Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть функция 1(г) разложена в степенной ряд 1(г) = аог", имеющий радиус сходимости Л = 1. Обозначим чек=о рез у(г) сумму ряда ~р(г) = ~~, (функция со(г) — функция, а=о сопряженная по Борелю с функцией г'(г), — являетсн целой; см. задачу 3.150). Доказать, что при ф < 1 имеет место равенство /е у(гЕ)сй = 1(г). о Доказать также, что функция /е 'у(г1) и1 осуществляет аналио тическое продолжение функции 1(г) в область С, определяемую следующим образом: через каждую особую точку функции 1(г) проводится прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эту точку с началом координат; С вЂ” выпуклая область, содержащая круг ф < 1, граница которой состоит из точек описанных прямых; если количество этих прямых конечно, то С вЂ” многоугольник (метод продолжения Бореля).
Гл. УШ. Аналитическое прооолгнение 140 8.23. Проверить метод продолжения Бередя для следующих ркдов: 1) ~~, ' и. 2) ~, зп. 8) ~к ~4» п=о 8.24. Пусть в интеграле типа Коши Г(т) = — ~ — С— го((:) ~К 2ле/ Ь вЂ” л с простой замкнутый контур и у(~) — функция, непрерывная вдоль С. Доказать: чтобы одна из функций Р'ь(д) и Г (д) (см. с.
127) была аналитическим продолжением другой через дугу Т Е С, необходимо и достаточно, чтобы у(з) = 0 на дуге .г. 8.25. Доказать, что если функция ~р(~) не является аналитической ') нн в одной точке простой незамкнутой дуги С, то все точки дуги С особые дли интеграла типа Коши г д(ь") <ь 2пг,/ ь — л с Указание. Исходить из формул Сохоцкого для предельных значений интеграла типа Коши. 8.26. Пусть Т вЂ” обходимый в положительном направлении простой замкнутый контур, состоящий из дуг тг, тз с общими конечными точками дг и зз (рис. 31), Се— область внутри у, С вЂ” область виет. Пусть, далее, с( ) Гг1о(0а( / т где у(г,) = а, если г, 6 71, и ьс(() = б, если г,' Е уз (а и Ь— комплексные постонпкые).
Найти функции Е+(з) и Г (з) и продолжить аналитически функцию Р (л) в область Сч: а) через дугу т1, б) через дугу чз. 8,27. Пусть С вЂ” двусвнзная область, ограниченная внутренним контуром Т н внешним Г, и цг(з) — функций, аналитическал в замкнутой области С + Т + Г. Доказать, что функция Ф )- — /" — 4~ 1 гф() 2лг Ь вЂ” л г аналитически продолжима во всю внешность контура т, а функция ) То есть не существует аналитической функции, совпадающей с цг(С) на какой-либо дуге, принадлежагдей С. рв.
Оспбыв точки мипгпзнпчнпгп ларактврп. Рнмпнпвм поверхности 141 — во всю внутренность контура Г. Обход контуров у и Г соверша- ется против часовой стрелки. 9 2. Особые точки многозначного характера. Рнмановы поверхностнг) Изолированная точка ветвления г = а порядка й — 1 функции и~(г) ([с — натуральное число, к ) 2) характеризуется тем, что имеется ветвь ю(г), допускающая в окрестности точки г = а представление ю = ~~ с„(г — а)п (а ф со) или юпа ) с„г "г (а=ос). Если лишь конечное число коэффициентов сп с отрицательными индексами отлично от нуля, то точка г = а (или г = со) называется алгебраической точкой ест еленик (а.
т. в.). В противном случае соответствующая точка называется трансцендентной точкой ветвления (существенно особая точка многозначного характера). Над одной и той же точкой г-плоскости функция ю(г) может иметь не более счетного множества различных алгебраических и трансцендентных точек ветвления, правильных точек и особых точек однозначного характера. На римановой поверхности функции ю(г) над г-плоскостью такие точки имеют взаимно не пересекающиеся окрестности. В каждой такой окрестности ю является однозначной функцией локального параметра й ю= ~ с„1", где (г — а)~у~ (а Р оо), т -1/ь ( )) К логарифмическим точкам ветвления (л.т.в.) относятся точки г = а или г = со, для которых какая-либо ветвь ю(г) допускает неограниченное аналитическое продолжение в области 0 < [г — а[ < < т (соответственно Л < [г[ < со) и там бесконечнозначна.
