Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Доказать следующие утверждения. 1) В окрестности точки а !'уе Г(е,а) =, (г — а) '+ Г!(з) (з ф С), 2!згп ул Г(1,а) = (! — а) ~ + Гг(!) (! с С), где Гу(з) — функция, аналитическая в окрестности точки а. У к а за н и е. Рассмотреть разность 1 у Ит е' '~ Гг(з) = — (з — а) у 2л! / (т — а)у(т — -) 2! гйи тл с и, пользуясь формулами Сохоцкого, доказать, что Гг(з) будет анали- тической функцией в окрестности точки а. 2) В окрестности точки Ь -тле Г(з,Ь) = — (з — 6) '+Го(г) (з р С), 2!зш ул Г(1,6) = -"йт (! — 6)- + Г,(!) (! ~ С), где Гз(з) -- функция, аналитическая в окрестности точки Ь.
3) В окрестности внутренней точки го контура С Г(з,уо) = (з — 1о) У + Гз(з) слева от С, Г(з,го) = Г4(з) справа от С, Г(г го) = -(г го) ~ + Го(г), если г ь С, где Гз(з), Ге(з) и Го(з) аналитичны в окрестности точки Фо. З2Е Гл. У11 Интегралы типа Коши. Интаграаьныв фарлгулы 7.30. Выяснить поведение интеграла типа Коши 1 Г С йь —,~ 1и —— 2я1',/ à — 1 à — г С вблизи точек г = — В и г = В, если С вЂ” полуокружность Ц = В (В ) 1), лежащая в верхней полуплоскости (начало в точке В). Указание.
См, задачу 7.20. Примечание. О поведении интегралов типа Коши вблизи особой линии смл Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— Мл Физматгиз, 1962.— Гл. 1; Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— Мл Физматгиз, 1963.— Гл. 1.
'2 2. Интеграл Дирихле, гармонические функции, логарифмический потенциал и функция Грина Интеграл Р(и) = Ц(из + из) Йхйу называется интегралом Дирихле, а интеграл Р(и, с) = Ц(и,с, + илег) йх йу — соответствующей ему билинейной формой. 7.31. Доказать следующие свойства интеграла Дирихле и соответствующей ему билинейной формы: 1) Р(и) = Ц(из+ — из) дхдр (г = х+ гу = тече); С 2) Р(и) и Р(и,с) инвариантны относительно конформных отображений области 6'; 3) Рз(и, о) < Р(и)Р(и) (знак равенства имеет место только в случае иГ'о = сопят); 4) если функция 1(г) = и+1о аналитична в области С, то .0(и) = Р(о) = Р(Г) = ЦЦ'(гЯ йхор. Каково в этом случае геометрическое значение Р(1)? 7.32. Пользуясь формулой Грина ЦиЬийхйу+ Р(и,и) = ~о —" ог С С (и — внешняя нормалгя Ь вЂ” оператор Лапласа), доказать следующие свойства гармонических функций и, иы из (и — функция, сопряженная к и): дд.
Интеграл диригле, гармонические функции 127 1) .0(и) = /и — йг = / ийо; 2) / — сЬ = /йе = 0; с с С С 3) если и2 = из на С, то и2 = из в С; ди1 диг 4) если — = — на С, то и2 — из = сонат в С. дп дп 7.33. Доказать, что если и гармонична в круге ~г! ( Л и непрерывна в загикнутом круге ~г( ( Л, то 2г и(О) = — ~и(Легг) йд = —, ~~ и(те'т)т йт<йр.
о (г(<Я тдо Указание. Из равенства 71 — йг = 0 следует, что интеграл l дп с ийр не зависит от т; найти это значение с помошью предель)г(=г ного перехода при т -+ О, а затем совершить предельный переход при т -+ Л. 7.34. Интегралы вида //р(~) 1п сЦйц, /р(~)!и (йЦ, /ыЯ вЂ” 1п ~сЦ с с с (ь = с + щ, и — нормаль к С) называются соответственно логарифмическим потенциалом, логарифмическим потенциалом простого слоя и логарифмическим котекциалом двойного слоя. Проверить следуюшие равенства: 2г 1п —, если ф>Л, 1 1) — ' /1 ' йд = (ц = Ле'г); 2ку (~ — г( 1 о 1п —, если (г! ( Л 1п —, если )г) > Л, 1 ~а(~ 1п — +-[1 — ( — ) 1, если $4(Л; 3) / ы(ч) 1п ~сК! = /ы(ч) авгК(ч — г) (нормаль и берется д ! дп С с слева по отношению к обходу С); а — а угол, под которым виден отрезок ( — а, а) из точки г (а > 0).
