Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При таком преобразовании бесконечно малому кругу сси + ссо = сгр соответствует бесконечно малый эллипс тс(хз — 2/дс1хс(у+ ссйуз =- рс16~ (Ый — малая полуось), или, в другой записи, (с(г + рс(г! = — сй. 2р р+1 11.4. Доказать, что для невырожденного аффинного отображения имеют место соотношения т -д а 1 агс -ь а' асЬ, + агьг Ь', + 6, '1Ь! Э1. Кваэиконфармные отобран(ения 197 11.5. Доказать, что для характеристик непрерывно дифференцируемого отображения с положительным якобианом справедливы соотношения: Д о рбь' и', +э~$ ахах+ еххх ив+ив бР' 11 2) иг + и„+ ег + их =,1(Р+ - ); бш 7 . Иш! !ш!+1шх! 3) р = шах — 7 эшп — ~ = бх / Нх ! йш ! — )шхп' 4) р= — = — — с'; Р— 1 зев.
шх Р+1 5) ~/- ( — ( рт. 0днолистное непрерывно дифференцируемое отображение ш = = и+хе с положительным якобианом называется кеаэиконфармным отображением с харакглеристиками р(з), 0(з) или о(з), р(х), 7(г) или р(з), если оно переводит бесконечно малые эллипсы с этими характеристиками в бесконечно малые круги. 11.6. Доказать, что квазиконформное отображение удовлетворяет системе уравнений ои, + ди„= иш Би + уив — — — и„ или, в комплексной форме записи, уравнению Указание. Уравнению рЬ+ рйз( = сопэа соответствует уравнение фш! = сопзц Примечание. Указанные в задаче уравнения называются уравнениями Белхтрами.
Характеристика р называется коэффициентом Бельтрами. 11.7. Показать, что однолистное непрерывно днфференцируемос отображение ш = и+ 1э с положительным якобианом, которое переводит бесконечно малые круги в бесконечно малые эллипсы с характеристиками р(г), 0(з) или о(з), Б(з), 7(з) или р(г), удовлетворяет системе уравнений и, +,9и„ = оию -Би, + и„ = -ое„ нли, в комплексной форме записи, уравнению Р 1 гэв шт=иш;, и= — и= — е'. р+1 Примечание. Если указанную систему записать в виде рих + чи~ = эш Чи» + риэ = ох Ге. Х1. Обобщение аналитических функций 198 (здесь р = 1/а, д = Д/се), то приходим к (р,д)-аналитическим функциям по терминологии Г.
Н. Положего (см. его книгу "Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного", 19бб). 11.8. Доказать, что уравнение Бельтрами ве = р(2)в, инвариантно относительно аналитических преобразований функции в, а уравнение ве = Р(2)ве инвариантно относительно конформных преобразований переменной г. 11.9.
Пусть однолистное непрерывно дифференцируемое отображение в = и+ еи с положительным якобианом переводит бесконечно малые эллипсы с характеристиками р, В в бесконечно малые эллипсы с характеристиками р1, О1 (такое отображение называют кеаэиконформныл с двумя парами характеристик р, д; р1, В1 или с двумя тройками характеристик е2,,9, у; 121, Дм у1). Доказать, что отображение в = и + еи удовлетворяет системе уравнений ои, + (Д+/)1)ии — — геии, (Д вЂ” /21)и, + уии — — — е21и„ которую можно также записать в виде Ве — Я1Ве + Язюе где Р! (Р ) 299 Р(Р) ) 2991 (РР1 + 1)(Р + Р~) ' (РР + 1)(Р + Р1) Указа н не.
Уравнение [оз+ )2Ю[ = сопят соответствует уравнению [е(в + р1 с(в[ = сопзс с известными р, р1. 11.10. Пусть ~ = /(2) — квазиконформное отображение с характеристикой )2т: /2 =РЫЛ и в = дЯ вЂ” квазиконформное отображение с характеристикой ре.. дб = рад<. доказать, что их суперпозиция г'(2) = д[/(2)) зиконформное отображение с характеристикой рт + Ре/2//* )2Р = 1 + Рейт/,//* = д о / есть ква- Доказать также соотношения /= Рг — Ит /, ре = — ~ ру Не) )2У(г) =1 /2 1 — йу)2Р ' Примечание.
Если считать известным )2Р, то величину апр 1п 1 — [Ье[ можно принять в качестве расстояния между )еу и )2Р. Аналогично, ЧЕРез )2Р опРеделаетсв Расстояние между )2 И )29- . б 1. Кеаеинонформные отобранеения 199 11.11. Пусть р 1„0 1, — характеристики р, 0 квазиконформного отображения ео = 1(х). Показать, что Р=1н = Р д.~ 0.1ы = 0ы1е х - + агб~о 2 и что цля сложного квазиконформного отображения ео(х(1)] Р~1е ~< Рн1ере/е. 11.12.
