Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 32
Текст из файла (страница 32)
4) задачи 10.88, суммарная величина заряда равна — 1. В случае о = сс точечный заряд (оо;1) и заземление Г вместе эквивалентны размещению на Г заряда с плотностью обложения р(ь) = — — ' суммарной величины — 1 и добавочному полю с 1 дд(С ос) 2к дн постоянным потенциалом 7 (см.
10.88, 2)). В этих случаях указанные обложения Г называются индуцировпнными зарядом (а; 1). В задачах 10.89-10.92 найти индуцированную зарядом (о: 1) плотность обложения р(Г,а) контура Г и соответствующий потенциал простого слоя п(х,а) для областей, ограниченных контуром Г. 10.89. à — действительная ось, 1тпо > О. 10.90. 1) à — окружность )х( = В, (о( < В; 2) à — окружность ф = В, (а( > В (рассмотреть, в частности, случай о = оо). 10.91. à — отрезок действительной оси (х~ < В, р = О, о = оо. 10.92.
à — эллипс — + —, = 1, о = оо. У аз ззз 10.93. Считая известной функцию Грина для области Р, содержащей точку х = оо, решить проблему Робэкп: найти плотность распределения р(~) на границе Г области Р единичного заряда, создающего в н е Р и на Г постоянный потенциал в). Указание, См, задачу 10.88, 3) и 4). В задачах 10.94-10.96 решить проблему Робэна для заданных областей Р.
10.94. Р— внешность круга ф > В. з) О решении общей проблемы Робене, требующей отьюквнин твкого неотрицетельного респределения единичного зврядв нв ведением множестве Е, чтобы соответствующий логврифмическнй яотенцивл в квждой точке множества Е принимвл одно и то же постоянное значение, см. уквзвиную нв с. 185 книгу Р. Неввнлинне.
ге. Приложекил к электростатике 187 10.95. Р— внешность отрезка (Х( < В, р = О. х' и 10.96. Р— внешность эллипса — + — = 1. аг Ьг В задачах 10.97-10.100 найти емкости (см. с. 190) замкнутых множеств. 10.97. )г( ( В. 10.98. )х( ( В, р = О. 10.99. — „+ —, ( 1.
10 100 (гг аг( < аг (а > 0) 10.101. Пусть на простом замкнутом контуре Г задана непрерывная и дифференцируемая вдоль контура действительная функция д(~). Доказать, что действительная часть интеграла типа Коши —,/ — И~ является логарифмическим потенциалом двойного слоя 1 гЩ) 2к1/ ~ — х г с плотностью ~р(~), а его мнимая часть — логарифмическим потен- 1 И~р циалом простого слоя с плотностью — — —. 2к де' 10.102.
Доказать, что функцию и(х), ограниченную и гармоническую в верхней полуплоскости 1шг > О,можно представить в виде логарифмического потенциала двойного слоя: и(г) = — / о(1) — 1п — сМ. д е,/ дп )г — е( Если же п(х) регулярна на оо, то ее можно представить и в виде логарифмического потенциала простого слал: о(г) = о(оо) — — ( — 1п 41. 1 7 до(1) к ~ дп /1 — «/ 10.103. В верхней полуплоскости 1шх > 0 найти комплексный потенциал электростатического поля, если его потенциал о(х) принимает на действительной оси заданные кусочно постоянные значения. Записать потенциальную функцию с помощью гармонических мер соответствующих отрезков действительной оси (см, с. 132): 1) иг на интервале ( — со, а), 0 на интервале (а, оо); 2) сг на интервале (а, Ь), 0 на интервалах ( — оо,а), (Ь, оо); 3) 1оы Уг, ..., сг„соответственно на интеРвалах ( — оо, а~), (а1, аг), ...
..., (а„ы а„) и 0 на интервале (а„, со) (здесь а1 < аг « ... а„); 4) ~Ро на интеРвале (а„,оо), ~Р1,1ог,...,1о„соответственно на интервалах (-оо,аг),(аг,аг) и т. д. Указание. В п. 1) воспользоваться конформным отображением на полосу; в остальных — воспользоваться методом суперпозиции (можно также воспользоваться интегральной формулой Шварца для полуплоскости, см. с.
