Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если воспользоваться обозначенинми, указанными на рисунке (С вЂ” центр окружности с диамет- 2.6. 1) ш= —; 4) ш = е Н~!~~~и~!(л — зЬ!). Ь,-Ь! ' 2.7. а! = е'"Яз+ н!а. 2.8. 1) Семейство прямых и = 1)а, параллельных мнимой оси (не вклю- чающее самое мнимую ось); 2) семейство прямых о = -1/Ь, параллельных действительной оси (не ' включающее самое действительную ось); 3) семейство окружностей Ь(и + о~) + и+ о = О, касающихся в начале координат прямой о = — и (включающее и самое эту прямую); 4) пучок прямых о = -Ьи; 5) пучок окружностей, проходнщих через начало координат и через точ- ку !ае = 1!!щ (в этот пучок входит также прямая, проходящая через точки и = О и ш = шо); б) циссоида и е .!- 1 2.9.
1) В семейства окружностей, касающихсн в точке и! = Л прямых, соответственно параллельных мнимой и действительной осям (нключан и сами зги прямые); уравнения зтих семейств: (С вЂ” ао)((и — Л!) + (о — Лг) ) — (и — Л!) = О; (С вЂ” уо)((а — Л!) + (о — Лз) ] — (о — Л!) = О, где щ = хе + !ум Л = Л! -~-1Лм 2) в семейство окружностей с центром в точке и! = Л (!!и — Л( = 1/Г!) и семейство лучей, выходящих из точки ш = Л (ага (а! — Л) = — о). 2.10.
1) Уравнение семейства окружностей Аполлония относительно л — х! точек л! и щ: ~ — ~ = Л. Концы А и В диаметра, лежащего на пря- 214 Ответы и решения ром АВ), и обозначить (вг — зг) = 4, то при Л < 1 имеют место соотношегг и ЛН Лгд 1 ния Л = соло = — = —, В = —, гг =, гг = и гг 1 — Лг' 1 Лг' 1 Лг' г — гг 2) дуги окружностей, проходящих через точки гг и зг: ахя г гг = О. Дуги, соответствующие значениям В = о и 0 = л — о, дополняют друг друга до полной окружности; 3) полнрной сетке соответствует (рис.
61) сетка, состоящая из окружностей г — гг Аполлония ~ ~ = В и орг — г Рнс. 61 гг тогональных к ним дуг агб — — = 8 (если О > О, то дуга расположена спрагг ва от направления з~ггг; если В < О, -- то слева); 4) верхнему полукругу соответствует указанный на рис. 61 прямой угон. 2.11. В полукруг (ш! < 1, 1ш ю < О. 2.12. В область, содержащую точку ю = О и ограниченную дугами окружностей )ш( = 1 и )ю + бг/4( = 3/4. 2.13. В область, полученную из нижней полуплоскости (1пгю < О) удалением находящейся в этой полуплоскости части круга (ш — 1/2+ г/2~ < < 1/2/2. 2.14. 1) В область, ограниченную прямой Вею = 1 и касающейся ее окружностью (ш — 1/2( = 1/2; 2) в область, ограниченную касающимися друг друга окружностями (ш — 1/2( = 1/2 и (ш — 3/4( = 1/4.
2.15. В двусвязиую область, граница которой состоит из примой Ве ю = = 1/2 и окружности (ш — 3/4! = 2/3. 2.16. 1) ш = — — +1+)гг или ю = — +(гг; 2) ш = ~ — — 1) -~- И 4 лг 'дг г Лг — дг +)гг или ш = гл — — 1) + 1+ (гг; 3) ш = дг г'лг Ыг(г — нг) 4, — 4, '1 ° г(дг ж Нг) Глава 11 215 2»(»+ Ц ) (1+ 2г)»+ б — Зг 4» — 1 — 5г ' 5(» — г) Ц ю — (!+1)'+'+3'.
