Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Гармоническая мера ю(г, а, С) инвариантна относительно конформных отображений. В задачах 7.54 — 7.57 область С вЂ” круг (г~ < 1 и ю(2,0ы 02) — гар- моническая мера дуги а = (ВыВ2); ю = е'в, 01 < В < 02. Т.54. Пользуясь интегралом Пуассона, доказать, что вг 1 1 — г ш(г,дыВ2) =— , г(0, 2к 2 1 — 2г сое ( — у) + гг в, в частности, ю(О,Вы02) = (02 — 01)12ж 0 (,В,В) Т.55. Найти линии уровня функции ' ' при фиксированном значении В (г = гене — переменная точка). У к а з а и и е. Доказать, что Вю 1 (ю' — г! 40 2к (ю — г(' где ю' — конец хорды, выходящей из ю и проходящей через г. Т.56. Обозначим через ю' конец хорды, выходящей из точки ю и проходящей через точку г.
Пусть а — дуга (ВыВз), а а'(г) — дуга, описываемая точкой ю', когда ю пробегает дугу а. Доказать, что длина дуги а'(г) равна 2яю(г,Вы 02). 7.57. Найти линии уровня гармонической меры ю(г,Вы02) дуги (ВыВ2). пользуясь этим, доказать, что интеграл, определяющий гармоническую меру (см. задачу Т.о4), действительно имеет предельные значения 1 на (Вы02) и Π— на дополнении (рассматриваются внутренние точки дуг). Т.58.
Для полуплоскости 1щг > О определить гармоническую меру ю(г,а,Ь) отрезке (о,б), луча ( — со,у) и луча (а,со), Каково геометрическое значение этих гармонических мер? 7.59, Найти гармоническую меру сторон угла О < агйг < Г.
Т.60. Для полукруга )г) < А, 1гп г > О найти гармонические меры диаметра Ь и полуокружности Г, а также линии уровня этих гармонических мер. 7.61. Найти гармоническую меру граничной полуокружности Г области ф > В, 1гп з > О. 7.62. Найти гармоническую меру греничной окружности Г области Ц > В, О < агй з < 2к. до. Интеграл Луассона, формула Шеариа, гармоническая мерп 1ЗЗ 7.63. Найти гармоническую меру граничных окружностей кольца г ( (г~ ( Н. В задачах 7.63 — 8.1 область С ограничена сложным контуром Г, состоящим из и простых, гладких контуров Г„(р = 1, 2, ..., и). Обход контуров происходит в положительном направлении по отношению к области С; нормаль и — внутренняя по отношению к области С.
Периодом аналитической в С функции по Г называется интеграл г. 7.64з). Доказать, что если гармоническая функция и(г) однозначна в С, то период аналитической функции 7'(г) = и(г) + зп(г) . гди вдоль Г, равен -з~ — с(л. л' дп г. 7.65. Доказать, что ддя комплексной функции Грина д+зл области С (д(г,~) — функция Грина области С, Ь(г,г,) — сопряженная к д гармоническая функция) период вдоль Г„равен — 2хио„(г), где ы,(з) — гармоническая мера Г относительно области С. Дока- и зать, что ~ олк(0 = 1.
к=1 Указание. Гармоническая в С функция и(~) допускает представление в виде иЯ = — ~и(г) ' ' Лл (см. задачу 7.38). дд(, ь) 2пл' дп г 7.66. Выразить через ы (г) ограниченную, гармоническую в С функцию и(з), имеющую постоянные значения с на Г„(р = 1, 2, ..., и). 7.67. Доказать, что для функции п(л), сопряженной с функцией ц(г), однозначной и гармонической в С, периоды р, вдоль Г„допусди к(г) кают представление р, = — /и(з) Нл. дн г 7.68.
Пусть о7,(г) — сопряженная к ы„(г) гармоническая функция н р„„— период функции а л(з) = ог„(л) + уй„(г) вдоль Гл. 1) Доказать, что р„„= р„л (7г, и = 1, 2, ..., п). У к а з а н и е. Воспользоваться представлением 1 Г дик Р л=- — /О7 2и/ "д г З) К задачам 7 64-7 70 см, дополнение Ш иффера к книге: Курант Р. Принпип дирихле, конформные отображении и минимальные поаерхности. — Мл Гостехиадат, 1953. 134 Гл. 'ьг11. Интегралы типо Коши. Интегральные формулы 2) Доказать, что ~~~ р„= 1 (и = 1,2,..ин).
и=1 7.69. Пусть с„ (р = 1,2,...,п) — произвольные действительные числа. 1) Доказать, что если р „— числа, определенные в задаче 7.68, то квадратичная форма ~и р,нс„сн > О, причем равенство имеет место тн=1 лишь тогда, когда все с, равны между собой, и Указание. К гармонической функции и1(г) = р с„ьо (г) приг дш и=1 менить формулу .0(и1) = — 11ш — гЬ (см. задачу 7.32; знак изменен дп г на обратный, потому что теперь и — внутрен(1яя нормаль).
