Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть числа Ли удовлетворяют условиям 1и и — 1и )аи! !пп — -=О и 11щ "=й<со. — Ли (Ли! ДОКаватьь Чта ЕСЛИ СС < ат6 Ли < Д, тО ряд ДнрИХЛЕ СХОдИтСя аб- солютно во всякой точке г = х+ гу, длл которой при всех уа из (сг, Д) имеет место неравенство х сезар — у з1иар — и ) О, и расходится в точке, для которой при всех ар из (сх, Д) имеет место х сов ср — у сйиар— — Й < О. 5.48.
Дан произвольный ряд Дирихле р а„е ""=. Пусть са=1 lс(уа,сс) = 1пп —" и Й(ар) = 1пп Й(ср,о), ь- !Л ,! и-ае где (пь) — последовательность всех индексов, для которых ар — сх < < аг8Л«, < ар + о (если не существует такой подпоследовательнос- ти (и ), что !1щ аг8Л« си ар, то следует положить Й(уа) = — оо). 1и и Доказать, что если 1пп — = О, то ряд сходится абсолютно внутиаси Ли ри области С, точки г = х+ьу которой при любом ср удовлетворяют условию хсоаар — усйпср — й(ср) > О, и расходится во всякой точке, лежащей вне С. рЮ.
Интегралы, эаеисящие ет параметра 107 которой области 77 и для всех точек т, принадлежащих контуру С; тогда функция, представленная интегралом г (г) = (1(т,г) Нт, есть аналитическая функция по переменной г и с Е (г) = ~~,'(т, г) Йт. с Если интеграл /,г(г, г) Дг несобственный, т. е. если подынтегральс ная функция имеет разрывы при каких-либо изолированных значени- ях т б С или контур интегрирования содержит бесконечно удален- ную точку, то определение сходимости и равномерной сходимости такого интеграла совершенно аналогично соответствующим опреде- лениям, известным из курса математического анализа. 5.50.
Доказать: для равномерной сходимости интеграла ~$(т,г)Йт с на множестве Е по отношению к какой-либо точке га ~ оо контура С необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало чис- ло 5(е) такое, что ~ / 7(г, г) Йг ( е с для всех точек г из множества Е и для всякой дуги С контура С, лежащей в 6-окрестности точки го и не содержащей зту точку ни внутри себя, ни на концах. 5.51. Сформулировать и доказать аналогичный критерий равно- мерной сходимости интеграла, если ге —— со. Рассмотреть случаи, ког- да контур С неограничен: н одну сторону", в обе стороны.
5.52. Доказать, что если (((г,г)/ < (4(г)/ для всех точек г из мно- жества Е и если ~~гр(т, г)(ганг сходится, то интеграл / г(т, г) Жг схос с дится равномерно на множестве Е. 5.53. Пусть )(т,г) — функция, аналитическая по г и непрерыв- ная по т для точек г, принадлежащих некоторой области В, и то- чек т, принадлежащих контуру С, за исключением некоторых изо- лированных его точек, где условия, наложенные на функцию 1(т, г), нарушаются или для всех точек г, или только для некоторых.
Доказать, что если несобственный интеграл р'(г) = / ('(т, г) Дт с равномерно сходится внутри области Ю (т. е. во всякой замкну- той подобласти области 0), то функция К(з) аналитическая и р' (г) = ~ — Нг, гдУ дг с 1еа Гл. У. Различные функииональные ряды. Интегралы от наралстере причем последний интеграл сходится равномерно внутри Р. В задачах 5.54 — 5.61 найти множества, на которых равномерно сходитсл указанные интегралы. 5.54.
