Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Разрез и соответствующие склейки идут вдоль линии, соединяющей точку м = 1 с какой-либо граничной точкой области !" „! <П'. 2.143. 1) и 2) Поверхность состоит из двух листов плоскости з, разрезанных по отрезку [-1, Ц, причем нижний край разреза первого листа склеен с верхним краем второго, а верхний край разреза первого листа— с нижним краем второго. 2.144. 1) и 2) Поверхность состоит из двух листов, разрезанных по лучам, идущим соответственно из точек — 1, О, 1 в бесконечность, например, параллельно действительной оси н положительном направлении.
Нижние кран разрезов первого листа склеены с верхними краями соответствующих разрезов второго листа, и наоборот. 2.145. Поверхность состоит из трех листов плоскости з, разрезанных по лучам ( — оо, — Ц и [1, оо). Вдоль луча ( — оо, Ц склеивание производится следующим образом: верхний край разреза первого листа склеивается с нижним краем разреза второго листа, верхний край разреза второго листа— с нижним краем разреза третьего листа и верхний край разреза третьего листа — с нижним краем разрезе первого листа. Вдоль луча [1, оо) следует склеить; нижний край разреза первого листа с верхним краем разреза второго листа, нижний край разреза второго листа — с верхним краем разреза третьего листа и нижний край разреза третьего листа — с верхним краем разреза первого листа.
15 Л.И. Валкоаькккй к др. 226 Ответы и решения 2.146. 1) В полярную сетиу р = сопла, В = совет; 2) а спирали р= еж е'/е (при Ь = 0 в лучи В = Ь); 3) в угол а < В < В (при а = 0 и В = 2л — в плоскость с разрезом по положительной части действительной оси); 4) во всю плоскость с разрезом по спирали р = ее; 5) в сектор р < 1, 0 < В < а (при а = 2л — в единичный круг с разрезом по радиусу е = О, 0 ( и ( 1); 6) в область р > 1, 0 < В < а (при а = 2л — во внешность единичного круга с разрезом по лучу е = О, 1 ( и < со); 7) в область е < р < ее, т < В < б (при 6 — л = 2л эта область явлнется концентрическим кольцом с разрезом во отрезку В = л, е < р ~ (е ).
2.147. Угол 0 < агб (з+ и) < л/и; полоса 0 < у < л. 2.148. 1) В прямоугольную декартову сетку и = С, е = С; 2) в прямые; 3) в полосуО <а < ей 4) в полуполосуи < 0,0 <о< об 5) в прямоугольник !и г1 < и < 1п ге, 0 < е < 2л. 2.149. 5) Ь = а[ЕП(ее/2)[, 1 = а]ба(пе/2)[. 2.150.
1) Семейство х = С преобразуется е семейство софокусных гн( и~ Ю пербол с фокусами в точках х1 — — = 1; семейства у = С вЂ” в хсозеС з1пзС / ~ з семейство софокусных эллипсов с теми же фокусами +, = 1); 1 оп зС еп зС 2) в верхнюю полуплоскостеп 3) в четвертый квадрант; 4) в правую полуплоскость с резрезом по отрезку [О, 1]; 5) во всю плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей ( — оо, — 1] и [1,со); из б) во внутренность эллипса + = 1 с разрезами по отрезкам сьза зпел [- ЬЬ,-Ц и [1, ЬЬ], 2.151.
1) В полуполосу — л/2 < и < л/2, е > 0; 2) в полосу — л/2 < и < л/2; 3) в полуполосу 0 < и < л/2, е > 0; 4) в полосу — л/2 < и < О. 2.152. 1) Семейство х = С преобразуется в семейство софокусных эл/ из ез липсов с фокусами в точках х1[ + = 1); семейство у = С вЂ” в сьзС еьзС из е семейство софокусных гипербол с теми же фокусами ( — —, = 1); ~ свез С йп' С 2) во всю плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей (-со,— 1] и [1,оо); 3) в верхнюю полуплоскость, 2.153.
1) В полосу — л/2 < е <л/2; 2) в полуполосу 0< и < л/2, и > О. 2.154. 1) Семейство х = С преобразуется в пучок дуг окружностей с концеми в точках ш = ш1, включающий и соответствующие части мни- мой оси; уравнение пучка окружностей: (и — а) + е = 1+ а (а = с$82С); семейство у = С преобразуется в семейство окружностей Аполлония отно- сительно точек ш = х1 (включающее и действительную ось); уравнение се- мейства окружностей Аполлония: и + (е — Ь) = Ь вЂ” 1, [Ь] > 1 (Ь = стЬ 2С); 2) в верхнюю полуплоскость с разрезом по мнимой оси вдоль отрезка 0(е(1; 3) во всю плоскость с разрезом по мнимой оси вдоль отрезка — 1 < е ( 1; 4) в полукруг ]ш] < 1, Нем > 0; 5) в единичный круг.