129). 188 Гм Х. Прихокхения к механике и физика 10.104. Найти комплексные потенциалы ш(х) и потенциалы и(х) в двусвязных областях с заданной разностью Ы = из — ез потенциа- лов щ, из на граничных контурах: 1) в круговом кольце гз < (х( < гз, 2) в произвольной двусвязной области Й.
10.105. Доказать, что если  — произвольная двусвязная область и на каждом из контуров, ограничивающих эту область, потенциаль- ная функция принимает постоянные значения (щ и из), то ш(х) = 1п1(х) + с+ хщ, и(х) = — '' 1п ~Г(з)1+ щ, 1ир !ар где 1(х) конформно отображает О на кольцо 1 < ф < р (р — мо- дуль О) и граничный контур с потенциалом из переходит в окруж- ность ф = 1; с — действительное число. 10.106. Найти комплексные потенциалы в указанных двусвязных областях (потенциалы щ и из на граничных контурах постоянны): 1) во внешности окружностей )х ~ а) = Й (а > Л) (щ — потенциал на окружности слева); 2) во внешности окружностей (х( = г~ (потенциал из) и (х — а! = гз (а > гз + гз); 3) в неконцентрнческом круговом кольце, ограниченном окруж- ностями )х) = Я (потенциал щ) и )з — а~ = г (О < а < И вЂ” г); хз ух 4) а эллипсе — + — < 1 с разрезом вдоль отрезка, соединяющего аг Вз фокусы (потенциал на эллипсе щ); 5) во внешности отрезков 1 < (х! < 1/й, у = О (О < й < 1); на ле- вом отрезке потенциал ез, 6) во внешности отрезков ~х! < 1, у = ~к; на верхнем отрезке по- тенциал щ.
10.107. Пусть й — многосвязная область с границей Г, состоя- щей из и кусочно гладких контуров Гь (к = 1,2, ...,и), и иа(х)— гармоническая мера Гь (см. с. 132). Если область В ограничена, то внешним ее контуром будем считать Г„. Доказать следующие утверждения. 1) Если область 11 ограничена, то ыь(х) = — — / — 1п — ~Ь (й = 1,2,...,п — 1), 1 г дыь(ь) 1 2к/ дп ~~ — 4 г (з) — 1 — — / —" 1и — 48. г дик Ю 2к,/ д г Если область 11 содержит бесконечно удаленную точку то ( ) ( ) г 1п Ыа (й=1 2,...,п).
1 г ди'ь(0 2к/ дп (~ — 4 г 9й Прилежемил к электростатике 1а9 2) Правые части равенств, указанных в и. 1), для точек л, не принадлежащих области Р, принимают значение 1 в дополнительной к Р области, ограниченной Гь (соответственно Г„), и 0 в дополнительной к .Р области, ограниченной Г„ е' ф л. Примечание. Согласно п. 1) функции ые(з) представляют в области Р потенциалы, создаваемые индуцированными зарядами обложения, распределенными на Г, с плотностями обложения реЯ = — — — .
В случае ограниченной области Р величины ы1(з),... 1 до>е(С) 2л дп ..., ы„1(л) в точности совпадают с логарифмическими потенциалами указанных индуцированных обложений Г. Величины зарядов обложения р,ы индуцированных потенциалом ыь(з) на контуре Г; (г, л = 1,2, ..., и), т. е. 1 Г дмь(ь) 1 Г дюе(~) р,ь = — — / — Пе = — — ~ ьп — Не, 2л,/ дп 2л l дп г, г называются взаимными емкостными постоянными граничных контуров (некоторыс свойства чисел ргь рассмотрены в задачах 7.67-7.70. 10.108.
Найти гармонические меры шь(е), а также величины ре(~) и р,ы определенные в примечании к предыдущей задаче для: 1) кругового кольца 1 ( ~з~ ( р; 2) произвольной двусвязной области Р, считая известной функцию, отображающую эту область на кольцо. 10.109.