Г(г) 11 1е с аг (1 — 1 е~ — 0~ с) о 5.56. / —, аг. 5.57. / —, йй 5.58. (' — аб о о о сжгсс сс с--ке с, 5.59. / — сЫ (с Ф 0). 5.60. / — Ш (с ф 0). с<и се с с-Ьссс г 5.61. 1 — 41 (с к О, г' = е""'). у 5.55. /е ' аг. о Интеграл Лапласа Интеграл вида о где функция 1(1) интегрируема на отрезке (О, а] при любом положительном а < оо, называетси интегралолс Лапласа. 5.62. Доказать следующие предложения: 1) если интеграл (1) сходится в точке г = го, то он сходится в полуплоскости Ве г > Ке хо, причем сходимость равномерна в Угле ]агб (г — го)] < 6 < л/2; 2) если интеграл (1) сходится абсолютно при г = го, то он сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Вез > Кего,.
— ь]у(е)] 3) если 1цп =)3, то интеграл (1) сходится абсолютно в по- С-ссс г луплоскости Вез > Д и равномерно во всякой полуплоскости Кег > > )3+а (г > О) (построить пример интеграла Лапласа, сходящегося абсолютно во всей плоскости, длл которого Л = оо); 1п ]У(1)] 4) если !пп = сх, то интеграл (1) не сходится абсолютно ни с-к в одной точке полуплоскости Вез < и. Из теорем, сформулированных в задаче 5.62, следует, что областями сходимости и абсолютной сходимости интеграла Лапласа (если такие области существуют) ивпиютси полуппоскости Вез > х, и Вез > х,; число х, называют абсциссой сходилсости, а х — абсииссой абсолютной сходилгости интеграла Лапласа.
9'Я. Интегралы, гаеисеигие ет параметра 109 В задачах 5.63-5.69 найти х, и х, для интеграла /е "/(С)г!1, где /(!) — заданная функция. о 5.63. /(!) = 1. 5.64. /(С) = е ' . 5.65. /(!) = ег . 5.66. /(С) = В задачах 5.70 — 5.73 исследовать сходимость интегралов Лапласа е "/(!)г!! на границе полуплоскости сходимости.
а 5.70. /(!) = 1. 5.71. /(!) = 0 при 0 < ! < 1, /(!) = 1/тз при !>1. 5.72. /(!) = 0 при 0 < ! < 1, /(!) =1/! при ! > 1. 5.73./(!)=О при 1=0, /(!)=1 при 0<!<1,анри!>1 /(!) определяется следуюшим образом; У(!) = /(!) + 1, если (2Й вЂ” 1)з < !+ 1 < (2й)з, г /(!) — 1, если (2!е)з < !+1< (2й+1)з -гл е' при — е' при 5.67. /(!) = ее'!г при — ее~а и и 5.68. /(!) = е' при -е' при 5.69. /(!) = 0 < ! < 1п !и 3 и !п 1п 2!с < ! < !п 1п (2И + 1) (!с = 2,3,...), !и 1п (2!с + 1) < ! < 1п 1п (2 !е + 2) (И = 1, 2, ...) . 0 < ! < 1п !и 3 и 1п !и 2И < ! < 1п !и (2И + 1) (И = 2, 3, ...), 1п1п(2/с+ 1) < ! < 1п!п(21+ 2) (й = 1,2, ...).
0 < ! < 1п 1п 3 и 1п!п 2Й < ! < 1п !п (2И + 1) (й = 2,3,...), 1п!п(25+ 1) < ! < 1п!п(2!е+ 2) (!е = 1,2, ...). при 1п (2!е — 1) < ! < 1и 2Й (!е = 1, 2, ...), при !п2/с < ! < 1п(21+1) (И = 1,2„...). ГЛАВА И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 2 1. Бесконечные произведения В задачах 6.1-6.7 доказать указанные равенства. 6Л. П п=з 6.3.
П п=з П П !1+ ( +2)) п=1 6А П~'-щ. ~)=Ю 6.6. П [1+ ' """~ = 1. п=1 и — 4 г пг — 1 1 4 и — 1 Э пэ + 1 2 3' Валлиса — = ц эх — — !. 2 хх 12п — 12п+1)' как обычно, считать — л < атбр„< гг, П ° рп сходится и расходится одновре- 6.10*. Доказать формулу 6.11. Доказать, что если, то бесконечное произведение менно с рядом ~~г !прп.
