Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 16
Текст из файла (страница 16)
! ./ х'+ аг / ч/х(хг+ аг)г о о 1 /1 1 Нх 4.194. (' )и( — — х) . Указание. Вычислить действих 1-!- хг о /1 1 И« тельную часть интеграла / !и( — — «), где С вЂ” контур, ука- !«)1+ с ванный на рис. 20. 1 / 1 — х Их 4.195. ) !и — —. х х+а о аа Ря. 1К Ряд Лорана. Особые точки одноэначных анааитических функций 4.196. Пусть /(х) — рациональная функция, не имеюгцая полюсов на положительной части действительной оси и в точке л.
= О, г11 пРичем 1(х) = Огх — ) пРи х -э оо. л ~хэ' Доказать, что где аг = -1, а аз, аз ..., а„— полюсы функции 1(х), отличные о * от — 1, и Ьп х = 1п]х] + э' аг8 х, О < < агя х < 2;г. У к а з а н и е. Рассмотреть интеграл — / 1 г' Г(х) г(х, где кон2лэ э' 1пх — лэ' с тур С указан на рис. 21. Рис, 21 В задачах 4.197 — 4.199 вычислить интегралы, считал, что а > О и и — натуральное число. 4.197, 1) , ; 2) / агхе )' г(х (х+ а)(1пэх+ пэ) э' (х'+аэ)(1п х+ лэ) е е 4.198.
(хе + аэюп х ж (2п + 1)ээгэ] о У к а з а и н е. Воспользоваться интегралом 1 ( 1 1 сэ + а' (Ьп э — (2п + 1)лэ Ьп э — (2п — 1)лг 1 пх+ (2п — 1)лэ'1 где контур С указан на рис. 21, а ветвь Ьпз выбрана так же, как в задаче 4.196. 4.199. (хг+ аэ)(1пэх+ 4гйэгэ) о У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом э[ 1 ( 1 1 1 + + "° + г(х, хе + аэ (Ьп э — 2пггэ Ьп х — (2п — 2)лэ' Ьп с+ (2п — 2)эп~ с где контур С указан на рис. 22, а ветвь Ьпх выбрана так же, как в задаче 4.196. 44. Вычисление интегралов 89 Рис.
22 Рис. 22 4.200. Пусть Г(г) — рациональная функция, не имеющая полюсов на незамкнутом контуре С, начальная точка которого а и конечная 6. Доказать, что /~(г)с(г = ~ ~геа~((г)Ьп — ~ +геа[((г)Ьп — ~ С где суммирование производится по всем полюсам функции ((г), отличным от оо (выбор однозначной вне С ветви логарифма произволен). г — 6 Указание. Рассмотреть / Г"(г) Ьп — Ы», где контур Г, огра- г ничивающий двусвязную область, указан на рис. 23.
В задачах 4.201 — 4.205 найти указанные интегралы, считая число а действительным. еах Вх 4.201. — (О ( а ( 2). 2 (ех + 1)(е*+ 2) саг Вг У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом 2 (ех + 1)(е» + 2) ' С где С вЂ” прямоугольник с вершинами -Я, В, А+2яг, — В+2кй Г81паж<Ь 4.202. ~ . Указа н не. Воспользоваться интегралом е1с х ае Гл.
Пг. Ркд Лорана. Особые точки одно»ночных аналитических функиид Рнс, 24 4.204. ) еЬ» о о Интегралы, связанные с формулой обращения преобразования Лапласа Отсюда и до конца параграфа предполагается, что 1 > О, С1— прямая Ве» = а > О, проходимая снизу вверх, причем а выбрано так, что все особые точки подынтегральной функции расположены влево от См 4.207. Доказать, что если Д») -+ 0 прн 1еп» -+ тоо, ае < Ве» < < аз и функция 11») аналитична в полосе а1 < Ве» < аз, то интеграл ~Д»)сс», где С вЂ” прямая Ве» = а, не зависит от выбора а, с если а» ( а ( а». еес» л» вЂ”, где контур С указан на рис.