Функиией Грина области С для задачи Дирихле д(х,у,С,ц) (коротко, д(г, Ь), г = х+ гу, ~ = С + гц) называется гармоническая 128 Ри г11 Иптаграхы типа Ноши. Интегральные формулы функция обеих пар переменных х, д и С, г1, равная нулю на границе области с1, имеющая особенность при х = ~, причем д(х, ~) = 1п — + гармоническая функция. 1 1 -0 функция Грина симметрична относительно своих аргументов, т.
е. д(х, С) .= д((,х) (см., например, 12, гл. Ч1, з Ц), 7.35. Сформулировать задачу Дирихле для гармонической функции, эквивалентную отысканию функции Грина д(х, Ь). 7.36. Пусть функция ш = 1(х, С) конформно отображает односвязную жорданову область С на круг !ш/ < 1 так, что ДС, ~) = О (С е сх). Доказать соотношения д( 0=-~ ~У( ь)~ 1(х,Ь) = е где п(х,ф) — гармоническая функцин, сопряженная с д(х,С). 7.37.
Пользуясь соотношением (1) задачи 7.36, найти функцию Грина д(х, Г) для следующих областей: 1) для круга ф < Л; 2) для полуплоскости 1шх > О; 3) для полосы О < 1шх < 1 7.38. Доказать следующие утверждения (и — внутренняя нормаль, 1„— окружность (х — Ц~ = т): 1) если и(х) непрерывна вблизи х = Г, то 1пп / и(г) д ' хЬ = 2гги(х); дд(х, г) о дп 2) если и(х) непрерывно дифференцируема вблизи х = ~, то 1пп / д(х, С) — ~Ь = О; ди(х) х е ' дп 7 3) если и(х) гармонична в 0 и непрерывно дифференцируема на С, то .К)=,— /'.(.) "," ° (. а). С Указание.
В формуле /(и — — д — )хЬт /(и — — д — )хЬ С тх совершить предельный переход при г -+ О. 4Я. Интеграл Пуассоне, формуле Шеарцц гармоническая мере 129 2 3. Интеграл Пуассона, формула Шварца, гармоническая мера Если действительная функция и(~) = и(Л,В) определена и кусочно непрерывна на окружности ~ = Ле'в (О < В < 2я), то инлгеграл Пуассона зе тг и(г) = и(т, ~р) = — ~и(й, В), ЫВ (1) о определяет в круге ф < Л (в = текр) гармоническую функцию, имеющую в точках непрерывности и(~) граничные значения, равные и(~): Дгп и(г) = и(~) т-гс (г — > ~ по любым некасательным путям). Соответствующая функция г(з) = и+ го, аналитическая в круге ~в~ < Л, определяется пс фарму- ле Шварца. У( ) = †' l~(() ~ " ВВ + ги(0) 2в Л о (о(0) — произвольное действительное число). 7.39. Доказать следующие утверждения: зг яг г 1) — '~ 2в 2 йг — 2йт сов ( — чг) + тг о 2) и(т,чг) — и(й,уо) = зг г г = — ( [и(Л,В) — и(й,уе)) йг Л, ду; о 3) если )и(Л,В) — и(й,уо)! < в для ) — Во( < сг, то г Кг тг — / )и(Л,В) — и(й,уо)( йг 2Л,В,, ВВ < в; М-во!<а 4) если ) — Во! > сг и )Вс — Во~ < о/2, то Лз — 2йт сов( — ~о) + тз > 4йт вгп 5) если рр — Во( < се~2 и выполнены условия п.
3), то рг(йг г) )и(т,~р) — и(Л,Во)) < в+ где А = 4яйтвгп —, М = / )и(Л,В) — и(Л,Во)(ЙВ. о 9 Л.И. Воековысккя к вр. 1ЗО Г». г11, Интегралы тала Коши. Интегральные фор»ьр*ы 7.40. Доказать, что если Ь = Ве'е, в = геее, то ~+ е (Ве — гв)+ а2Ягеш(ье — В) ~ -е Вь — 2Ягсое( — ье) +ге Пользуясь доказанным равенством, получить следующие разло- жения; lгьк и(х) = и(0) + ~ ~~ — ) (а„совпьо+ Ь„вшпьо), .=1 Iг о(х) =и(О)+ ~~ь (-~ ( — Ь„савау+а„вшпр), »=1 У(з) = ДО) + ~ с х", ,((0) = и(0) + ьи(0), где 1 г зк 1 г 2к а„= — ~ и(В,В) сов пВВВ, Ь„= — ~ и(В,В) вшпВсйУ, о о 2к с„= „" = — „/ и(В, В)е ™ ВВ.
