Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Доказать, что при действительных значениях х / — С)С вЂ” -~~! Г( ) — „(а > — 1,,9 > 0), о п=! где при х > 0 под интегралом понимается его главное значение. 4.242з. Доказеть, что /.*'- 'а з з !Си з Г1 1 1 3 1 3 5 ) + , + ... 2 (,2г 2згз + 2згз 2!ге причем знаки + или — берутся соответственно тому, будет Йех > > 0 или Ке х ( О. Если Вез = О, то слагаемое перед скобкой можно опустить. 4.243.
Найти асимптотическое разложение функции У(С) 2 ' / +Г ( > 0)' с! Найти также разложение 1(С) при малом С. 98 Гл. 1К Рад Лоуака. Особые точки одкогкачкых аналитических функций Указание. Заменить Сг контуром, указанным на рис. 28. Для Ге ч/х дх получения асимптотического разложения интеграла ,/ хг + игг о Ркс. 28 Ркс. 29 воспользоваться указанием к задаче 4.237.
При малом 1 следует Сг 1 выбрать так, чтобы сг было больше иг, и разложить — „в ряд. г ь„Р 4.244. Доказать, что с а=о 4.245. Найти асимптотическое разложение функции егг дс г'И) = —. ' ' (с~/' > О при з > О). 2кг. / с(1+,г/г) с, Получить также приближенную формулу для /11) при малом 1. Указание. Для получения асимптотического разложения заме- 1 гг/3 нить Сг контуром, указанным на рис. 29, где зг = — -+ —, зг = 2 2 г З = — — — —. При малом 1 абсциссу прямой Сг следует взять больше 2 2 единицы.
2 5. Распределение нулей. Обрагненне рядов Теорема Руше В задачах 4.246-4.247, пользуясь теоремой Руше, найти количество лежащих внутри круга ~з! < 1 корней данных уравнений. 4 246 зе 2хе+ зз 8 2 О ад. Раенредеяение нияеб.
Обращение рядов 97 4247 2гв гз+Згг г+8 0 4248 гг бге+гг 2 0 4.249. Доказать, что если во всех точках контура С справедливо неравенство )аяг"! > (по + аег+ ... + ал ег '+ аь ьег +' + ... + а„г" (, то многочлен ао + а~г + ... + а„г" имеет Й нулей внутри контура С, если точка г = 0 лежит внутри етого контура, и не имеет нулей, если она лежит вне контура С. 4.250. Сколько корней уравнения г4 — 5г + 1 = 0 находится: в круге )г) < 1; в кольце 1 < )г! < 2? 4.251. Сколько корней уравнения г4 — 8г + 10 = 0 находится: в круге ф < 1; в кольце 1 < (г( < 3? 4.252.
Сколько корней имеет в круге ~г) < 1 уравнение г" + аог + пег + аг — — О, если (ао! > )а~( + )аг) + 1 (и — натуральное число)7 4.253. Сколько корней имеет в круге )г) < 1 уравнение г = 1о(г), если при ф < 1 функция |р(г) аналитична и удовлетворяет нера- венству )р(г)! < 1? 4.254.
Сколько корней имеет в круге )г~ < 1 уравнение е' — 4г" + 1 = О (и — натуральное число)? 4.255. Сколько корней имеет в круге )г) < Рг уравнение ее = аг" (и — натуральное число), если ~а! > е~/В" ? 4.256. Доказать, что уравнение г = Л вЂ” е ' (Л > 1) имеет в пра- вой полуплоскостн единственный (и притом действительный) корень. 4.257". Доказать, что, как бы мало ни было р > О, прн доста- 1 1 1 точно большом п все нули функции 1„(г) = 1+ — + — + ...
+— г 2!г' и!г" находятся в круге ~г~ < р. 4.258. Доказать, что если р < 1, то многочлен Р„(г) = 1+ 2г+Згз+ ... + пг" при достаточно большом и нс имеет корней в круге ф < р. Указание. Воспользоваться методом решения задачи 4.257, Принцип аргумента 4.259. Функция 77(г) мероморфна в области С и аналитична на ее границе С. Доказать следующие утверждения: 1) если ~у(г)! < 1 на С, то число находящихся в области С корней уравнения ~р(г) = 1 равно числу полюсов функции 1о(г) в области С; 2) если ~1р(г)( > 1 на С, то число находящихся в области С корней уравнения 1о(г) = 1 равно числу нулей функции р(г) в области С; 3) утверждения 1) и 2) остаются справедливыми, если уравнение 1о(г) =1 заменить уравнением 1о(г) =а, причем ~а) >1 в случае 1) и (а~ < 1 в случае 2).
7 Л.И. Вояковыоккй к яр. аа Рт, Лт. Рнд Лорана. Особые точки аднотначныт анаеитическит функция 4.260. Пусть ни один из нулей многочлена Р„(г) = г" +ага" ' + ... +а„ не лежит на мнимой оси. Доказать, что когда точка г пробегает сверху вниз мнимую ось, приращение аргумента Рн(г) равно кх, где й — целое число той же четности, что и и, причем ~)с) < и. Доказать, что при этом многочлен Р„(г) имеет в правой полуплоскости (и + й)/2 нулей. Указание.
Представить Р„(г) в виде Р.(.) =г"(1+'— '+...+ 1 га у и применить принцип аргумента к полукругу ф < В, Нег > О, при достаточно большом В. 4.261. Найти количество корней многочлена '+ "+ бг4+ б з+ вгг+ 4 + 1 в правой полуплоскости. 4.262. Найти количество корней уравнения г4 + 2гз + 2гг + г + 2 О в правой полуплоскости и в первом квадранте. 4.263. Сколько корней в каждом квадранте имеет уравнение 2г~ — Згз + Згг — г + 1 = Ог 4.264. В каких квадрантах лежат корни уравнения г4+ гз + 4гг,1 2г+ 2 Ог 4 265 Доказать, что число корней уравнения гг + счгг -г+Дг (а и Д вЂ” действительные числа, а зЕ О, Д ф О; и — натуральное число), имеющих положительную действительную часть, равно и, если и четное.
