Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1) Р— полоса 0 < о < )1; и1( — со, оо) -+ х(0, оо) 1); 2) Р— полоса 0 < с < 11; ш( — сю, со) -1 х( — 1,1). 9.7. Р— полуполоса 0< и < л, е < 0; ш(О,л, — хоо) — 1 х(1, — 1,сю). 9.8. 1) Р— прямоугольный треугольник с острыми углами 3' —:, ш О,и1,их+ — '" ~) — 1 «(0,1,оо); 2) Р— прямоугольный равнобедренный треугольник; ш(0, со, и1 + ти1) -+ х(0, 1, оо); 3) Р— равносторонний треугольник; 9.9. Найти области плоскости и, на которые функция ш(х) = /( '(1 — 1)~ '1(( (агбш'(х) = О, если 0 < х < 1) е отображает верхнюю полуплоскость 1птх > О, если: 1) 0 < сх < 2, 0 < )3 < 2; рассмотреть случаи: 1) Здесь и в дельиеашем символом ш(А,В,...) -1 х(а,Ь, ) оаолилчеко соответствие точек и- и х-ллоскостеа: А + — 1 а, В + — + Ь, Га.
1Х. Конформные огполрахениа (продоехение) 152 а) а+)3 < 1; б) а+)3 = 1; в) а+)3 > 1, в частности а+)3 = 2 и а =)3= 3/2; 2) 1 < а < 2, — 1 < р < О, а + )3 > 1; рассмотреть случаи: а) а = 1, )3 = 0; б) а + )3 = 1; в) а = 2; г) а х 2, )3 = 1/2; д) а = 2, )3 х — 1. 9.10. 1) Найти области плоскости ю, на которые функция ю(з) = пт = х/з(з — 1.) + (1 — 2Л) 1п (х/з+ х/е — 1) —— .'л — -) отображает верхнюю полуплоскость. Рассмотреть случаи: Л < О, 0 < Л < 1/2, Л = 1/2, 1/2 < Л < 1 и Л > 1. 2) Найти области плоскости 1о, на которые функция (.) = 1 (" ' ' — "' = Ч! ( /. + /с: 1) — ЛЪ Я 2ез IФ вЂ” 1) 1 е1 1 отображает верхнюю полуплоскость. Рассмотреть случаи: Л О<Л<1 и Л>1.
<О, 9.11. Отобразить верхнюю полуплоскость 1пз з > О на области 1) 2) 3) С С В А А В 1~~ Ь~ С С С 5) 4) С В л~~~ фн В А вин точек: 1) 1о(А = О, В = 1, С = со) -1 з(0, 1, оо); 2) ю(А = О, В = 1, С = оз) -1 з(0,1,оо); 3) то(А = О, В = оо, С = со) -+ з(0, 1, оо); 4) ю(А = О, В = со, С = оо) -+ з(0, 1, со); Рнс. 34 в 1о-плоскости, указанные ка рис.
34, при заданном соответст- 21. Формула Кристоффвля — Шварца 183 5) ю(А = О, В = 1а, С = со) -+ з(0,1,оо). 9.12. Отобразить верхнюю полуплоскость 1тз > 0 на области в ю-плоскости, указанные не рис. 35 (О < д ( 1): 1) ю(А,В = О, С = со) -+ з(0,1,оо); 2) ю(А, В = О, С = оо) -+ з(0, 1, оо). В случае, когда у — рациональное число (д = р/д), выразить получающиеся интегралы через элементарные функции. 1) С В ЕБ~ С А 2) С А Рис. 36 Рис. 33 9.13. Отобразить верхнюю полуплоскость на область, указанную на рис. 36 (дуга АС вЂ” полуокружность) ю(А = ав', В = оо, С = 0) — 1 л(0, 1, оо). У к а за н не. При помощи отображения Ь = а/ю сводится к частному случаю задачи 9.12, 2).
9.14. Отобразить верхнюю полуплоскость 1гл г > О на область ю-плоскости, указанную на рис. 37, при условии ю(А = — Ь, В = оо, С = 5, В = оо) -+ г( — 1, О, 1, оз). (Возможность такого отображения следует из принципа симметрии.) В В Рис. 37 Рис. 38 9.15. Отобразить верхнюю полуплоскость 1т г > 0 на ромб в юплоскости с углом ка при вершине А и стороной д (рис.