о 7.41. Доказать, что для гармонической функции и(в) интеграл Дирихле Й(и) = 0 (и +и„) йхйу = к~ ~п(а,, + Ь„) )г)<я »=1 (коэффициенты а„и Ь„определены в предыдущей задаче). При этом обе части равенства одновременно могут обращаться в бесконечность.
Указание. Перейти к полярным координатам (г,у) н доказать, что если г < В, то 11„(и) = Ц (из + и„)ь(х др = .н ~~~ и ( †) (а~ + Ь„). 1к! < »=1 7.42. Доказать, что для непрерывной функции (В,В) =~ " "," »=1 интеграл Дирихле определяет гармоническую в круге (з! < В функцию и(х) с граничными значениями и(В,В) и бесконечным интегралом Дирихле В(и) = со. 7.43. С помощью интеграла Пуассона решить внешнюю задачу Дирихле для круга )х) < В: найти функцию и(в), гармоническую в области ф ) В, регулярную на бесконечности и имеющую заданные граничные значения и(ь,) на окружности Ц = В. Определить значение и(оо). Указание. Сделать замену вь = Вз/». ус.
Пнжеграл Пуассона, 4орму*а Шварца, гаресоничеснал мера 131 7.44. Доказать, что для [е] > В формула Шварца (см. введение к 2 3) определяет аналитическую функцию Л(с) = иг(с)+сиг(г), регулярную на бесконечности, и имеют место разложения: П~ ОО Л(с) = — /( — ) = — ДО) — ~:„", с „= сс~"сп, п=1 иг(с) = — (и(0) + ~ ( — ) (а„солинг+ Ь„е1пяр))~, п=1 то ис(з) = — о(0) + ~ ~~ — ) (-6„солинг+ а„з1писо), сП~ где а„, 6„, с„определяются так же, как в задаче 7.40.
При зтом ВеЛЯ = — Пе/(~) = — и(~), 1пгЛ(~) = 1пг/(~). Указание. В формуле Шварца для [с[ > В сделать замену с = = Пз/с~ и воспользоваться тем, что ~ = Пз/~ на окружности ф = В. В задачах 7.45 — 7.50 найти функции /(с) ([с[ < П) и Л(з) (]г[ > П), определяемые формулой Шварца, если и(~) — заданная функция. 7.45. 1) иЯ = Пе [у(~) + с6(~)]; 2) иЯ = 1гп [у(~) + с6(~)]; где д(з) — функция, аналитическая при ]з] < П, а гр(с) — при ]с] > П. 7.46. и(~) = Ве~".
7.47. и(() = Ке — „. 7.48. и(с,) = Ке 1п — (П > 1). т4а. (С)=г./ ~ (... С С,1 — г; г>1). Г7 ч — 1 ~/С-1 7.50. и(~) = Пе 1п с,". 7.51. Доказать, что формулу Шварца можно записать в виде 1(г) ~ .Я ~ -/(О). ~О=Я ч+с 2 1 У к а з а н и е. Воспользоваться равенством СЫ вЂ” с) С вЂ” г 7.52. Получить формулы, аналогичные интегралу Пуассона и формуле Шварца для верхней полуплоскости 1гп г > О, т. е, выразить гармоническую функцию и(с) и аналитическую функцию /(с) = и(з)+ со(с) через и(1) ( — оо < С < со). У к а з а н и е.
Воспользоваться кон фар ми ым отображением полу- плоскости на круг. 7.53. Вывести формулу Шварца длн полосы 0 < 1пгс < 1. У к а з а н и е. Воспользоваться конформным отображением полосы на полуплоскость. 132 Гл, г?Д Интегралы тило Коши. Интеграленые формулы Гармонической мерой ю(г,а, С) граничной дуги а в точке г относительно области С называется ограниченная, гармоническая в С функция, равная 1 во внутренних точках дуги а и Π— во внутренних точках остальной части границы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
