Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 42
Текст из файла (страница 42)
— 2ссс!. 4.109. 1) А!с(а)! 2) с-сУ( ) + + + ц " (л — ц! 4,110. 1) п; 2) — п. 4.111. 1) пср(а)! 2) пяс(а). Глава /Ьг 241 4.112. —. 4.113. АВ. 4.114. ~з ( — 1)" Згг(а)' ' ' ' из» » г 4.115. -лг/з/2. 4.116. — 2ггг. 4.11Т, — лг/121. 4.118. зч'. 4.119. — 2лг/9. 4.120.
1. 4.121. О, 4.122. 2»п~/(и+ 1)!, если и > — 1, и О, если и < -1. 4.123. 32лг. 4.124. О. 4.125. д(б) азд'(аз) 4.12Т. О, если г < 1; я1, если г > 1 (знак зависит от выбора ветпи подынтегральной функции). /е 4.128. — т/1+ чг2. 4.129.. 4.130.. 4.131. 4 л(!ба) 1 4е згаз — 1 4.132. 2ла, 4.133 (2а+ 6)л (аг — Ьз)з/з [а(а + 6))з/з 2л 2гг 4.134., если [а[ < 1;, если [а[ > 1; О (главное значение), аг' аг — 1 если [а[ = 1, а ф и1 (при а = *1 главное значение не сугцествует). л(а -~-1) л(аз 4 1) гг 1 — а ге 4.135., если [а[ < 1;,, если [а[ > 1, — (главное 1 — аг аз(аз — 1) 2 аз(аг — 1) значение), если [а[ = 1, а ф я1 (при а = и1 главное значение не супгествует).
2л 4 136. —,, если и > О; О, если и < О. 4.137. л4ьббп о (при а = О главное значение интеграла равно О). 4.138. — 2лгзгбп1пга. 4.140. — л/27. 4.141. и/(4а). 1 3 Ь...(2» — 3) гг л 4 142. "' —, если и > 1; —, если и = 1. 2 4 б...(2» — 2) 2' ' 2' 4.143.. 4.144. —. 4.145.. 4.146.— а6(а+ Ь) 2 из!п(л/и) и згп(гг/и) ( — 1)з г л л 4.148..
4.149. 1) — (сов 1 — 3 яп 1); 2) — (3 сов 1+ яп 1). (2г5 — з)ь Зез ' Зез 4.150. — (2 сов 2+ яп2). 4.151.. 4.152. — е 'Ь. 2е" 2Ь 2 4 154. ггг, если Ь > 0; О, если Ь = О; — ггг, если Ь < О. 4.155. л(2яп2 — Зяпб). 4.156. — ( соз1 — — „~. гг / 11 ' 6(, ез/ 4 157. — згп [Ь[ -1- е ~Нот/~ ~ яп ~ — + ~/3 со» -~ 'з~ (2[ 2 4.158. — [е ~Н вЂ” яп[Ь[].
4.159. лг е 'з — — 11. 4.160. — (1 — е Ь). 4 2/' ' 264 4.161. — [2 — (2+ аЬ)е 'ь[. 4.162. л(Ь вЂ” а). 4.163. —. 4.164. —. 464 2 б 1б Л.И. Иолковысккй н др. 242 Ошеетм и решения 4.165. 1) ) (; 2) /; для того чтобы убедиться в ав ав справедливости ответе для — 1 < р < О, достаточно заметить, что интеграл прн этих значениях р сходится, а функция, стоящая в ответе, аналитическая. 4.166. -Г!Л-Е! соя —. 4.16Т. — Гн гОп —. р рЕ 2р р гр/ 2р 4.168. — Гн соя — (1при р = 1 интеграл равен -Е!. р — 1 1р/ 2р 2/ 4.170..
4.172. я!и рл 2 соя(ггр/2) гг(1 — р) !Л 4.173. ~при р = 1 интеграл равен -Е!. 4 сов(ггр/2) в 2) 4.174. — —, если Л р'- О, и —, если Л = О. я!и рЛ Р11 ягпрл я!пЛ ' я! и ргг 4.176. О. 4.177. л/4. 4.178. лсс8яр. 4.179. лсвбргг. 4.180.. 4.181. — (2вг~ соя — — 1). 22 ля!прл я1прл 4 4.182. ~22(1 — — ) — 1]. 4.183.