Такая ветвь ю(г) в окрестности л.т.в. становится однозначной аналитической функцией при переходе к параметру 1 = Ьп (г — а), Ве 1 < р (соответственно 1 = Ьпг, Нег ) р). Следует иметь в виду, что на з) К этому параграфу см. [1, гл. Ъг111[; Голубев В.
В. Лекции па аналитичаскпй теории дифференциальных уравнений.— Мп Гпстахиздэг, 1951; Нева ил инна Р. Унифпрмизэцин. — Мп ИЛ, 1955. Гл. '83П. Анели)пичвслев продал)еелив 142 римановой поверхности над одной и той же точкой «, наряду с различными л.т.в., могут находиться и другие точки однозначного и многозначнаго характера. 8.28. Выяснить, при каких значениях « значения ю(«) на всех листах ее римановой поверхности над «-плоскость о одинаковы, если: 1) ю = («~ — 9)~/«щ 2) и) =ьйп«+(«з+4)Ьп«; 3) ю = а1п «+ (««+ 4) з 1 и «.
Одинаковы ли в тех же точках значения ю'(«)2 8.29. Убедиться в том, что для каждой из функций: 1) ю = ~~/«, 2) ю = «« 1,п «, ю(0) = О, в точке « = 0 существует первая производная, притом одинаковая для всех ветвей, а конечная вторая производная не существует. В задачах 8.30 — 8.38 каждую из указанных функций ю(«) разло- жить в ряд по степеням локального параметра 1 в окрестности всех точек ее римановой поверхности, расположенных над данными «-точками; указать области сходимости полученных рядов. 830.
ю=, «=1, «=2. 1 1+ и22 — « 831 = '7* — ! 2 *=1, *=3, 832. =2т2 * — 2, *=1, *=2, 833. = У\ + 22- 2, * = 1, * = 2, 8.38. = 2'! 22 — ))))222 2 — — 88)), *= ) 2 3). 8.35. ю = е) ) ', « = О. 8.36. ю =, « = О. «2 8.37. 2и = с18,3)2«« = О. 8.38. ю = ~/а)п«, « = О. В задачах 8.39-8.45 требуется найти точки «-плоскости, над которыми имеется хотя бы одна особая точка заданной многозначной функции, и указать характер всех точек римановой поверхности, лежащих над каждой из таких точек «-плоскости.
8.39. з1п —. 8.40. а1п —. 8.41. 1 1 1 в)ив 1-)- ч23 8.82. —. 8.83. и Д 27~2 — *. в)п 2/« 8.44. 18 (11 и «). 8.45. 18 ( — 1л «) . Если функция ю = г'(«) однозначна, а обратная ей функция «(ю) многозначна, то для определения алгебраических точек ветвления функции «(и)) нужно найти нули 1'(«), кратные полюсы Д«) и исследовать поведение Д«) на бесконечности. При атом точке «о ф оо соответствует а. т. в.
Й вЂ” 1 порядка функции «(ю), если в окрестнос- рх. Особые точки многозначноео характера. Риманоеы аоеерхности 143 ти хо разложение Лорана функции Дх) имеет вид У(х) = юо+ ~ ~с„(х — хо)" (сь Ф О) и4 л хх(х) = ~~ с„(х — хо)" (с е ~ О). Если хо — — со, то указанные разложения должны иметь вид Дх) = ~ с„х" (сс ~ О) ,г(х) = юо + ~~~ сих (с — ь ~ О). или или В задачах 8.46-8.52 определить особенности х(ю), если ш — данная функция. 846 ш=х(1 — х) 847 ю=хз — Зх 848 ю= (1 + х)о 8.49.ю=( ) . 8.50.ю=, (0<а<1). 8.51.