2) ю — "+2+' (1 -!- г)» -1- 3 + г » -!- 1 2 2.19. 1) ш =; 2) ю = ( — 1 + Зг)» + 1 — г »(1 — 4») — 2(1 — г) (1 + г)» — 1 + г 2»(1 — г) — (4 — г) ' 3)ю= »(3 — г) — (1+ г) (! Е г)(1 — ») » — г 2.20. иг = —; верхняя полуплоскость переходит в единичный круг. 㻠— 1 а»+Ь 2.21. 1) ю =, где а, Ь, с, г( — действительные числа и аг( — Ьс > О; с» -!- г! а» еЬ 2) ю =, где а, Ь, с, г( — действительные числа и аг) — Ьс < О; с».1- Н .а» -~-Ь 3) ю = г, где а, Ь, с, сг — действительные числа и аг( — Ьс < О. с» Е г! 2.22.
1) ш = 2/(2 — »); 2) иг = — 2(2»+ 1)/(» — 2). Я вЂ” » 2.23. ш =; образом верхнего полукруга является угол и > О, с < О. й -!- » 2.24. 1) (2+ г)/5; 2) 9/2+ г. 225. 1) ф = 2; 2) прямая х = 1/2; 3) (» — г/4( = 1/4; 4) ххг+ ура = 1/2; 5) )» — »»( = 3/»гг '-' —:1 (т. е. эта окружность симметрична сама себе относительно единичной окружности); б) (х + у )' — (х — р ) = О (лемниската); 7) криволинейный треугольник с вершинами в точках 1/»г, 1/»г, 1/»з, сторонами которого являютсн дуги окружностей, проходящих через пару всрщин и точку» = О (одна из дуг может оказаться отрезком прямой). с!~-»7»! 2.27.
1) В(х) = а 4-2»гб(х —,9); 2) иг'(73) = 2Ь 3) если Ь > 2, то вся полуплоскость сжимается; если Ь < 2, то растягивается область, лежащая внутри круга (» — ф < г/26 (Окружность (» — Д = у2Ь называется изожетприческоп.) 2.28. 1) го= —,; 2) иг=г —; 3) ю=сг» » г » — 2» ! гг+в!» — (а-~-6г) , г » -!-2г' » — (а — Ьг) .» — г » — 2г »г -!-2 2.29. гс = И вЂ” -!- юр. 2.30.
гс = — —. 2.31. гл = — 4 » -~- г » ; 2г » — 2 — 4г 2.32. иг = Ье! "'»0»ггггпг —, где Ь > О. Лучам, выходящим из точки » — »г ю = О в полуплоскости »сею > О, соответствуют в»-плоскости дуги окружностей, лежащие внутри круга ф < 1 и проходящие через тачки»г и»г: лежащим в полуплоскости гтеш > О полуокружностям с центром в точке ю = О соответствуют находнщиесн внутри круга ф < 1 дуги окружностей Аполлония относительно точек»г и»г.
2.33. = Л=~ дг — »г' 2)!гп» ) ю — 6, » — а ш — а .» — а 2.34. = = е' —. 2.35. — = г —. ю — Ь» — д ш — ໠— а з!и гг — Л а!я д 2.36. 1) В(уг) = а — ш+ 2 а»3 (е'е — а) = а — гр+ 2 агс13, где соз !л — Л соа д ' а = Леге, 21б Отлеты н решения е' 2) ю'(О) = (1 — [а[ )ею, ю'(а) = 1 — [а[г 3) Если а ф О, то растягивается область, лежащан вву'три круга ).-)»р),/О~ о-л ° ° °- )о * )*-)))-„))7))г — *о .) о =о, [и) (»)[ = 1. 2.37.1)ю=; 2)ю= ) 3)ю=-г») 4) =е!" 2 †»' 2 )-г» 1 — аю 1 — а» ю — Ь )» — а 1 — 7 » — 2-'; г 2.38.