—.11 — ~ — ) ]. 4.184.— рл ап ' л Г' . ргг рл Л лъ'4 4.185. — ~ягп — сов — — 1)!. 4.186. вгпрл (1+ а)вгг я!прл '1 2 2 Е ъ'3 4.187. Если а не принадлежит интервалу ( — 1, 1), то Е =— где в/ав — 1 > 0 при а > 1 (в плоскости с разрезом по отрезку ( — 1, Ц величина в/ав — 1 однозначна); при а = ~е'и Е = ~ ец "Е 212ягпо при а = ву Е =, г58п у; при — 1 < а < 1 Е = 0 (главное значение). ъ/!+у 4.188. Если Ь не принадлежит интервалу (0,1), то Е = — Ьв '(Ь— я! и ргг — 1) в, где (Ь вЂ” 1) ">О, Ьл '>О при Ь>1; если 0<Ь<1, тоЕ= = — лЬП '(1 — Ь) 'ся8рл (главное значение).
4.189.. 4.190. — (па. 4.191. — (гг + 4!ива). пил(гг/о) 2а ва л Е3 Згг Л 4.192. ( — !и а — 1 — — Е!. 2ав г/2а 2 4 4.193. — 1г. 4.194. — !и 2. 4.195. — !и'— 4 2 1+а 4.197. 1) + — (1при а = 1 Е = — Е!; 2) 1 ! Е 11, 11 1 1 — а !па 1 2 2а(!пва 4-лв/4) 1-!-ав 2п 4.198. ! Е ~~( цв 21+ ! 2о+1 !2а а !пяа+(1+1/2)вля !+ав) в=в 2 — 1 4.199. — ~ — + — ~~ ( — 1) 1 ) 1 л Ч ввг гй+! ' г !!+ая га ~ !ива+ (Ь+ !/2)влв) в-в Глава Ж 243 4.201.
(при а = 1 1 = 1п2). 4.202. — СЬ вЂ”. т(1 — 2» г) гг яа Вгп ат 2 2 ксечз 4.203.. 4.204, 4.205. 2сЬ(гга/2] ' ' (ела .1. 1)з ' ' ' 2сов(а/2) ' л гг 1+а 4.206. — !и (1 + а), если О < а < 1; — 1и, если а > 1. 2 2 а 1п" с 4208.1) —; 2) —,еслиС>1; О,еслив<1; если1=1,то1=0 я! и! при я > 1 и 1 = 1/2 (глэвное значение) при гг = 1.
е" с" 4.209.. 4.210. в(пС. 4.211. 1) сов С; 2) С вЂ” в(пг. а! е г евг егс 4.212. + (6 — а)(с — а) (а — Ь)(с — 6) (а — с)(Ь вЂ” с) 4.213. — ~1 — — ), если С ) 1; О, если С < 1. 4.216. 1) —; 2)— ,/зс', тс 4.217. егс з/С, где ег(и = /е * с(х. о 4.218. е ' ег( чге 4.219. ыпС, если С < з-, О, если С ) к. 4.220. 1, если О < с < а; О, если с = а; — 1, если а < с < 2а; -1/2, если С = 2а; О, если С > 2а.
4 221. п+ 1, если па < С < (и+ 1)а; и+ 1/2, если С = яа (и = О, 1, 2,,). х 4.222. 1 — ег( — (см. ответ к задаче 4,217). 2чгС 4.223. — + 2 ~ ( — 1) "е а пвг =1 с г е" 4.224. — Еа( — С), где ЕС(С) = /' — 4и. и 2 вн С 2лС 6 4.225. —. 4.226. —. 4.227. О, если Ь < О; згсЬ вЂ”, если Ь > О. с а а 4.230. (~/Г+ 1 > О при з > 0). ч в- + 1(л + чгвт + 1)" 1 4.231. 1), если а > Ь; О, если а < Ь; чс~-661' 16' 1 2) О,еслиа>Ь: —,еслиа<6. чггбт — гг 4.232.
(н/2)уо(а(а(~/Р— Ьз). 4.233. Если действительная часть хотя бы одного полюса положительнв, то !цп /(С) = оо; если действителысые части всех полюсов отрицвтельг-го ны, то Ит /(с) = О; если некоторые полюсы ресположены нв мнимой оси, С-ге в все остальные имеют отрицвтельную действительную часть, то /(С) при С -с со колеблется, причем амплитуда колебаний неограниченно возрастает, Ответа и решения 244 если хотя бы один полюс на мнимой оси имеет порядок выше первого, и остается ограниченной, если все полюсы, расположенные нв мнимой оси,— простые. Если на мнимой оси только один полюс — в начале координат, то ~(1) -+ оо, если полюс — кратный, и у(1) — + гее[е* уг(л)]*=э, если полюс— простой. 4.236 У(1) ъ'2е1х — а "е — — $ ге г — — Ф 4.239.Решение.