ю = Р„(х) (многочлен п-й степени). 8.52. ю = В(х) (рациональная функция). В задачах 8.62-8.65 найти особенности функций, обратных к данным. 8.62. ю = е'~'. 8.63. ю = ей' '1х1 ($ — комплексное число). В задачах 8.53-8.61 исследовать отображение, осуществляемое функцией ю(х), построить риманову поверхность Н над ю-плоскостью и разбить х-плоскость на области, соответствующие листам или полулистам Н.
хчп 8.53. ю = (1+ — ) . Рассмотреть предельный случай п -+ оо. п 8.54. ю = ( — ) . 8.55. ю = — (х+ -). 8.56. ю = 8.57. ю = — (х" + — ). Найти также группу линейных преобра- 21 зований, относительно которых функция ю инвариантна, и выяснить, какие преобразования римановой поверхности соответствуют преобразованиям группы. 8.58. ю = . 8.59. ю = х — —. 8.60. ю = — +— (1+ хи)е н х и 8.61.
ю = Т„(х) = — „, сое (и агссозх), и > 1 (Т„(х) — полиномы 1 Чебышева). зл. УИ1. Аналитическое иродолзкение 144 8.64. ю = сои«+а1п«. 8.65. в = —. ези « В задачах 8.66-8.74 построить зо-плоскостью. 8.66. в = соз«. 8.67. ю = а!и«. 8.69. ю = с15 «. 8.70. ю = сЬ «. 8.72. в =1Ь«. 8.73. и) = с1Ь«. римановы поверхности над 8.68. ю = 18 «.
8.71. ю = зЬ «. 8.74. в — «л. ез В задачах 8.76-8.81 построить римановы поверхности указанных функций (над «-плоскостью). и.тз. )) = /)* — ))* — )З 2) = ) — )) — з)) — ); и 3) в = П(« — аи) (отдельно рассмотреть случаи четного и и=1 нечетного и). з.тт. )) = Зг:Б; з) —, О)* — ц* — з); 4) в = П(« — ас), п > 3. з=з 3)ю= 8.78. ю = , и>3. 8.79. ю = ' + ий — с. 8.80. и) = Х))Д вЂ” 1 8.81.
т = ъ)з)п«. В задачах 8.82-8.87 исследовать отображения н построить рима- новы поверхности для алгебраических функций ю(«) и «(ю). 8.82. вз + «« = 1. 8.83. ю« =,. Указание. Воспользоваться решением за- (1 — «)з' дачи 8.56. 8.84. вз+«з — Зю« = О. Указание. Воспользоваться параЗз Зз~ метрическим представлением « = †, ю = — . 1+Гз' 1+зз з 8.85. в = —. Указание. Воспользоваться параметричес з 1 — « зз з ким представлением « =, ю = —. 1+гз' 1+Зз' 8.75. Считая известной риманову поверхность над ю-плоскостью рациональной функции ю = гз(«), построить рнмановы поверхности функций «(в), если: 1) ю = Л(е'); 2) в = В(з)п «).
дй. Особые точки мноюзначнога хоректера. Римановы поверхности 145 1~ — 1 Указание. Положить х =, ю = се+ 1' 8.86. ю = х —. з1+х 1 — х се+ 1 и 8.87. ю" = (1 + хк)е ' У к а з а н и е. Рассмотреть отдельно случаи четного и нечетного и. Если х = а — особая точка для одной из ветвей ?(х) функции ю(х), то областью неопределенности Р(х) в точке х = а называется множество предельных значений р(х), получаемых из ее значений в окрестности х = а над (х — а) ( г при г — ~ О. Для а. т. в. и полюсов область неопределенности состоит из одной точки.
Если функция однозначна и точка а — изолированная существенно особан точка, то, по теореме доходного, область неопределенности покрывает всю плоскость (см. также задачу 4.76). Для трансцендентных и логарифмических точек ветвления, а также для пеизолированных особых точек область неопределенности может иметь более сложную структуру (см. книгу: Го л у б е в В. В.
Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений.— Мл Гостсхиздат, 1951.— Гл. ?, З 7). В задачах 8.88-8.99 определить особенности функций, а также найти области неопределенности в трансцендентных и логарифмических точках ветвления. 8,88.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