Пусть Р— область задачи 10.107 и и(г) — ограниченный потенциал электростатического поля, принимающий постоянные значения аь (л = 1, 2, ..., и) на граничных контурах (проводниках) Гь. Доказать следующие утверждения. 1) и(з) = ~~~ аешь(з). э=1 2) Если область Р ограничена и Ä— внешний контур, то и(з) = а„— — / 1и Йе; 1 г ди(ь) 1 2л l дп г если же Р содержит точку оо, то и(г) = и(со) — — / — !и — ~й. 1 где(~) 1 2л,/ дп )С вЂ” е! г Доказать, что правые части указанных формул равны ае (Й = = 1,2,...,п) в дополнительных к Р областях, ограниченных Ге.
3) Величины индуцированных на Г, зарядов обложения равны 1 г ди(ь) 291 = — — ~ — йе = ~~~ рааы 2лl дп г, э=1 Гл. Х. Прилвкгвнил к ма*акиве и физике 190 причем ~ ри = О. ььм Указание. См. задачу 768, 1). 4) — О(йгал1и)з Ихду = ~ рзьсзспь. зз ьь=1 Указание. См. задачу 7.69. 5) Если ш(г) — комплексный потенциал поля, то плотность индуцированного обложения р(ч) = — — — = ~ ~ш (0~. 1 ди(ч) 1 2к да 2» Пусть Р— произвольная многосвязная область с границей Г, со- стоящей из жордановых контуров Гь, ..., Г„. Существуют конформ- ные отображения области Р на каждую из следующих канонических областей с указанными условиями единственности (а, Ь вЂ” произволь- ные точки области Р, А — произвольнее комплексное число).
1) На плоскость с параллельными разрезами. Отображающая функ- цкя г(г) однозначно определяется заданием ее полюса Ь и коэффици- ента А разложения — + сз (г — Ь) + ... (Ь ф со), А й)= Аг+ — ' + ... (Ь = оо). 2) На плоскость с радиальными разрезами (так будем называть плоскость с разрезами по отрезкам, расположенным по лучам, выхо- дящим из начала координат), или с разрезами пв концентрическим круговым дугам с центром в начале координат. Функция 7"(г) опреде- ляется нулем а, полюсом Ь и коэффициентом А разложения — + сз(г — Ь) + ... (Ь ф оо), А г(г) — г — Ь Аг+ + ... (Ь = со).
г 3) На круг с радиальными разрезами или с разрезами ко концент- рическим круговым дугам (центр в начале координат). Функция 7(г) определяется условинми 7(а) = О, г'(а) = 1 н заданием контура Гь, переходящего в окружность. 4) На кольцо с радиальными разрезами нли с разрезами па кон- центрическим круговым дугам (центр в начале координат). Заданием контуров, переходящих во внутреннюю и во внешнюю граничную окружности, отображение определяется с точностью до преобразова- ний подобия н поворота. См., например; Галузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.: — Мл Наука, 1966,— Гл.
У. 10.110. Считая известными функцию, конформно отображающую область Р на плоскость с параллельными разрезами, и гармо- Ял. Прилоэления И электроститине 191 нические меры иэь(л) граничных контуров Гь (к = 1, 2, ..., а) т), найти потенциал электростатического поля, создаваемого в облести Р диполем (а;р), когда граница Г области заземлена. 10.111. Считая известной функцию Грина области Р, найти потенциал электростатического поля в этой области, образованного точечным зарядом (а; 2о) (а Е Р) и имеюшего заданные потенциалы ав на граничных контурах Гь (!с = 1,2, ..., и). В случае когда область Р односвязна, получить формулу задачи 10,73. 10.112.
Определить характер электростатического поля, определенного в многосвязной области Р комплексным потенциалом и = = Д(л), где Дл) — функция, отображающая эту область на плоскость с разрезами, параллельными действительной оси. 10.113. Определить характер электростатического поля, опреде- 1 ленного в области Р комплексным потенциалом т = 2ов !и —, если П)* функция г" (з) отображает область Р на: 1) плоскость с разрезами по концентрическим круговым дугам с центром в начале координат; 2) круг с разрезами по концентрическим круговым дугам с центром в начале координат; 3) круговое кольцо с разрезами по концентрическим круговым дугам с центром в начале координат.
Во всех случаях найти потоки вектора напряженности поля через граничные контуры. 10.114. Построить схему расположения эквипотенциальных и силовых линий электростатических полей: 1) образованного в бесконечной двусвязной области диполем на оо: 2) образованного в ограниченной двусвязной области Р точечным зарлдом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