24. еЬ» С 4. 203. сЬ» о 4.205. ~ — Ых 1 — л < а < л). 7сЬ ех л сЬлх о У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом граница прямоугольника — а < Ве» < а, О < Указание. Воспользоваться интегралом граница прямоугольника — л < Ве» ( л, О < пределу при й -+ оо. ео» Н» — где С— сЬ»» с 1го» < 1. »Н» где С— е — е — "' с 1пч» < Ь, и перейти к Я4. Вычисление ингаеграгав 91 В задачах 4.208 — 4.213 найти интегралы (п — натуральное число). хтй с, с, 1 Ге' гЬ 4.210. — ~ —, / "г+1 4.209.— 2ят 7 (,— )О+П' с, с, 1 хе' гЬ 1 )' е' гЬ 2нт,) хе+1' 2ят,) гт(гт+1)' с, с, е' гЬ Гх В 4.212.
— Г . 4.213. — Г 2ях' Г (г — а)(» — 6)(г — с)' 2и.т,г г(и+1)...(и+и) с, с, 4.214. Пользуясь тождеством Г(г)Г(1 — г) = — (см. примечаегп тгг пие к задаче 4.171) доказать, что при Ве и ( О и 1 Ге'гГг 1 7 , где контур 7 указан 2нт,Г гны Г(и+ Ц' О на рис. 25. Примечание. Так как интеграл Рис. 25 1 ГегЬ вЂ” — сходится и при Ке и > О, то он продолжает аналитически 2 ГГ' 1 функцию „на всю плоскость. Г(и+ 1) 1 Ге» Вг 2их .г ~~~~ Г(~+ 1) с, 4.215. Доказать, что при Вен > — 1 В задачах 4.216 — 4.227 найти указанные интегралы.
хгВ хт 1 4.216, 1) — /; 2) — 1 . 4.217. — ) 2лгх 2 Я+и 2ит,/ ~/г+х 2ит,/ г~/1+и с, с, с, 4.219. — г гЬ. 2та 2 ге+1 сг 4.218. —. 2ит,/ (г + 1) ъ/л+ 2 с, 1 г е" (1 — е е')' 4.220. — / Нг (а > 0). 2ят,/ г с, 4.221. — ~ (а > О). Указание. Воспользоваться 1 Г '21l (1 — --) с, 1 разложением = 1+ е " + е звх + ... е-ах 92 Га. /1/ Ркд Лорана. Особые точки одноэначных аналитических функций 1 е' *«' 4.222.
— / с/х (х > О). 2лй / х с, У к а з а н и е. Заменить С1 контуром, указанным на рис. 26. * зьг 2лй ./ гх еЪа1/х С~ > О). 4.224. — / 42. 2ке ./ С1 4.225. — / е" 1п ( — ) 42. '"'С, э — аЭ/* Рис. 26 4.226. 1' а'1 / дх (а > О). хэ о с, Указание. Переменить порядок интегрирования. Ь* 4.227. — / — с12/е "'а*ах (а > О, Ь вЂ” действительное 2лээ,/ с, о Указание. Разложить в ряд функцию е ' /1эС1 пользоваться решением задач 4.214 и 4.215.
4.229. Доказать, что при Иех > 0 и вос- ./„() = ' /еэ эте-э'~С„ 2л./ г где à — контур, указанный на рис. 27, и получить отсюда, что если Рнс, 27 число). ге Указание. Воспользоваться тем, что // — с/х = 0 при и > О. х с, 4.228. Исходя из разложения в ряд функции Бесселя ( 1)е х «~хе ~-~ /с! Г(в+ и+ 1) (2) доказать интегральные представления (7 — контур, указанный в за- даче 4.214); е — «*/~к) ег /~а ег-э /нИ 2) — /,, Н~ = (-) /„(х) (Кеи > — 1).
с, 94. Вычисление ингпегралое 93 и — целое число или нуль, то ,1„(д) = — уС соа(з аш Ь" — пс,")сСЬ. 1 г о В задачах 4.230-4.232 найти интегралы, содержащие функции Бесселя. 4.230. ~е 'соя(С)ССС (Кех > О, п — целое число). о У к а з а н и е. Воспользоваться интегральным представлением п редыдущей задачи и изменить порядок интегрирования.
4.231 1) ~Ло(аС)созЬСсСС; 2) ~Хо(аС)31пЬСсСС (а и Ь вЂ” полое о жительные числа). 4.232. / сов Ьх ' с]х (С > ]Ь]). Чгхз — ат о У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что МпиС С яС ~/ 'С1 12 (ыС) . / и 1'2и 2 2пС,/ лз!з сз (см. задачу 4.228), и изменить порядок интегрирования.