Если же и нечетное, то число их равно и — 1, если сч > О, и и + 1, если а < О. Указание. Рассмотреть приращение агй(гга+счг~" '+Дг), когда точка г описывает границу правого полукруга большого радиуса. Если коэффициенты многочлена Р„(г) = г" + а1 г" ~ + ... + а„гг + а„ зависят непрерывно от действительных параметров сг, )1, то для того, чтобы найти зависимость числа нулей Р„(г), расположенных в правой полуплоскости, от параметров, можно поступать следующим образом (исходя из того, что каждый нуль непрерывно зависит от коэффициентов многочлена). Построить в плоскости сч, )г' линии Р„(гг) = О (т — действительный параметр), т.
е. линии, для точек которых среди корней много- рд. Распределение нулей. Обращение радое члена имеются чисто мнимые корни (или нуль). Эти линии делят плоскость се, )7 на области, в каждой из которых число нулей Р„(л) с положительной действительной частью постоянно. Это число можно найти, взнв произвольную точку соответствующей области и применив к ней, например, метод из задачи 4.260. В задачах 4.266-4.268 определить области плоскости се,,9, в которых число корней соответствующего многочлена Р(с), имеющих положительную действительную часть, постоянно; найти для каждой области это число т. 4 266 Р(з) за+ вез+ па+ 4.267.
Р(.) ="+ аз+ Д.+1. 4 268 Р(з) сз + (се + д)аз + (о — 1е)г + сс. 4.269. Пусть 1(г) = Р„(л)+ц (з)е ", где г > 0; Р„(с) и су,„(з) — взаимно простые многочлены, причем и > т и 1(с) не имеет нулей на мнимой оси; Ю вЂ” число нулей многочлена Р„(с) в правой полуплоскости.
Доказать, что для того, чтобы функция 7'(г) не имела нулей в правой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы точка ш = — е " обходила Ф раз в положительном направлении Я (с) Рп(с) точку ю = 1, в то время как точка з обходит снизу вверх всю мнимую ось (если Р„(с) имеет нули на мнимой оси, то при движении точки з по этой оси следует нули Р„(с) обходить справа по полуокружностям достаточно малых радиусов).
В задачах 4.270-4.272, пользунсь теоремой задачи 4.269, найти области в пространстве коэффициентов о, Ь (т. е. в плоскости а, Ь), для которых все нули соответствующих функций лежат в левой полуплоскости, полагая, что т > О, а и Ь вЂ” действительные числа. 4.270. с+а+Ье ". 4.271. з~+аз+Ье "*. 4.272. з~+ (аз+ Ь)е ". 4.273. С помощью теоремы Руше доказать, что если функция щ = 1(з) в окРестпости точки зо имеет Разложение У(з) = що+се(с — зо) + ... (се ~ О, Ь ~> 1), то при достаточно малом т > 0 существует такое р > О, что любое значение ш ф шо из кружка ~еи — шо( < р принимаетсн в точности Й раз в кружке ~з — зо~ < г, и притом в различных точках.
4.274. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать, что аналитическая функция обладает свойством сохранения области. 4.275. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать для аналитической функции принцип максимума модуля. Доказать, что этот принцип справедлив для произвольных непрерывных отображений еи = 1(з), сохраняющих область. зоо Га 1Г Рнд Лорана. Особые точки однозначных аналитических функция 4.278. Доказать, что если в условиях задачи 4.273 1с = 1, т. е.
1'(зо) За О, то функция 7(з) устанавливает взаимно однозначное и конформное соответствие между некоторой односвязной окрестностью точки зо и кружком )ю — юо~ С р. Указание. Рассмотреть в кружке ~в — шо~ ( р функцию з = =1 '( ). 4.277. Доказать, что если в условиях задачи 4.273 й > 1, то функция ш = 7(г) отображает взаимно одвозначно некоторую одно- связную окрестность точки зо на Й-листный круг с центром в точке шо 4.278. Распространить теоремы, доказанные в задачах 4.276- 4.277, на случай, когда точка зо является простым или кратным полюсом функции ((з). 4.279.
Доказать, что если разложение функции 7'(з) в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид 7( ) =Ао+ — + =+...+ — +..., А~ Ае Аь ее "' еь то некоторая окрестность бесконечно удаленной точки может быть взаимно однозначно и конформно отображена на однолистный круг, если А, ~ О, и на й-листный, если А~ = Аз = ... = Аь ~ —— 0 и Аь ~ О. Обращение рядов 4.280. Пусть Г(е) = з — а — ш7(з), причем функция 7'(з) аналитична в точке з = а. Пользуясь теоремой Руше, доказать, что при достаточно малом (ш) существует круг К с центром в точке з = а, в котором функция Г( ) имеет только один нуль (простой).
Показать также, что если г(а) ф О, то при соответствующем выборе значения и любал точка из некоторой онрестиости точки з = а может стать нулем функции г'(з). 4.281. Пусть з = з(ш) — однозначная функция, определенная при достаточно малом ~ш~ уравнением з — а — ш1(з) = О, функция 7"(з) аналитична в точке з = а и 7(а) ф О. Доказать, что для всякой функции ф(з), аналитической в точке з = а, при достаточно малом )и) имеет место разложение = ф(о) + ~ ~— — (ф(о)(7(о))е) нац Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