38). ! 154 Рл. )Х. Конформные отоораженип (продолжение) Соответствие точек задано схемой в(А = О, В ж Ы, С = 11 (1 + е' о), .0 = г1ег™м) -+ х(0, 1, со, — 1). Обосновать возможность такого отображения. 9.16. Отобразить верхнюю полуплоскость 1пгх > 0 на области 3) ч ь 0 В ь ч~ А В ь' Р с и, В Е В В В' А Рис. 39 9.19. Найти область, на которую функция нЛ о отображает единичный круг ф < 1. в в-плоскости, указанные на рис. 39.
Параметры а, Ь (а > О, Ь > > 0) — прообразы соответствующих вершин — не могут быть заданы произвольно, и их следует найти: 1) в(А = О, В = со, С = Н + 1Ь, В = оо) — г г(0, 1, а, оо). 2) в(В=ос, С=Н+1Ь, В=со, С'= — Н+121, В'=оо) — 1 -+ г(1,а,оо,— а,— 1). Указание. Провести дополнительный разрез по мнимой оси и воспользоваться принципом симметрии; 3) в(А = О, В = оо, С = оо, В = -Ьз — 1(Ьг — 61), Е = оо) -+ -+ г(0, 1.,а, со, -Ь). 9.17. 1) Найти функцию в(г), отображающую круг ф < 1 на внутренность правильного и-угольника с центром в начале координат и одной из вершин в точке в = 1, при условии, что в(0) = О, в'(0) > О. 2) Отобразить круг !~! < 1 на внешность того же п-угольника при условии, что в(0) = оо, в(х) > 0 (О < х < 1).
Определить с 1 в разложении в(г) = с 1(г+ ... 9.19. 1) Найти функцию в(г), отображающую круг )г) < 1 на внутренность правильной пятиконечной звезды с центром в начале координат и одной из вершин в точке в = 1; условия нормировки: в(0) = О, в'(0) > О. 2) Отобразить круг )г) < 1 на внешность той же звезды; в(0) = со, в(х) > 0 (О < х < 1); определить с 1 в разложении в(г) = с 1/г + ... у К Формула Кристоффеля-Шварца 9.20. Отобразить верхнюю полуплоскость 11пз > 0 на правильный и-угольник в ю-плоскости с центром в начале координат и одной нз вершин в точке ю = 1; нормировка: ю(1) = О, ю(0) = 1. 9.21. Пусть область Р в ю-плоскости есть внешность "звезды", сос- Аз таящей из п отрезков, выходящих 2 1 из точки ю = О (ряс.
40). Пусть Ал — вершины Р в начале координат и ссьп — соответствУющие Углы В! с ( аь = 2), Вь — вершины Р в 2=1 концах отрезков звезды (А1, В1, Аз, В2, ... расположены в порядке положительного обхода Р), )ь = АлВЛ вЂ” длины отрезков звезды. Доказать, что функция ю = 1(з), Г'(0) = оо„отображающая единичный круг ~з~ < 1 на Р, имеет вид и)=-',П( -")" Ь=1 где С вЂ” комплексная постоянная, а ал = = евое — точки на окружности ~2~ = 1, соответствующие Аь. 'Точки бв = е'е", соответствующие вершинам Вы являются корнями уравнения с Ле'" --'=О. (3) ь=! Как определить параметры С, аро Ьь? О Указание. При продолжении по принципу симметрии функция /(г) умножается на постоянные множители, поэтому функция Р( ) =У'(2)/П ) Рвс. 41 является однозначной в з-плоскости. Примечание.
Полученная формула сразу дает решения ряда задач из гл. П, например, задач 2.128, 2); 2.129, 1); 2.131; 2.137. Рекомендуется заново решить указанные задачи и определить постоянные, входящие в общую формулу. 9.22. Отобразить внешность двузвенной ломаной (рис. 41) на внешность круга ф > 1 при условии ю(оо) = оо, ю'(оо) > О. 9.23. Доказать, что функция ю = 1(з), отображающая верхнюю полуплоскость 1ш з > 0 на внешность звезды задачи 9.21, имеет вид — П( -")"" (2 — 22)(2 — ес) Л=1 где зо — точка верхней полуплоскости, переходящая в оо.
Рис. 40 Ле Гм 1Х. Нонформные отобрехения (нродоехение) 15б Се 9.24. Пусть область Р в 1о-плоскости ограничена лучом (О, оо), и — 1 отрезками, идущими из и1 = Ие 12, = 0 в точки В1 (1 = 1,2, ...,и — 1), и А Аз п1 — 1 лучами, идущими из точек Р, (е = 1,2,...,п1 — 1) в оо, такими, что их продолжения в противоположную сторону встречают начало координат (рис. 42). Пусть Аь (й = = 1,2,...,п) — вершины Р в начаРис. 42 ле, анп — соответствующие углы, С) О = 1,2, ...,п1) — вершины Р в со, у) и — соответствующие углы, А1 В1 Аз...А„С1 Р1 ...С вЂ” положительныйй обход границы Р.