Т Глава П 227 2.155. 1) Во всю плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей (-оо,-Ц и (1,оо); 2) в правую полуплоскость с разрезом по действительной оси вдоль луча (1, оо). 2.156. и=е !' '2*/л, 2.157. ю= — сЬ . 2.158. и =е»О"/!' Л 2.159. ю = е"'2* П/2ц* зн. 2.160. и = сов зг(»+ 2)/(2»). 2.161. и — е-(/ — ьц 2-и 2.162. 1) !+!ч32! лз(»+3!) 2) е '* ' ' ' +2 — з 2 4(» — з) е З! О12/З вЂ” ].!.
2ж з' 2»",1)з О/!.— з! 3)и= 1-!- е '!*му(*-'! »2 з ! -2 Л) 2) и»О »2 Зз .!. е — 27 Л» ' сов т» — со» 2 Л) 2.165. и = соз зг» + соз »Л» »ы). )) = /»»гз,—;с, соз з» вЂ” сов пЛ 2.164. и = соз 2» -'; сЬ 2Л з»зз. = )*За)1. сое2»+сЬ2Л) з)п(в/»] соз 2» + сЬ 2Л» ! +»2е(з/») 2.171. и = 2.170. и = е-2 /Л »2 / 2.173. и = ез»/О »2»)/» 2.172. и = ГЬ (з/ Л] — сов(в/») 2.179.
и = 1б' 2.175. и = !сЬ, и = 2Ь вЂ” (см. примечание к ответу зада- 7ГЗ/» 7 7ГЗ/2 за 4а чи 2.136). 22п» 2.175. и =агав(п —. Решение. Функция з]п» отображает полуполосЬа су у ) О, — и/2 < х < л/2 на верхнюю полуплоскостгц при этом точки хп/2+ +аз переходят в точки хсЬа. Отсюда нетрудно получить, что функция яп» и = агсз2п — будет отображать указанную полуполосу нв себя так, что »да лучам х = хп/2, а < у < со будут соответствовать лучи и = хп/2, О < о < оо. Применяя неограниченное число раз принцип симметрии, убеждаемся в том, что найденная функция искомая. Ь агс»2п (з вЬ»/сЬ а) агсз!и(1/сЬ а) агсип(!/сЬа)+ (а»сз]п(1/сЬа)) — (агсв!п(в!и»/сЬа)) агсв2п(в)п»/сЬ а) Ответы И решения 2.180. ш = агсв1п ем*. Решение.
Функция Ь = егз* отображает полосу О < х < л/2 на верхнюю полуплоскость, а функция ш = агсжпь верхнюю полуплоскость — на полуполосу — л/2 < и < л/2, а > О. Функция и = = агсжпе '*, отображающая полосу на полуполосу, переводит лучи х = О, — оо < у < О; х = ге/2, — оо < у < О соответственно в лучи х = л/2, О < у < оо; х = -л/2, О < у < оо.
Применяя неограниченное число раз принцип симметрии, убеждаемся, что найденная функция осуществляет требуемое отображение. 2.181. 1) Если Ь < 2л — криволинейный прямоугольник: 1 < р < е', 0 < В < Ь; если Ь = 2л — кольцо 1 < р < е' с разрезом по отрезку [1,е']; если Ь = 21л (Ь = 2,3,...) — — многолистная область, составленнан из Ь колец 1 < р < е', разрезанных по отрезку [1, е'[ и склеенных тек, что нижний край разреза первого кольца склеен с верхним краем разреза второго кольца, нижний край разреза второго кольца — с верхним краем рвзреза третьего кольца и т.
д.; если Ь = 2)ел+ гу (Ь = 2,3, ..., О < Д < 2л), то к свободному нижнему праю последнего кольца построенной поверхности нужна приклеить вдоль отрезка [1, е [ криволинейный прямоугольник 1 < р < е', О<У<)); 2) бесконечнолистная область, состоящая из колец 1 < р < е', разрезанных вдоль отрезка [1, е [ и склеенных указавпым выше способом; 3) бесконечнолистная область, составленная из колец 1 < р < е, разрезанных вдоль отрезка [1,е [, занумерованных с помощью целых чисел (..., -2, — 1, О, 1, 2, ...) и склеенных так, что нижний край разреза каждого кольце склеен с верхним краем разреза кольца с номером на единицу большим.
