Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(е + п) и поКазать, что: 1) Г(а+1) = зГ(г); 2) Г(!и+ 1) = т!, если т — натуральное число. 6.34. Доказать, что ~-у о(о+ ~3-Ь и) Г(а+ 1)Г(Д+ 1) ~~ (а+я)(Ц+п) Г(о+~9+1) 6.35. Доказать формулу Вейерштрасса Г( ', Ц = с и ~1+ И.-*'", о=1 где С вЂ” постоннная Эйлера. Указание. Воспользоваться решением задачи 6.7. дй.
Разяоисение в ряды простые дробей и в бесконечные произведения 118 6.36*. Пусть рз, рз, ..., р„, ... — последовательность всех простых чисел (р! = 2, рз — — 3, рз — — 5, ...), а л(в) = ~ ~п ' (и и=! = е """) — дзета-функция Римана, аналитическая в полуплоскости Кев > 1 (см. задачу 5.23). Доказать, что: )(()= /П( — .') и=! 2) функция !,(е) не имеет нулей в полуплоскости Пев > 1. П р и м е ч а н и е. Исследованию дзета-функции посвящена обширная литература. См., например, монографию: Титчмарш Е. Б. Теория дзета-функции Римана. — 5!.: ИЛ, 1953. 6.37 . Доказать, что ряд 1 †, гле (р ) -- последовательность 1 и=! простых чисел, расходится. 8 2. Разложение в ряды простых дробей и в бесконечные произведения.
Суммирование рядов 6.38. Пусть 1(з) — мероморфная функция с простыми полюсами в точках ам аз, ..., а„, ..., причем 0 < )о!( < (аз! < ..., 1пп а„= со. Обозначим через А„вычет функции 1(з) относительно пол!оса а„ (и = 1,2, ...). Допустим, что существует последовательность замкнутых контуров С, удовлетворяющих следующим условиям: 1) С не проходят ни через одну из точек а„; 2) каждый контур С содержится внутри контура С,„.л!., 3) минимальное расстолние от контура С до начала координат (обозначим его через П ) неограниченно возрастает при гп -+ сю; 4) отношение длины Т„, контура С,„к Л остается ограниченным, т. е.
Ьт = С(П„); 5) щах !,г'(з)! = о(Л ) (это условие, очевидно, выполняется, если зеС функция 1(з) ограничена на всех контурах С ). Доказать, что при этих условиях имеет место разложение функции 1(з) на простейшие дроби Дз) =~(0)+ лс А„( + — ), о=! причем сходимость ряда будет равномерной во всякой замкнутой области, ие содержащей точек а„, если под знаком суммы сгруппировать слагаемые, относящиеся к полюсам, заключенным между С и С л! (пз = 1, 2, ...).
8 Л.!!. Вояковыския и лр. 114 гл. И. Бесконечные произееоенин. Целые и мероморфные функции У к а з а н и е. Применить теорему о вычетах к интегралу )' УЫ) К 2п1,г ~(с — е) С,п и перейти к пределу при п! -г со. П р и м е ч а н и е. Относительно различных обобщений сформулированной теоремы см., например, [1, гл. Ъ'П1, п. 4]. В задачах 6.39-6.46 доказать справедливость разложений. 6.39. с!8л = — + ~, . 6.40.
—. = — + ~~~ Цп2 е ег — поп' ' егя л г е' — пгп' ' п=! п=1 6.41. !82 = ~~ г 6.42. — = гг ~~ 1 ~-~ ( — 1)п(2п — 1) соек ~ 1(2п — 1)и] гг=1 Лà — ~ 2 гю 6.43. 15е = ~ ~~,. 6.44. — = — + ~~~ и=! е'+ (2п — !)п1г е1ге е гг -г пгпг п=1 2 6.45. = 1 — — + г е' — 1 2 г ег -Ь 4пеиг п=1 6.47. Пусть Де) — целая функция с простыми нулями в точках аг,аз, ...,а„, ..., причем 0 ( (аг( ( (аз! ( ..., !пп а„= оо. Лопустим, что существует система контуров (Сп), удовлетворяющая условиям 1) — 4) задачи 6.38, на которых Показать, что во всей плоскости имеет место разложение В задачах 6.48-6.54 доказать справедливость разложений. оо ~г 6А8, а!па = е П (1 — г 4). де.