Доказать, что функция щ = )'(з), отображающая верхнюю полу- плоскость 1шг > 0 на Р, имеет вид )(з) =С П(з — аь) "/П(з — с;)ш (4) 1=1 1=1 где аы с, — точки на оси х, соответствующие вершинам А1, С,. Точки Ь„1(, на оси и, соответствующие вершинам В;, Р„нвляются корнями уравнения Ме в и т — = О. (5) с=1 " )=1 Рис. 43 Как определить параметры С, аы 31, с., а',? Что изменится, если один из параметров аь, бо с,, И, будет равен со? Указание. Доказать, что т П( — оь) П( — с,) ь=! ,1 =1 В задачах 9.26-9.30 отобразить на верхнюю полуплоскость 1шз > 0 области 1о-плоскости, указанные на соответствующих ри- 9.25. Доказать, что формула (4) из задачи 9.24 справедлива и для областей Р с границей, содержащей два луча [О,оо) (рис. 43).
При зтом вершина в начале координат учитывается и тогда, когда из нее выходят только два луча, образующих одну прямую. 51. Формула Кристоффеля-Шварца 157 Рис. 46 Рис. 44 Рис. 45 9.26. Область, указанную на рис. 44, ю(А»=0, В=Ье» "', Аз,С=ос)-+л( — 1, Ь, 1, оо), 9.27. Область, указанную на рис. 46, ю(А»=0, В=16, Аз,С=со, йсс4Н, Се=ос)-» -+ з( — а, О, а, 1/а, оо, — 1/а). 9.28. Область, указанную на рис. 46, ю(А» —— О, В» — — — Ье ', АюВз = Ье', Аз, С = оо) -» -» з( — 1, — Ь, О, Ь, 1, оо).
9.29. Область, изображенную на рис. 47, 0 В Ь алое Аз, С» — — со, Р = Не'ео', Сз = оо) -» -+ и( — а, О, 6, 1/6, оо, — 1/о). Се 9.30. 1) Область, указанную на рис. 48, 1), ю(оо) = оо, ю(~1) = ~1; 2) область, указанную на рис. 48, 2) (углы между разрезами я/п; А» А„1 1 -1 Рис. 48 сунках при заданных условиях, и определить параметры а и Ь (а>О,Ь>0).
Гл. 1Х. Конформныв отоароневнин (прооовнеенив) 158 крайние отрезки образуют с соответствующими лучами действительной оси углы я/(2п)), ш(оо) =ос, ш(Ав,А ) — >л( — 1,1). 9.31. Пусть область Р в ш-плоскости есть горизонтальная полоса шириной Н с разрезами, идущими налево в со из точек В; Рис. 49 (1 = 1,2,...,п — 1) и направо из точек Ю, (в =1,2,...,гп — 1) (рис. 49). Доказать, что функцин и = )'(в), отображающая верхнюю полу- плоскость 1ш з > О на область Р, имеет вид )(в) = ~ ~— ~1п(з — ав) — ~ — '1п(г — с ) + С, (6) о к ь=в где агн ст — точки на осн х, соответствующие вершинам Ан и С. области Р; Ьв — расстояния между разрезами, идущими влево, а 1, — вправо.
Точки Ь, (1 = 1,2, ...,и — 1) и Це (в = 1,2, ...,гп — 1) на оси х, соответствующие вершинам В; и Р„являются корнями уравнения (7) =О. Как определить параметры С, аы 6;, с, Ы,? Что изменится, если один из параметров аы бь с, а, будет равен со? Указание. Задаче сводится к задаче 9.25. Можно также находить функцию )'(з), которая однозначна, или непосредственно исходить из формулы Кристоффеля-Шварца. 9.32.
Пусть область Р есть верхняя полуплоскость 1шш > О с горизонтальными разрезами, идущими налево в оо из точек В; !а9 91. Формула Кристоффвлл-Шварца (! = 1,2,...,п) и направо в оо из точек ??, (в = 1,2,...,гп) (рис. 50). Рис. 50 Доказать, что функция ло = ?(г), отображающая верхнюю полу- плоскость 1т г > 0 на область Р, имеет вид ?(х) = ~ ~— "!п(г — аь) — ~ ~— '!п(в — с )+Аз+В, (8) в=! л=! где ал, су — точки на оси х, соответствующие вершинам Аь и С области Р, и Ьг, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
