Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Основное 2и ! ® й (2) о В О (1) «~ (2) й Ркс. 74 О чд11 А /АР /М е-2 5А О 1 Ркс. 75 вано на рис. 75. Кругу )«( ( 1 соответствует внутренность зпициклоиды (для и = 2 — кардиоиды). 8.60. Поверхность для «(«е) (и + 1)-листна, с точкой ветвления (и— -1)-го порядка над ш = оо, соответствующей « = со, и и+ 1 тачками ветвленин 1-го порядка, расположенными над «еь = «ь(1+ 1!и) и соответствующими «ь =ы~ (ы = е~ы/("ы~, /« = О, 1, ..., и).
Основное отображение показано отображение показана на рис. 74. Остальное получается продолжением по принципу симметрии. 8.59. Поверхность для «(«е) и-листна, с точкой ветвления (и — 1)-го порядка над ж = оо, соответствующей « = со, и и — 1 точками ветвления 1-го порядка, расположенными нед жь = «ь(1 — 1/и) и соответствующими «ь = = ы" (и = еьи/М и, й = О, 1, ..., и — 2) . )(ля построения поверхности нужно к ее нулевому листу (ю-плоскость с и — 1 лучевыми разрезами, выходящими из жь) приклеить вдоль каждого разреза, крест-накрест, по одному листу (ю-плоскость с одним лучевым разрезом). Основное отображение пока- Ответы и решения 262 на рис. 76.
Области («~ < 1 соответствует внешность гипоциклоиды (для и = = 1 — отрезка). 6.61. Поверхность для «(ш) и-листна, с точкой ветвления (и — 1)-го порядке над в = оо, соответствующей « = са, и и — 1 точками ветвления 1-го порядка, расположенными над юь = ( — 1)"/2" ' и соответствующими «ь = Я ма (2) д ,ХГ 2Я (1) «а(2) Й (4), (3) Рнс. 76 = саз(лп/и) (й = 1, 2, ..., и — 1), Для построения поверхности нужно к нулевому ее листу (м — плоскость с разрезом — са < и < — 1/2" ', о = О ) приклеить последовательно и — 2 листа с днумя разрезами 1/2" ' < ~и~ < сю, а = О, затем к последнему из них приклеить еще лист, имеющий разрез — аа < < и < -1/2" ', в=О, если и — четное число, и разрез 1/2" ' < и < ао, в = О, если и — нечетное число.
При отображении ш(«) эллипсы и гиперболы с фокусами ж1 переходят в зллипсы и гиперболы с фокусами ж1/2" '. Изменение полуосей получается из соотношений « = сопят, ш = сапам На рис. 77 Рис. 77 показано разбиение «-плоскости на области, соответствующие полуплоскости о > О и и < О (первые заштрихованы) для и =5. 2бз Глава 71П 8.62. ш = О, ю = со — л.т.в., ю = 1 — полюс 1-го порядка для одной из ветвей функции «(ш). 8.63. Функция «(ю) имеет па одной а.т.в. 1-го порядка нал ш = е ' и вм по две л.т.в.
нвд ш = О и ю = со. Ее римвнова поверхность получвется путем склеивания двух зкземпляроа римановой поверхности функции Ьп ю вдоль рвзреза, проведенного нв них над дугой, соединяющей на ш-плоскости точ- кпп ки ш = е~ 8.64.Функция «(ш) имеет над ю = ю /2 бесконечное множество а.т.в. 1-го порядка и над ю = со две л.т.в. 8.65. Функция «(ю) имеет по одной а.т.в. 1-го порядка над точками юл = ап«е/«л («« — корни уревнения !8« = «; они все действительные), две л.т.в.
над ю = оо и косвенно критическую особенность над ш = О, предельную для указанных а т.в, (см«Нева или ни а Р. Однозначные аналитические функции.— М.: Госте«издат, 1941.— и. 238). 8.66. « = Агссозю = 1/! !и (ю + ь/юз — 1). Поверхность для «(ю) бесконечнолистна, с двумя л.т.в.
над ю = оо и а.т.в. 1-га порядка нед ю = ю1, соответствующими « = Ья (Ь = О, ю1, ю2,,); получается склеиванием бесконечного числа ш-плоскостей с разрезами 1 < (к~ < оо, о = О, (2') я й (2) Рис. 78 которым соответствуют вертикальные полосы Йя < х < (Й+ 1)т (рис.