2) Доказать, что квадратичная форма ~ ~р„„с„с„явлнется поки=1 ложительно определенной, т. е. она положительна для всех систем ЗНаЧЕНИй (С,), ИСКЛЮЧая С1 = СЗ = ... = Си 1 — — О. 7.70. Доказать, что система уравнений и-1 оьрАн — — Вн (/х = 1,2, ...,о — 1) ии1 (А„ — неизвестные) имеет единственное решение для любых В„. Пользуясь этим, доказать, что для любой гармонической в С функции и(г), вообще говоря, неоднозначной, можно подобрать постоянные А1, Аз,..., Аи 1 так, чтобы гармоническая функция и — 1 и1(г) = и(з) + ~ ~А„й1„(з) была однозначна в С. ГЛАВА ЧП1 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ОСОБЕННОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА.
РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 2 1. Аналитическое продолжение 8.1. Функция 1(2) = ~ ~зп разложена в ряд Тейлора в окрести=о ности точки 2 = а (!а~ ( 1). При каких значениях а это разложение позволяет аналитически продолжить функцию 1(2)? п 8.2. Сумма степенного ряда 1(2) = 2 — разложена в ряд Тейп=1 лора в окрестности точки 2 = -1/2. Какова область, в которую будет таким образом продолжена функция Г(2)? пп п 8.3. Доказать, что функция г'(з) = 2 ( — 1)п+' — может быть п=1 продолжеяа иа большую область посредством ряда 1 — г (1 — г) (1 — 2)г !п2 — —— 2 2 .
21 3 . 22 8.4. Степенные ряды (2 2)п 11(2) = ~ ~— и 12(2) = гх + ~~~ ( — 1)п и=1 п=1 ие имеют никакой обшей области сходимости. Доказать тем ие менее, что функции 11(2) и !2(2) являются аналитическим продолжением друг друга. 8.5. Доказать, что функции, определенные рядами 2 2 1 (1 — а)2 (1 — а) 2 1+аз+а 2 +... и — — + 1 2 (1 2)г (! )г являются аналитическим продолжением друг друга, 8.6. Пусть степенной ряд 1(з) = ао + ага+ ... + апзп + ... имеет радиус сходимости В = 1.
Произведя замену переменной з = 1зб 1л. 9111. Аналитическое продолжение Я , приведем его к виду 1+ г' /() ж/( ~ ) =.р'(г) ж,+с,г+...+с„г" +... ~1+ В~ Обозначив радиус сходимости полученного ряда через р, доказать следующие утверждения: 1) р > 1/2, причем если точка з = — 1 является особой для функции /(з), то р = 1/2; 2) если — < р <1, то равенство /(з) = г'(Я) = Е'( — ) позволя- 1 1 л 2 (,1 ет аналитически продолжить функцию /(г) в область, внешнюю для круга Ц < 1 н внутреннюю для окружности Аполлония ~ — ~ = р; 1 — е 3) если р = 1, то указанное в п. 2) равенство аналитически продолжает функцию /(з) в полуплоскость Вез < 1/2; 4) если р > 1, то функции /(з) аналитически продолжима в область, внешнюю для окружности Аполлония ~ — ~ = р.
!1 — л 8.7. Локазать, что степенной ряд /(з) = ~~ з~ представляет функцию, аналитическую в круге ф < 1 и имеющую окружность ~з) = 1 своей естественной границей (т. е. /(з) является функцией, не продолжимой за пределы единичного круга). Указание. Пользуясь тождеством /(з) = с~+ел+ ... + аз + +/(гз ), доказать, что для любой точки вида ~= 'Л (1с — натуральное число) /(1~) -э оо при 1-+ 1 (О <1< 1). В задачах 8.8, 8.9 доказать что функции, представленные указанными степенными рядами, не продолжимы за пределы единичного круга.
8.8. /(з) = ~~ =о Указание. Если р и д — взаимно простые целые числа и н > д, , и! то ~ гсср '1о) = тел и! 8.9. 1(з) = ~~~ п=о Примечание. В задачах 8.7-8.9 рассмотрены частные случаи общей теоремы Адамара о пропусках. Если номера отличных от нуля коэффициентов степенного ряда /(л) = ~ а„з" образуют последовательность ныне, ..., в кото- =о Лд Аналитическое кродолнсение 137 рой пе+! > (1+а)пы где а > О, то граница круга сходимости рида есть естественная граница функции 1(з).