п=1 п=1 6.7. ц = е, где е = !нп 11 '> — — !пп) — постоянная П 1+1(п — . п=1 1=1 Эйлера. о зшо 6.8. Доказать, что П соз — =— 2п о п=1 Указание. Сначала доказать тождество а!пгр = 2'з!и — х ь гг 21 "П- — ' 2п п=1 6.9. Пользуясь решением задачи 6.8, доказать, что 2 2 2 л г ~г+:г гг ° / ° .гг Х 1. Беенонечныв произведения 6.14. Произведения Ц ри и Ц Би сходятся.
Исследовать сходи- мость произведений: ) Ц(р.+.); ) Ц(.— .); 5) Ц -- ) Ц"— ," и=1 и=! и=1 и=1 В задачах 6.15 — 6.19 исследовать на сходимость и абсолютную сходимость данные произведения. 6.15. Ц ~1+ ( ') ]. 6.16. и=1 6.17. Ц ~1 + ( ') 1 (р > О).
п=1 Ц"' " и=1 6.18. Ц (1+ — ) (р > О). и=1 6.19. Ц СОЗее, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧтО ряд ~ ~)З„(~ СХОдИтСя. и=1 п=1 6.20. Показать, что внутри единичного круга Ц('+" ) = —,', и=о произведение сходится абсолютно. В задачах 6.21-6.29 найти области сходимостн произведений Ои и 2 6.21. Ц(1-2"). 6.22. Ц (1+'— ,„).
6.22. Ц (1 — — '„). п=1 и=1 624 Ц ~1 (1 Ч вЂ” ~ 625 Ц ~1+(1„~') и=2 и=1 6.26. Ц соз —. 6.27. Ц ~ ). 6.28. Ц (1+ — )е '!" и е/и 1 и п=1 и=1 и=1 6.29. Ц(1+ сиз), если известно, что ряд ~ (с„( сходится. 6.12. Выяснить, сохранится ли утверждение из предыдущей задачи, если условиться, что: 1) О < агбри < 2я; 2) гг < агйри < а+ 2я ( — 2н < се < 0). 6.13.
Показать, что длн абсолютной сходимости бесконечного произведения Ц(1+ аи) (т. е. абсолютной сходимости ряда ОО и=1 ОЭ )п(1+ а„)) необходимо и достаточно, чтобы ряд ~ ~аи сходился и=! и=1 абсолютно. ИЗ Бм 'й1, Бесконечные произнесения. Целые и мероморфные функции 6.30.
Доказать, что произведение 00 1)ое! П~1+''), ~ ( =.1 ) о=1 сходится в полуплоскости Ке > 1/2 и сходится абсолютно в полу- плоскости Вез > 1. 6.31. (7"„(з)) -- последовательность функций, аналитических в области С, причем все эти функции, за исключением конечного их числа, не обращаются в нуль в области С. Доказать, что если [)'„(з)[ ( < он для всех з е С, причем он не зависит от л, и рнд 2 он сходите=! ся, то функция Г(е) = П[1+ 7' (а)[ является аналитической в области С. о=1 В задачах 6.32 — 6.35 выясняются некоторые свойства гамма- функции, вытекающие из ее определения как предела бесконечного произведения (см., например, [2, гл.
Ч11, у 4[ нли [3, гл. УП, у 1[). 6.32. Доказать, что произведение '!*"!= П.,".("— .) ((". ) ="'" ') сходится абсолютно во всей плоскости, кроме значений з, равных целым отрицательным числам, и представляет функцию, аналитическую во всей плоскости, кроме точек з = — 1, — 2, ... 6.33. Доказать формулу Эйлера (Пе Ее!по) Г(") = 1цп о ч ос е(с + 1) (с + 2)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