Показать, что для квазиконформных отображений и = 1(х), о = у и = х, о = 1(у) (продольное растяжение-сяеатие), (поперечное растяжение-сжатие), р = г, 0 = ~(~р) (угловое растяжение-сжатне) характеристика а для отображения р = 1(г), 0 = ео (радиальное растяжение — сжатие) характеристика р = пзах ~ —, — ) . У 'гГ 11.13. Построить квазиконформное отображение круга ф < В на себя, переводящее точку х = а ()а! < 11) в начало и оставляющее неподвижными точки окружности ф = В. Оценить характеристику р.
11.14. Построить квазиконформное отображение косой полуполосы х>0, хтбсе<у<х1яа+К ф' на прямоугольную полуполосу до и>0, 0<о<1е без растяжения на основании и с постоянным растяжением на боковой сто оне. Оценить ха- Р рактеристику р. 11.15*. Построить квазнконформное отображение двуугольника, состоящего из полуплоскости и кругового сегмента с центральным углом 2до (рис. 58), на полуплоскость с сохранением длин на границе. Оценить характеристику р.
11.16. Квазилинейное уравнение А — +2 — +С вЂ” = Ер,у,и,—,— ) д"и дои д и 1 ди ди1 дхе дхду ду' ~ ' ' ' дх' ду) эллиптического типа (АС вЂ” Вз > О) посредством однолистного отображения ~ = Цг) = ~+ еп требуется привести к каноническому виду дои д~и ( ди ди'1 — + — = Ез ~~,п,и, —, — ). д~' дч' ~ ' ' 'дб'дп! Гл. ХВ Обобщение аналитичесних функций 290 Показать, что отображение ~(х) Бельтрами А — +В— дх ду дП ,/АС вЂ” Вз ду ' удовлетворяет системе уравнений  — +С— дс дй дх ду дП чгАС вЂ” Вз дх и является квазиконформным отображением с характеристиками а,,), г, определяемыми из соотношений '~ д 1 С В А тггАС вЂ” Вз предположено, что А > 0).
В 2. Обобщенные аналитические функции Функция ю = и+ вщ удовлетворяющая уравнению юд+ Аю + Вю = Г, где А, В и г' — функции от х, называется обобщенной аналитической функцией. В задачах этого параграфа рассмотрены уравнения и системы уравнений, приводящиеся к виду (1), а также некоторые свойства их решений '). 11.17. Показать, что система уравнений Карлемана и, — хи+ аи+ Ьо = г, и„ + ьх + си + йо = д, где а, Ь, с, сь 1" и д — функции переменных х н у, может быть записана в виде (1); юл + Аю + Вю = Е. Выразить А, В и Г через коэффициенты данной системы. 11.18. Показать, что уравнение юд — дз(х)где +Аю+Вю = Е с помощью чаффинногоз преобразования ю = а(х)го + Ь(х)Ы (2) можно привести к виду (1). Найти общую форму преобразования (2) и выяснить, когда оно невырожденное. 11.19. Показать, что уравнение юл — дг(х)ю, — дд(х)юл + Аю + Вю = Г ') По поводу приведенного цикла задач см.
моногрвфиии Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.— Мл Физматгиз, 1959.— Гл. П1. с помощью преобразования предыдущей задачи может быть приведе- но к виду юд — д'иг, + Агю+ В'ю = хч. Найти общую форму преоб- разования и выяснить, когда оно невырожденное. Уг. Обобщенные енаяитические функции 201 Указание. Применить рассматриваемое преобразование к данному уравнению и к уравнению ю, — у1(г)ю, — узЯш, + Аш + Вю = = Г, исключить ш„а затем подобрать коэффициенты а(г) и б(г). 11.20. Показать, что уравнение ю» — д1 (г)ю, — уз(г) ше + Аю + Вю = Г (~у1(г)~+ р12(г)! < 1) с помошью замены независимой переменной г на переменную 1„связанную с г соотношением 1,2 = у1" С», может быть приведено к виду юС цгше + Аю + Вш = Г.
Найти д1' и уг и вылснить геометрический смысл преобразования С(г). 11.21. Доказать, что эллиптическая система дифференциальных уравнений вида а1и„= аие + (Д + (31 )ие + ои + би + 1, — а1и = ((1 — Я)и, + уие Ч-си+1Ь+д (условие эллнптичности здесь ай —;'12 > 0; кроме того, а > 0) может быть приведена к виду ю» — у1(г)и»» — у2(г)юг + Аш+ Вю = Р, причем )у,(г))+ )уз(г)) < 1, если а1 > О, и йу1(г)~ — )дг(г)й > 1, если а1 < О. Указание. См. задачу 11.9.