78). 8.67. « = Агсзщ ш = я/2 — Агссозю. Поверхность длн «(ю) та же, что для Агссоз ш. 1 ! — ш 8.68. « = Агс!8 ю = — Ьп —. Поверхность для «(ш) бесконечнолистна, 2г !.1-ю с двумя л.т.в. кад ю = юй получается склеиванием бесконечного числа ш-плоскостей с разрезом и = О, )и) < 1, соответствующих вертикальным полосам йя < х < (!г+1)я (рис. 79). 8.69. « = Агсс«бш = я/2 — А«с!8 ю.
Поверхность для «(ю) та же, что для Агс!8ш. 8.70. « = АгсЬш =1п(ш+ т/шз — 1); сЬ« = сов!«. Поверхность для «(ш) тв же, что для Агссозш. 8.71. « = АгвЬш =!п(ш+ з/ш«+ 1); лЬ« = — !в!п!«. Поверхность для «(ю) получается из предыдущей поворотом на я/2 вокруг нвчвлв координат. Ответы и решения 8.72.
л = АггЬ иг = 1/2 1 и ((1 + ш)/(1 — ш)); 1Ь з = -г г8 ге. Поверхность для л(ш) получвется из поверхности для Агсгб ш поворотом нв я/2 вокруг начала координат. 8 73. з=АгссЬш=1/2Ьп((ш+ 1)/(ш — 1)); сгЬл=гсгбгю Поверхность для л(ш) та же, что для АггЬ ш 8.74. Поверхность для л(ш) строится тзк: не ш-плоскости проводим Оя Рис.
79 горизонтальные разрезы — сю < и < 1, о = (2й+)я, (й = О, ш1,ш2, ...) и вдоль каждого из них приклеиввем по экземпляру ш-плоскости с таким же (одним) разрезом. Построение поверхности для з(ш) основано не Ош (4) у=2и о П Лl (2) А(-1.игг) (3) А(-1ч-и«) о е) А (кг) (з), (г) (Ц у=а (1) о=О Рис. ВО том, что ш(л) отобрвжеет каждую полосу 2ггя < у < (2й+ 1)я нв полосу 2)гл < о < (2)г+ 2)я, несущую ш-плоскость, приклеенную по рвзрезу — 1 < < и < оо, о = (2й+ 1)я (см. рис. 80); знак + означает, что области нужно склеить).
Глава 1111 255 8.75. 1) Пусть Š— риманова поверхность, на которую функция ю = = П(с,) отображает с,-плоскость. Для построения римановой поверхности функции з(ю) нужна склеить бесконечно много экземпляров поверхности Г с разрезом по дуге, соединяющей на Р точки ю(0) и ю(со) (подобно построению риманоной поверхности функции Вп ю). Полученная риманова поверхность имеет две л.т.в.
в концах дуги склеивания и бесконечно много а.т.в., принадлежащих поверхностям Е. 2) Для построения римановой поверхности функции э(ю) склеиваем бесконечно много экземпляров поверхности Е попеременно адоль разрезов, идущих из точек ю(Ы) к точке ю(оо) (подобно построению римановой поверхности функции Агсэгп ю). Полученнан риманова поверхность имеет дне л.т.в, иад ю(со) и дополнительно к а.т.н. и. 1) имеет еше бесконечно много а.т.в. 1-го порядка в точках ю(ю1) (если ю(+1) или ю( — 1) являетсн а.т.н. порядка )с поверхности Р, то для г(и) она будет а.т.в.
поридка 26+ 1). Исследование функции э(ю) можно свести и к предыдущему случаю заменой эг = гз. 8.76. Все римановы поверхности для ю(э) двулистны и имеют э.т.в. 1-го порядка над точками: 1) э=а, г=Ь; 2) э=а,э=б,з=с, э=ос; 3) э = аь и э = со, если и нечетное. Для построения поверхностей берем два листа г-плоскости с разрезами, идущими из указанных вьппе точек в со, и склеиваем их по одинаковым разрезам. 8.77.
Все римановы поверхности для ю(э) трехлистны и имеют а.т.в. 2-го порядка над точками: 1)э=а,э=со; 2)э=а,х=б,э=ос; 3)э=а,л=б,э=с; 4) э = аь и з = со, если и не кратно 3. Для построения поверхностей берем три листа г-плоскости с разрезами, идущими из указанных точек а оо, на которых определяем три однозначные нетви ю, юю, югю (ю = е "Ыг). При обходе точек ветвления ю(э) приобретает множитель ю за счет одного из подкоренных множителей, поэтому юю аг Рис.