/Ьг, =е' /1г, . 2.39. ю = —. 2.40. н) = 2, йг — Ью Я; — а»» -)- 2 г» .)- 2 — 2« 2.41,Цю=/!ге'" ' '; 2) Ь =с* ' '; 3)„=К» йг — а» ' Вг — Ью Нг — а» ' Г»г — а» где а — действительное число и [а[ < В. ю — а;„» — »! » 2.42. = е)е, где )р = я — агб = 1 — аю 1 — г)»' 1 — 1)» [»г — »)[ ) —,,) тг:)»Ргт:)»т) ໠— 1 -)- л/1 — а~ 1 — л/!а»'-" 2.43. ю = ю , р=2 (! — л/1 — а-)» — а а 246 1) ю=»' 2) ю»42 — чз 3) . » — 2Ч-ъ/3 1 + (2 — ч'3)» 1 — (2 — л/3)» 2.49. Окружности, проходншие через точку»о и имеющие в этой точке касательную, определяемую вектором /«.
(и — Н)» — яг 2.50. ю =, где й — действительное число, Л ф О (при » — (й -)- йг) Й = ою следует положить ю = »). Л 2.55. Если [а[ < яп †, то преобразование эллиптическое. Если обозна- 2' чить [а[ = яп — з(п)З, »! = е))оол~г 1»1!3 —, »г = е! + / /-)с13 13 2 2' 2 2 Л 'О») )Ло» = !3 — соэ)О, то преобразование можно записать в виде = е! ' 2 ю — »г» — »г Л 1 Если [а[ = яп †, то преобразование параболическое и имеет вид 2 и) — »о = — + г/)»о, где»о =е', /!=13 —. Если [а[>зш —, то преобразш ,).„... л . л « — «о 2 2' Л ванне гиперболическое. Если обозначить: яп — = [а[яп/г', »г = е) +л/г 2 соз(Л/2) ж [а[г — з1п (Л/2) К =, то преобразование запишется в виде Р)»- г)еал)' ю — ») = К вЂ”.
)о — »г »»г 2.56. Г = 2 а»с!3 (а/5)) Г = 2а/й+ О[(а/Ь)~[ при малом а//г; Г = я— — 2/г/а+ О[(/г/а)~[ при малом /»/а. Глава П 217 2.57. Г = 7 + 2 асс!6 = 2 агссп ( Он — 21; Г < 7, если хе < О, хе О1п 7 /1+ХО 71 1 — ХО Сое 7 1 — ее 2 и Г > 7, если хе > О. 2.61. 1) ю = -20/х; 2) е2 = — (2се+ 1+ 2!). 2.64.
Ь = —; и! = 2е'~ или и2 = е!ч 4' 4263 42 — 3 22 !а 2 2-24 2 2.65. и! = е!О или и! = е', р = —. 2 .1- 24 32 3 2 — 2, 2 22 ! 2.66. н2 = Л вЂ ,' или 1О = Л вЂ ,, где Л вЂ” произвольное комплексное 2 — 22 2 — 2 1 и!(22 — 21) ! и2(22 — 2!) ЧИСЛО, Л1 = З1 +, Зз = З! +, 22 = ]З2 З1], 24 22 и! = — (т!2+ 6 — т2 — [242 — (т! Ч-т ) ][62 — (т! — т2) ]), 2о' и. (т! + !1 Т2 ! И (т! + Т2) ][22 (т! — т2) ]) ' 1 2!2 ( .)- 1 ] (юг-2- т2 — и!)(т! — Чз) и или -1! = р/ ! (!4+ ТΠ— и2)(21 — и!)! 2.67. 1) 42 = 2; 2) и = 5+ 22/6.
2.69. Группа будет конечной, если гх соизмеримо с и. 2.71. Фундаментальные области (один из возможных их видов) показаны штриховкой на рис. 62. Эквивалентные граничные стороны соеди- 1) 2) 3) ж, 7) Рис. 62 218 Ответы и решения иены стрелками. Точки с цифрами — неподвижные тачки вращений, входящих в группы (цифра указывает число поворотов). Зля последних пяти примеров указан параллелограмм двонкопериодической подгруппы; в примере 7) это квадрат, в примерах 8) и 9) это ромб с углами 120' и бО'. Примечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