Асимптотическое поведение интеграловз) 4.233. Пусть аналитическая фушсция 9з(з) имеет слева от СС лишь конечное число особых точек, причем все они — полюсы, и 9з(г) -+ 0 при 3 -+ оо и Пел < сх. Обозначим ~(С) = — / е '9з(г) с(л. с, Найти 1пп С(С). Рассмотреть различные случаи расположения по- С-чсо люсов относительно мнимой оси. Указание. Воспользоваться леммой Жордана (см. задачу 3.17). 4.234. Пусть аналитическая функция 1о(д) имеет слева от Сс конечное число особых точек и Ф(з) -+ 0 при д — с оо и Вел < ст. ) Па поводу задач этого цикле, е также по вопросу применения еснмптотнческнх оценок н других методов нх получения см., непрнмер, ]3, гл. Ч, 1 3]; Фукс Б. А., Левин и.
и. Функции комплексного переменного н некоторые нх прнложення — Мз Гастехнздет, 1951. — Гл. 1Ч; Е в г р е ф а в М. А. Аснмптотнческне оценки н целые функции. — Мс Фнзмвтгнз, 1962. 94 Рл. 1К Ряд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функций Доказать, что при больших значениях 1 имеет место асимптоти- ческое равенство — ~ "«(х) « - Е еа (е" Р(х)), с, где сумма берется по всем особым точкам «з(х) с неотрицательной действительной частью. Примечание.
Функции Р'(1) и Е(1) асимптотичвски равны при 1 -з со (Г'(1) Е(1)), если 1пп — = 1. У(4) «-«оо Е(4) 4.235. Исследовать асимптотическое поведение при 1 -+ со функции с, 4.236. Найти асимптотическое выражение при 1 -з оо функции 1 «с- з зо« ((1) = — (Г «Ь (ы > О, а ) 0), 2н«' (« — о««)«l««+ 2а« с, где ч«'ха + 2ах > 0 при х > О. Указание. Заменить контур С1 контуром, изображенным на рис. 26, и доказать, что интегралы по дугам окружности и по от- рицательной части действительной оси стремятся к нулю при 1 — з со.
т с„ Ряд з — называется асимнтотическим разложением функ.с„«о о=о з ции г" (х) прн х -з оо, если 11т х" 1Дх) — ~~' — „1 = О (к = О, 1,2," ). « -«оо [ «н1 «1=0 (Отсюда не следует сходимость рнда.) Рассматривают часто также асимптотические разложения более общего вида. Пусть («„(х)) — произвольная последовательность функций такая, что !пп — = О, а (р„(х)) — последовательность, « +1(«) «-«оо «(«) удовлетворяющая условиям !пп =О, ««оо «(«) Ряд ~ ~с„р„(х) называется асимптотическим разложением функн=о ции 1(х): з (х) ~~~ с„р„(х), ь н=о если 1цп — [ф(х) — ~~~ с„ро(х)~ = 0 (к = 0,1,2, ...).
н=о 94. Вычисление ииизеграгав 95 Часто в качестве последовательности (Сз„(х)) выбирают последовательность (1Сх "), где а„— положительные действительные числа,монотонно стремян!неся к оо. 4.237. Доказать, что при х > 0 е *С 1 2! 4! п (2п)! — а - - — — '+ — ' — ... + (-1)" — ' + ... 1.С-Сз х хз хз"+' о У к а з а н и е. Воспользоваться равенством 1 ! 1зп+зззп-зз Сз+С4 +( 1)иСзп+ ( ) 1+С! 1+С! и оценить остаточный член.
4.238. Доказать, что при х > 0 с*!112 и! — с(С вЂ” — — + — — ... + ( — 1)" — + ... х хз хз и ! х Указание. Интегрировать по частям и оценить остаток. 4.239*. Доказать, что при х > 0 / з'С ( + з+ з+"'+ и +'")' 1 1 2 (и — 1)! где под интегралом понимается его главное значение. 4,240. Доказать, что при действительных значениях х е зСС ч (2п)1 1 С вЂ” х .2~ 2зпп!,жм -зи п=е где под интегралом понимается его главное значение. 4.241.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