81 порядок склеивании листов по всем разрезам одинаковый, циклический (см. схему на рис. 81). 8.78. Риманова поверхность для ю(л) и-листка, с а.т.в, (и — 1)-го порядка над э = а, э = Ь, э = с, э = сю. Поверхность получаетсн склеиванием и листов з-плоскости с разрезами, идущими из точек л = а, э = 6, э = с а оо. Склеивание циклическое, одноаременное по всем разрезам. Листы соответствуют однозначным ветвям функции юью (ю = е' 'г", )с = О, 1, ..., и — 1) . 8.79. Римаиова поверхность длн ю(э) шестилистна, с а.т.в. 5-го порядка над э = оо, двумя а.т.в.
2-го порядка над каждой из точек э = а, э = 6 и тремя а.т.в. 1-го порядка над э = с. Поверхность получается склеиванием шести листов х-плоскости с разрезом по кривой, идущей из а в Ь, из Ь в с и из с в оо. Эти листы соответствуют однозначным ветвям; юг + юг, ююг+ юг, ю юг+юг, юг — юг,ююг — юг,ю юг — юг, гдею=е '1, а юг, юг— г г г !/г Ответы и решения 266 г — а однозначные ветви г и згга — с.
Обход вокруг а циклически соеди- няет листы Ц, 2), 3) и 4), 5), 6), вокруг 5 — листы Ц, 3), 2) и 4), 6), 5) (соединение дважды по полулистам), вонруг с — полулисты Ц, 2), 4), 5) Ц а юге! 1-ю2 Ь ! ею!~-юг с югюг-юг 2) югюгч-юг ! !2ю!.!.юг юг'сг ь™2 8) а юг+юг Ь ыю2+юг с юю! — юг 4) а мю! — ю2 с ю2ю! 1-ю2 !'! Ю! гс2 енс! — юг """! с'2 ! ЧС,-Ю2 5) югю! "!'г югю! — юг юг-юг Ь в!ю! — юг с ююгрюг Рис. 82 [показано на рис. 82); 2), 3), 5), б): 3), Ц, 6), 4),. вокруг оо — циклически листы Ц, 6), 2); 4), 3), 5) (см. схему на рис.
82). 8.80. Риманова поверхность для ю[г) шестилистна, с двумя а.т.в. 2-го парилка над = О, одной а.т.в. 1-го порндка над г = 1 и а.т.в. з-го порядка над г = сю. Для ее построенин нужно склеить два экземпляра поверхности функции чзгг, каждый из которых имеет на одном из листов разрез по лучу р = О, 1 < з < со. 8.81. Риманона поверхность ддя ю(г) двулистна, с а.т.в. 1-го порядка над точками г =- лв (й = О, ш1, ж2, ...); над г = оо поверхность имеет трансцендентную особенность — предел а.т.в. Для построении поверхности берем два листа г-плоскости с разрезами, идушими из а.т.в, в оо [например, по лучам параллельным мнимой оси), и склеиваем листы по одинаковым разрезам.
8.82 ). Г, н Е,„ получаются каждая склеиванием двух плоскостей с разрезами [ — 1, 1] (рис. 83). 2) Н ответах к задачам 8.82-8.87 через Гю обозначены поверхности для г!ю), т. е. поверхности нвд ю-плоскостью, в через Р, — поверхности функции ю12) над з-плоскостью. Гяаеа 'г111 267 8 .83.Г. получаетсн склеиванием двух л-плоскостей с разрезами ( вЂ С ( х ( О, р = 0), à — двух ш-плоскостей с разрезами [-4/2,4/2[ [рис. 84). 8.84.
Р. и Е получаются каждая склеиванием трех плоскостей, имею— 1 О 1 -1 О 1 ОО О Рис. 84 Рис. 85 о 1 Я 32 (34) в, Рнс. 85 щих в циклическом порядке разрезы по двум из отрезков [О, ~/4], [О, ы~/4[, [О,ыз~/4[, где ы = ез Мз [рис. 85). 8.85. Г, получается склеиванием двух з-плосностей с разрезами [О, 3/2), Е' — - приклеиванием к ш-плоскости с разрсзами ти [13у/3/2, -Р1со[, 7и [ — 43ъ'3/2, — гоо[ двух других щ-плоскостей с разрезом 7и соответственно уз (рис. 86). 8.86.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