Случай а1 < О сводится к случаю а1 > 0 заменой ю = и+ее на 10 = и — гш 11.22. Доказать, что если ю( ) — непрерывно диффсренцируемое решение уравнения и»е — дг(г)шг = О, где дг(г) — аналитическая функция от г и (дг(г)( ф 1, то у ( ) + уе( )ф(г) 1 — ~уе( )Р где у»(г) произвольнал аналитическая функция.
11.23. Доказать, что если ю(г) — дважды непрерывно дифференЦиРУемое Решение УРавнениа юе — ф»(й)юе = О, гДе дг(г) — аналитическая функция от г и ~у2(г)! ~ 1, то Ш(г) — »»(г) + ) Ч2 (г)т»»»»г~ где ~р(г) — произвольная аналитическая функция от г. У к а з а н и е. Сначала нужно доказать, что ю(г) есть сумма аналитической функции от г и аналитической функции от г. Гл. Х1. Обобщение пиалигпических функций 202 2 3. Некоторые интегральные соотношения н двойные интегралы В задачах этого параграфа С вЂ” область, ограниченная контуром С. 11.242).
Пользуясь формулой Грина, доказать следующие соотно- щения (1(х,у) и д(х,у) непрерывно дифференцируемы в С): 1) Ц вЂ” с~ха)у = —.) 1оц; С С 2) ~~г)С+ дд~ = 24Ц( — — — д) г)хс)у; С С у() 1™М~ 1О' 9 Указание. Воспользоваться тем, что — = = ~ — ), д1(О 1 д 71К)х д( ~ — ° дс ~(-.)' и применить формулу п. 1) к области С без кружка й," — »( < д (р -+ 0).
11.25. Предполагая, что функции 1 и д непрерывно дифференцируемы в замкнутой области С, доказать, что выражение Гс)»+ дЮ тогда и только тогда нвляется полным дифференциалом некоторой д1 дд функции, когда ду д»' 11.26. Доказать, что если 1 и д — функции, аналитические н области С и непрерывно дифференцируемые на С, то в частности, 11.27. Доказать, что если функция 7(») конформно отображает область С на область С', ограниченную контуром С' = 1(С), то интеграл 1= -' ~УдУ 21 С равен площади Я области С', если же 1"(») конформно отображает область С на внешность контура С', то 1 = — Я.
з) К задачам 11.24 — 11.27 см. дополнение М. Ш иффера а книге: Курв нт Р. Принцип Дирихле, конфармиые отображении и минимальные поаерхности,— Мл Гостехиздат, 1953. 98. некоторые интегральные соотношения и деоаные интегризм 2ОЗ 11.28.з) . Пусть С вЂ” круг )г) < П < 1 и ио ~Р(Ь) = 1Ч = Ре' = С +гг1, Найти функцию г — гезу ) Е(г) = — — 11 (г б С) дГ дг' дГ дЕ и ее частные производные —, —, —, — для г у':О. Показать, ди ' дл ' дг ' дг дР' что из указанных производных только — существует и непрерывдв на в начале координат.
11.29. Доказать, что если функция г'1г) непрерывно дифференци- руема, то когда область С стягивается в точку г. Указание. Воспользоваться соотношением п. 1) задачи 11.24. 11.30. Пусть функция у(ч) непрерывна в замкнутой области С. Доказать, что функция у1~(адбнл дГ в области С удовлетворяет уравнению — = 9о(г), если производдг дг ную — определять по формуле задачи 11.29. дг 11.31. Доказать, что в условиях задачи 11.30 общее решение уравнения д1 —, =Фг) дв может быть в области С представлено в виде у" 1г) = —" ~~© С вЂ” — УЗо~~ б " 1формула Помпею).
2нг зУ ~ — г но'/ с Указание. Воспользоваться соотношением п. 3) задачи 11.24. з) К задачам Ы.25 — 11.31 смд Веку а И. Н. Обобшениые аналитические функции.:-- Мг физматгиз, 1959. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Глава 1 1.1. 1) †, :2) †; 3) -(1 + 34); 1) -8. 1 5 1.2. 1) 3, — (здесь и дальше указаны только значения а«8«); 2) 2, л; 2 3) з/2, —; 4) з/2, — — '; 5) з/299, агсв8 —:, 6) з/299, -агсг8 —; 7) з/299, л — агс63 —; 8) з/299, асс!8 — — л; 9) )Ь), — — = — вбпЬ ); о 5 л)Ь! л 2'2''262 10) з/а + Ь, агс!8 — при а > О, агс18 — + л при а < 0 и Ь ) О, агс!3 — л Ь Ь о о приа<ОиЬ<0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