Эта область является частью римановой поверхвости функции Еп ге, лежащей над кольцом 1 < р < е'. 2.182. 1) Двулистная область, полученная склеиванием двух правых полуплоскастей, каждая из которых разрезана по лучу а = О, 1 ( и < со; края разрезов склеиваются крест-некрест, т. е, так, что нижний край разреза первого листа склеен с верхним краем разреза второго листа, и наоборот; 2) двулистная область, состоящая из двух плоскостей с разрезами по действительной оси вдоль лучей — со ( и ( — 1 и 1 ( и < со и склеенных крест-накрест вдаль разрезав — оо < и ( — 1.
Крея разрезов 1 ( и < со остаются свободными. 2.183. Лвуаистная область, состоящая из двух плоскостей, разрезанных по мнимой оси вдоль отрезка — 1 ( е ( 1 и склеенных так, что левый край разреза первого листа склеен с правым краем разреза второго листа. Остальные края свободны. 2.184. Риманова поверхность бесконечнолистна и имеет две логарифмические точки над точками ге = 0 и ш = оо.
Области однолистности в з-плоскости, соответствующие листам ге-нласкости с разрезами по положительной действительной оси, ограничены окружностями 2йл(х + у ) + у = = О (Ь = О, х1,~2, ...). 2.183. гз = оо, зг = гз = 1. Образ круге [х[ < гг — вся плоскость с выключенной точкой ш = — 1; образ круга [х[ < гг (и круга [е[ < гз)— полуплоскость Йеш > — 1/2.
2.186. гг = 1/2; 2) гз = 1/(2[а[); 3) гг = 1. 2.191. 1) гг = 1/4; 2) гг = 1/(4[а[); 3) г'г = 2 — з/3. 2.192. гг =ге, гг = 1. 2.193. гз = 1/2; 2) гз =1/(2[а[); 3) гз = 1. Глава 111 229 Глава П1 3 3 1) 1г = 2 +», 1» = 1 + г/2; 2) 1г = гл/2г 1» = — гг/2; 3) 1г = глВ~, 1» = -з В'. 3.4.
1) ь/5(1 — г/2); 2) 2; 3) 2»; 4) О. 3.5. гп'. 3.6. 4/3. й"*' 3.7. 1) (( — 1)" ' — Ц, если п ф — 1; ггг, если п = -1; и -!- ! 2) и 3) О, если и ~ — 1; 2лг, если п = -1. 3.8. 1) -2(1 — г); 2) 2(1 — г); 3) -2(1 + г); 4) -4; 5) 4».
3.9. 1) 2лг; 2) — 2л; 3) 2лЯ»', '4) 2лЖ. 2лг » 3.10. 1) —, если п ф — 1; — 2л", если и = — 1; и-!- ! 2) ( — 1)""', если и !Ь вЂ” 1; — 2л, если п = -1. и+1 е»аы 3.11., если г» Ф -1; 2лг', если о = -1, ! -!- о 3.13. 1) (о~ ( л/2: 2) з!про ) О. 3.27. 1) л/3; 2) -л/3; 3) О.
3.28. Если контур С содержит внутри себя точку О и не содержит 1 и — 1, то 1 = — 2лг': если содержит только одну из точек — 1 или 1 и не содержит точку О, то 1 = лг. Отсюда испо, что интеграл может принимать пять различных значений ( — 2лг; — ггг; О; гг»; 2лг), 3.29. 2" — 1, если п > 1; 2, если п = 1. 3.30. гг»/2. 3.31. з!гга/а. 3.32. е'(1+ а/2). 3.33. 1) 1; 2) — е/2; 3) 1 — е/2. 3.35.
1) 2/3; 2) 1 — 2»/3. 3.40. й = 1. 3.41. оо. 3.42. О. 3.43. 2. 3.44. е. 3.45. 1. 3.46. 1. 3.47. 1. 3.48. 1/4. 3.49. 1/е. 3.50. 1, если (а( ( 1; 1/!а(, если (а! > 1. 3.51. 1. 3.52. 1) В; 2) В/2; 3) гю; 4) О; 5) В~; б) Я, если (»в( ( 1, и —, если !»з( > 1. Я ~20~' 3.53. 1) Н ) ппп (гг, г»); 2) Н ) ггг; 3) Н ( гг/г». 3.54. 1),; 2) — !п(1 — »); 3) — 1п —; 4) 1п(1+»). » ! !4» (1 — »)» 2 ! — »' 3.55. Расходится во всех точках. 3.56. Сходится (неабсолютно) во всех точках, кроме » = 1. 3.57. Сходится абсолютно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