Представиминтеграл ввиде ~ Ш+/ — М. 1 1 — а Ж Так как при асимптотическом разложении по отрицательным степеням х е * О, то из решения задачи 4.238 следует, что второй интеграл асимптотически равен нулю. Согласно определению главного значения интеграла е — е е ~ — М = е ' Пш ~ / — 81 + / — ЙФ ~ "е-1 — е1 'е ' — е' Е о (в последнем интеграле подынтегральная функции непрерывна).
Далее, е 1 Х а , "41= /'' ' " (1+~ — '41+~-"41-О(Ц+ /'-; (1. о о 1 1 1 Интегрируя по частям, получим е 1 1 где С = С(п) — постоянная величина. Осталось установить, что е1 Пшх е ~1 — В=О, а -~ ~ 1 а это легко доказать при помощи правила Ловителя. Г „э 4.242. Р е ш е н и е. Рассмотрим ~ е" ' Ж, где контур С изображен на С рис.
68 (при Пел > 0). Этот интеграл равен нулю и поэтому (з = х+1у) е. ~ ит = /е 1 О1 — ~е 1мж1 гН. о о ь'х Первый интеграл в правой части равен — е*; 2 второй запишем в виде Оо 1 (" 1 «з Имх1з 1 1 /'е* 1ьих Рис. 63 2/ 1+ ау 2л 2,1 (1+ 1у)1 Повторяя интегрирование по частям, получим требуемое разложение. Для Глава 1)г остатка имеем оценку 7"':- 1 ° З...(2п — 1) /ег !г+Г"! ! 1 ° 3...(2п — 1) Г ел 2» (4! .)зл Зл 11+ !у!зл з з г е* 1 Снова интегрирун по частям, получаем /, г(! <,, откуда и ,/ (! -!- гу)з 2!згз"з следует, что разложение является асимптотическим.
Случай Вез < 0 рассматривается аналогично. Если же Вез = О, то с" » а о о 4.244. у(!) - — зва !1ы!+ -7! — —, ~ ' — + .. 1 . / гг1 1 Г Г(3/2) Г(7/2) ьг ~ 4 ! юг ! 4477 71777 „ Г(2п -!- 3(2) -474 / ! Г ( !)3 (Зл !)4 ) Л при малом ! У(!) = 2)( — [1 — + †...~ 2)( †. г7л ~ 1 ° 3 5 ! 3 5.7.9 1 !Г л 4.245.
7"(!) 1+ — ~ (-1)" 1 „Г(Зп + Зг2) 43 и-372 ; при малом ! 7"(!) = Г(бгг2) с !з !474 44з74 Г(4) Г(11/2) Зг/л 4.246. 1. 4.247. О. 4.248. 4. 4.250. 1; 3. 4.251. 0; 4. 4.252. 2. 4.253. 1. 4.254. п. 4.255. и. 4.257. Решение. Так как последовательность функций 7'„(з) сходится к функции си* всюду, кроме точки з = О, то для любого кружка К, с центром в точке з ~ 0 и не содержещего начала координат ни внутри себя, --- ~ьгл -".."1 Л г---- < гош )е "~, где С вЂ” - окружность кру- 17 *ес га К, и применить теорему Руше.
П р и м е ч а н и е. Утверждение задачи непосредственно следует из теоремы Гурвица (см., например, (1, ф~" гл. Ъ'111, п. 2)). 4.261. О. 4.262. 2; 1. 4.263. В каждом квадранте по одному корню. 4.264. Во втором и третьем квадрантах по два корня. 4.266. В области г3 > О, о > +лггг (область 7 на рис. 69) гп = О; в области !3 > О, а < +~/Д (область 1)) гп = 2; в области )3 < О (область 1!1) ги = 1.
Ответам и решения 24б 4.267. В области а > О, ф > 1/а (область 7 на рис. 70) т = 0; в области, где или а ( О, или а > О, ф < 1/а (область Д),т = 2. 4.268. В области а > 1/2 + 1/~ + 1/4 (область 1 на рис. 71) т = О; в области 0 < а < 1/2+ !!/3~+ 1/4 (область 7)) я! = 2; в области, где или а < Ркс. 70 Ркс. 71 < 1/2 — !/ф~ + 1/4, или 1/2 — 1/Д- '+ 1/4 ( о < 0,,3 > 0 (область Ш), !и = 1; в области 1/2 — !//)- '+ 1/4 < о < О, /3 < 0 (область Л') т = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
