 1(») аналитична во внешности области Р и 1пп Д») = А. Тогда г-+со - ((») + А, если точка» принадлежит внешности области Р, А, если точка » принадлежит области Р. Контур С обходится в положительном направлении относительно области Р. Указание.
Сначала рассмотреть случай А = О. д4. Степенные ряды 3.39. Пусть функция 1(х) и контур С удовлетворяют условиям предыдущей задачи. Доказать, что если начало координат принадлежит области Р, то 1 )' У(~) ( О, если »ЕР, 2е1,/ ~» — (и ~ '(1(х)/х, если х ф Р. с Ь 4. Степенные ряды Отыскание радиуса сходимости В задачах 3.40-3.51 определить радиусы сходимости рядов. пе пп ОЭ пю 3.40.
) †. 3.41. ~ †,. 3.42. 3 3ипх". 3.43. ~~! †х". «=1 п=е п=! «=1 3.44. ~~! — „' х". 3.45. ~«х"'. 3.46. ~ ~2«хп'. 3.47. ~~ и=! п=о «=0 п=е 3.48, ~~! (3+( — 1)")"х". 3.49. ~сох!и х". 3.50. ~~ (и+а«)х". «=О п=е а (а + 1)... (а + и — 1) !3(33 + 1)... (33 + и — 1) и!,(,+1)...(,+и 1) «=1 3.52. Радиус сходимости ряда ~ ~сиз« равен 3? (О < Л < оо). п=е Определить радиусы сходимости рядов: 1)~ и спх"; 2) р (2« — 1)спх"; 3)~ — ",х"; 4)~) и«с«»"; п=о «=О п=о п=1 5)~~! с~х"; 6)~(1+»О)спх".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