1 1 8.10. Доказать, что ряд 7 ( — — 11 в областях )е) < и» 1 и7 =о < 1 и ~з~ > 1 представляет две аналитические функции, не являющиеся аналитическим продолжением друг друга (см. также задачи 5.14-5.17). 8.11. Пусть 1(е) и !о(з) — произвольные целые функции а и /1 — е 1 — е и-! о(з) = ~~' ~ — — ). Доказать, что выражение 11Ч и 1+ли-!~' и=! 1 'И ) = 2 Й~)+ У(~П+ — й~)[У(~) — 7 (~)3 представляет в области (з! < 1 функцию 1(з), а в области ~г( > 1— функцию 1о(з). 8.12. 1) Доказать, что если се — действительное иррациональное 1 число, то ряд ~~ „ „, представляет в областях ф < 1 и=! и ф > 1 аналитические функции, для каждой из которых окруясность )г! = 1 явлнется естественной границей.
У к а з а н и е. Доказать, что сумма ряда неограниченно возрастает при з -! ез! "е вдоль радиуса-вектора. П р и м е ч а н и е. Приведенная задача является частным случаем следующей общей теоремы. Пусть 1, — кривая, замкнутая или разомкнутая, имеющая в каждой точке определенный радиус кривизны. Если ряд ~ си абсолютно сходится, а точки а!,аз,...,аи,...
все лежат на кривой Г, и распределены на ней так, что на любой конечной дуге кривой Е всегда соси держится их бесконечное множество, то ряд Г(з) = 7 — предии — е и=! ставляет функцию, аналитическую в любой области, не содержащей точек кривой Х,, и для которой зта кривая явлнетсн особой линией (см. Гу рса.
Курс математического анализа, т. 2, гл. Хч1). 2) Доказать, что если сх — действительное рациональное число, то ряд и. 1) представляет рациональную функцию. 8.13. Доказать, что ряд Се си) и=! сходится при Пел > 1, и его сумма имеет прямую Вез = 1 своей естественной границей. 138 Га. *1Ш. Аналитическое продолнсение ! 8.14. Доказать, что функция 1(х) = ~ ~е * аналитична при т=о Вел > О и имеет прнмую Вех = О своей естественной границей. 8.15. Доказать, что функцию 1(з), определенную в полуплоскости Вез > О рядом Дирихле 1(х) = ~~ а„е ~"-, где а„= ( — 1)"+', и=! Лзл 1 — — 21с, Лзл = 2к+ е 11 (й = 1,2, ...), можно аналитически продолжить в полуплоскость Вез > — 1. Указание.
Записать Дз) в виде ((х) = ~ (1 — е " )е 1=1 -се и доказать, что в любой конечной области 1 — е ' < Ме зз, где М вЂ” постоянная для рассматриваемой области. Примечание. Приведенная задача показывает, что на прямой, ограничивающей полуплоскость сходимости, сумма ряда Дирихле может не иметь особых точек.
8.16". Функцию 1(з), определенную в полуплоскости Вез > О с помощью интеграла Лапласа 1(з) = /е "е181пе1111, продолжить о аналитически в полуплоскость Вез > — 1. 8.1Т. Гамма-функция Эйлера определяется в полуплоскости Вез > О посредством интеграла Г(з) = /е сел 1 сЫ (Г' ' = еы о Применяя к правой части этого равенства интегрирование по частям, показать, что функция Г(з) аналитически продолжается на всю плоскость как мероморфная функция с простыми полюсами О, — 1, -2, ... ...,— и,..., причем вычет относительно полюса — п равен ( — 1)"/и!.
8.18. Показать, что Г-функцию можно аналитически продолжить ° с сс при помощи формулы Г(з) = ~ ~+ / е 1' Ю. ( 1)п и! (с+и) п=о 1 1 Указание. Заменить в интеграле /е 11' 'ас функцию е ' ее разложением в степенной ряд. 8.19. В задаче 3.26 бьщо доказано, что при О < х < 1 Ю* 'сел|111 = Г(х)соз —, /З* 'з!пйс(1 = Г(х)81п —.
о о В каких областнх плоскости л будут справедливы указанные формулыу а 1. Аналитическое кродолисение 139 8.20. Доказать, что Г(г) можно продолжить на всю область ее существования при помощи формулы Г(г) = 1е ( — ш)' Йш ((-ш)' = е1* ~ Щ ~1), 2е1плгд с где контур С состоит из разреза по положительной части действительной оси, причем обход начала координат совершается против часовой стрелки.
8.21. Пусть Дг) — дзета-функция Римана (см. задачу 5.13) ч(г) = ~~ —, (Пег > 1). =1 1 гш' Доказать, что при Пег > 1 ((г) = — ~ Иш, и получить Г(г) си — 1 О отсюда аналитическое продолжение функции Дг) на всю плоскость, исключая точку г = 1; выяснить характер особенности функции Дг) в точке г = 1. У к а з а н и е. Для аналитического продолжения рассмотреть ин— 1 теграл 1 Иш, где С вЂ” — контур задачи 8.20. / еи с 8.22*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