Разяозкение в ряды просгпых дробей и в бесконечные произведения 11в 6.49. спал = Ц (1 — ~ «=1 Из 2 6.56. вЬ. = . Ц (1+ — ',,), п=1 6.51. сЬ з = Ц (1+ ~(~,) ~ ~. з=о 6.52. е' — 1= гезгз Ц (1+ 4«зкз/ =1 6.53. е'з — ези = (а — б)ее< ч-')"'22 П [1+ (а 4пз 112 «=1 гс 6.54. сЬ вЂ” сола = -2 Ц (1+— 4и" пг I п=1 6.55.
Пусть г'(з) — мероморфная функция, имеющая конечное число полюсов аг, ав, ..., а,„, не совпадающих ни с одной из точек з = О, ~1, ~2, ... Доказать, что если существует последовательность контуров (Сп), стягивающихся к бесконечно удаленной точке, при- чем пп 1 1'( ) сгйявгЬ = О, (1) с то ~ 1(п) = — я~~ гев[Г(з)с1яя [2 п= — сю в=1 6.56. Доказать, что если в условиях предыдущей задачи требова- Г У( )дз ние (1) заменено условием 1пп зг = О, то игги егп кз СЮ l,.
~ ( — 1)"1(п) = -зг~ геа ~ ] п= — сс 1=1 В задачах 6.57 — б.64 найти суммы рядов, предполагая число а таким, что ни один из знаменателей не обращается в нуль. сз п пс 6.57. ~~ . 6.58. У ( ) . 6.59. 7 (а + п)2 ~-г (а.1-п)2 ~-~ (2п Ч-1)2 и=-сс ии-сэ =о п=с и=с п=с 6.63.
~ ~—, (зс — натуральное число). 1 «=1 116 Гл. Рб Бесконечные произведения. Г(алые и мероморфные функции Указание. Сначала доказать, что если г = Π— полюс функции Г(»), то формула для суммы ряда из задачи 6.55 остается справедливой, если в ее левой части суммирование распространено на все значения и от -оо до +ос, кроме значения и = О. При 1сьб «г»1 вычислении гез ~ — ~ «=о удобно воспользоваться разложением из задачи 3.102. в=1 ( я<5<я).
Указание. Воспользо- Рнс. ЗО »е' '«Г» ваться интегралом 1' г «(ф— контур из задачи 6.56). (пг — »з) г(п «г» 6.65. Доказать, что ъгз/2 ~~ (и' — 3)ч«4пг — 3 „У(3 — х«)~/3- 4хг 6 „г(х + — с(5 (к(2 — Л)) . У к а з а н и е. Воспользоваться интегралом / » с15 к» «Г» (»г — 3)ч/4»з — 3 с„ где ф— контур, ограничивающий указанную на рис. ЗО двусвязную область. 3 3. Характеристики роста целых функций' ) ') По поводу задач этого параграфа смл Левка В. Я. Распрелеленне корней целых функций.— Мл Гостехнздат, 1956; а также (3, гл. У11, 4 1). Пусть у(») -- целая функция и М(г) = пгах~Д»)(. Число р = — 1и 1и М (г) = — 1пп называется порядком целой функции. Если О < — «с 1п« вЂ” 1и М(г) < р < оо, то число а = 11т называется типом функции.
Ест-«со гя ли а = О, функцил Г(») называется функцией минимального типа; если а = оо, функция Г(») называется функцией максимального типа; если О < а < со, функция Д») называется функцией нормального типа. уа. Характеристики раста целик функций 117 6.66. Доказать следующие утверждении. 1) Если р ф оо и а ф со — соответственно порядок и тип функции 1"(г), то для любого а > 0 можно указать такое число Л(г), что при г > В справедливы неравенства М(г) < е", М(г) < е~'"'~" .
Можно также указать такие последовательности чисел (г„) и (г'„), сходящиеся к бесконечности, для которых М(г„) > е"" и М(га) > е~~ 2) Если для некоторого натурального числа 1. — М(г) 0( 11п1 <сю, — г" М(1) то 7" (г) — полинам степени к (значит, существует 1пп— — ~со ту Указание. Воспользоваться неравенствами Коши для коэффициентов степенного ряда 7(г) = ~ с„г". к=о 3) Если 7"(г) — целая трансцендентная функция, то 1и М(г) с — ~ж 1иг В задачах 6.67 — 6.79 определить порядки и типы указанных функций (и, — натуральное число). 6.67.
саге + с1г ' + ... -Ь с„. 6.68. е'= (а > 0). 6.69. г "ез". 6.70. ггег' — ез'. 6.71. еье — Зег 6.72. е11 Ок . 6.73. гбпг. 6.74. си г. 6.75. е' соз г. 6.76. соз 17т к 6.77*. ~ (пс — натуральное число). (2™ а)! н= 1 6.78. е'*. 6.79. /е" й. о 6.80. Целая функция 7'(г) имеет порядок р и тип а (О ( а ( со). Доказать, что функция Р(г)7" (г) + С„>(г), где Р(г) и Сг(г) — любые многочлены, имеет также порядок р и тип а. 6.81. Целые функции 71(г) и Яг) имеют порядки, соответстненно равные р1 и рг, причем р1 ф рг. Что можно сказать о порндкс р' функций,Г1(г)71(г) и 1 1(г) + 7з(г) . 6.82.
Целые функции 11(г) н 71(г) одного и того же порядка р имеют типы, соответственно равные а1 и аг, причем а1 ф аг. Что можно сказать о порядке р' и типе а* функций: 1) Л (г)зг(г); 2) Л (г) + 1г(г)7 11а Гм 17. Бесконечные произведения. Целые и мероморфные функции 6.83. Целые функции /1(з) и /з(з) имеют один и тот же порядок р и один и тот же тип о..
Что можно сказать о порндке р' и типе о' функций: 1) /1(з)/з(з); 2) /1(а) + /з(л)2 6.84*. /(з) = Ц (1 — — 1~1, Лп > 0 (и = 1, 2, ...), 111п — = а > Лй)' Л„ п=1 > О, 11п1 — = Д < са. ДОКазатЬ, что /(з) — цеЛая фУнкЦия первого ~~~ Л порядка, причем тип о этой функции таков, что ха < о < я~3. ° и 2л 6.86. /(з) = Ц (1 — — 111, Лп > 0 (и = 1,2, ...), 2Л вЂ” натураль— „), и=-1 ное число. Доказать утверждения: и 1) если 1!т — = О, то /(з) — целая функция, растущая нс ~~~ Л быстрее, чем функцин порядка 1с и минимального типа; 2) если 1цп — = аа и Л вЂ”,, < аа, то /(з) — функция, растуииси Ли л Л'„ и=1 шая не медленнее, чем функция порндка Й и максимального типа. Указание.
Воспользоваться методом решения предыдущей задачи. 6.86". Доказать, что порядок и тип целой функции не изменяются при дифференцировании функции. Решить задачи 6.87 — 6.94, основываясь на следующей теореме; если разложение целой функции в степенной ряд имеет внд /(з) = с„г", то порядок р и тип о этой функции определлются раи=о венствами р = 1пп, (1тер) Ри = 1пп и'1о фс„~). !и ~1/си|' ичио ( 6.87. Доказать, что целая функция /(.) =~ ' ("'), (А>о, >о) п=а имеет порядок р = 1/а и тип о = А11".
У к а з а н и е. Воспользоваться формулой Стирлинга Г(аи+ 1) = ( — ) 1/2хаи (1+0( — )). В задачах 6.88-6.94 найти порядки и типы данных функций 6.88. /(з) = ~~ ( — ) . 6.89. /(г) = ~~~ ( — ) зп (о > О). и=1 п=1 ГЛАВА У11 ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА И ШВАРЦА 2 1. Интегралы типа Коши Интеграл вида ~РЮйч 2яг,l ь — г с где С вЂ” гладкий контур') (замкнутый или незамкнутый) и ьс(~)— функция, непрерывная на контуре С, за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет интегрируемый разрыв, называется интегралам пшпа Коши. Функция д(~) называется его плат- 1 ностью, а — -- ядром. Интеграл типа Коши представляет функь' — г цию К(г), аналитическую в каждой области, не содержащей точек контура С. При этом Кбй(,) гй )' у'(ь)йь (1) 2пг ./ (ь — г)""' с 11усть р(Г) на контуре С удовлетворяет условию Липшица порядка а (О С о < 1) (коротко, Чз(~) Е Ь)р о), т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
