Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Длн определения комплексно сопрнженных полувериодов ьз, ю функции (з(ю) имеем Рис. 106 ео ез езх 3 ах ьз -Ьм ю — ю ;/(х — е!)(х — ег)(х — ез) ец — Ж вЂ” гз — *) ег — оз Если дг = О, то ег, ез, ез являютсн вершинами правильного треугольника и параллелограмм периодов имеет форму ромба с углом 60' в нуле, если дз ( 0 (тогда ег ( 0), и углом 120' в нуле, если дз ) 0 (тогда ег ) 0). Аг Рнс. 107 В обоих случаях половине параллелограмма периодов соответствует х-плоскости с симметричными лучевыми разрезами, выходящими из точек ег, ег, ез (рис.
107, 108). 9.47. 1) ю = -[Р(х)/ез[з, полунериоды ю, зю 2) ю = р'(з)/2[ег[~е~, полупериоды ю = )зе ' зз, ьз' = )зе'"зе; где = аз/3/2; Ответы и решения 2ВВ 3) ш = р' (в)/4ев~, полупериоды те же, что в п. 2. 9.48. 1) в = вп(и, б), ш = е""~, !п р = 2яК) К', )йе и) < К, )1ш и( < К'; Аз Рис, 108 2) отображающая функция таже, что и в п. 1), только 0 < йеи < < К, )1ши) < К, !пр = з — „ 3) сводится к и. 1) с помощью линейного преобразования; при этом б = ч Л вЂ” ч/Л вЂ” 1 , где Л = (о, б, с, Ы) — ангармоническое отношение указанных ./Л +,/Л вЂ” !' точек; 4) сводится к п, 3) с помощью отображения ! = ~/вв+ Ьв; 5) в =вп(н,б), ш = !е' "дж', 1пр = — —; — 3К < йеи < К, 0 < 1ши < К'; б) сводится к п.
5) с помощью отображения ! = ~/Г+ вв; при этом б = = сова; 7) отображающая функция та же, что в и. 5), только один раз 0 < 1 1 хК < 1ши < -К', а другой — К' < 1гци < К'; 1пр = — —; 2 2 4 К 8) л = 5 во~(и, lс), хо = е '™~К, !ар = я —; (Вен! < К, 0 < 1ш и < К', К' 9) отображающая функция та же, что в и. 8), только один раз 0 < 1ш и < 1 1 т К' < — К, другой раз -К < 1ши < К; !п и = — —; 2 2 2 К' в+ 1 10) сводится к и.
8) с помощью отображения ! =; при этом б = ч'1+ р' = 1Пч7(+ р); 1 — в 11) сводится к п. 7) с помощью отображения ! = —; при этом б = 1+е' = в!п(а/2); Глаеа Х 289 12) сводится к и. 2) с помощью отображения ! = — » ива, при этом 7с = = (эЫ Нг)/(эЫ Нг); 13) сводится к и. 7) с помощью отображения ! = а|па; при этом Ы = = соэсЫН; 14) сводится к и.
5) с помощью отображения ! = эщг и последую!/Д- Л-1 щего линейного преобразования; при этом 5 =, где Л = »гЛ+ иг1 — ! (1+ э!пд)(1 — в!па) 2(а!и 5 — э!и а) дписпи! г» !К 15) э=С[Я(и) + ш = е !и и = 2я —, где Ы определяется во и К из уравнений Я(!3) 15 о = — „с!п !7 = —. г г Е 2К К 1 — спи а! 9.49. ! = —. Вершины К х гК, -К х гК переходят в точки е ', эп и — е"', где сов о = й.
2К 9.50. Сводится к задаче 9.49 с помощью отображения и = — агсзщ х. При этом Ы определяется из уравнения 9 = е ~ =,, где 5 = -к'к 1 (аг + 6»)' т/аг 1 — бои 2К 9.51. ! =, где и = — агсжп х, !Не и( < К, !!щ ) < К'. Параметр азии е Ы имеет то же значение, что и в ответе к задаче 9.50. Фокусы х = х! к переходят в точки х †. 1+В С[В( )+ оп»спи( 1+спи эпи ! епи 2) х = С[Я(и) + —,1, ! = 2КК' !' Бои а г г и спидои! 3) х = — [Е(и) + !(Š— (с К ) — 7г и + ~.
Об определении постобв( зли яниых см. книгу, указанную в ответе к задаче 9.41. Глава Х 10.1. Поступательное движение со скоростью Ъ' = о — Щ Па сов диполь с моментом р = 2хс. Линии тока !!х+ оу = С; эквипотенциальные линии ах — !уу = С. 10.2. В точке х = Π— критическан точка (точка разветвления), на сов мультиполь порядка 2я (также точка разветвления); г" соз и!о = С вЂ” эквипотенциальные линии, г" шп игг = С вЂ” линии тока (х = ге!»); ьг =их 10.3. В точках х = 0 н х = сю — вихреисточники: (О; Я, Г), (со; — Я, — Г); !п г = — Гчг/1„1+ с — эквипотенциальные линии; !и г = !4 р/Г+ с — линии тока. Оба семейства линий — логарифмические спирали; в случаях Г = О или Я = 0 одно из этих семейств — окружности г = С, другое — лучи у=С. Скорость г' = — '(е'!г 'г!О7~!' гг! ( =г '") !Г+!Сг! г 2хг Ответы и решения 290 10.4.
В тачках а, Ь вЂ” вихреисточники: (а; !в,Г), (Ь; — 1;1, Г); линии по- Рис. 109 ] ! э ! 1 1 1 Рис. 110 Рис. 111 ля — логарифмические спирали вокруг точек а и Ь (рис. 109); !ар = à — — — д+ С вЂ” эквипатенцнальные линии; !и р = — У + С вЂ” линии Г /г — а вц à — гг2 а — Ь тока !1 — = ре' ). Скорость Ът = — ь )' — 2и! (У вЂ” а](л — 6) 10.5. В точке г = Π— диполь с моментам р = 2тп т = Ссаэ уг — эквипотенциальные линии; т = С в!и !г — ливии тока, Ьт = — ен"')т~, Ъ', = О.
В точках 2 1 г скорость равна — (3 т 4!)/25. 10.6. 1) и 2) В тачках О и аа — диполи с моментами х2лЯ и 2х (верхний знак относится к п. 1), нижний — к и, 2)). Линии поля — кривые 3-го ог пу порядка х х = С вЂ” эквипотенциальные линии, у ж =С— хг .!. уг хг -! уг аг линии тока; Ът = 1~ —,е"", Ъ' = 1. Точки х=- хВ для п. 1) и х = ЫЛ тдлн и. 2) критические (рис. 110 и 111). Глава Х 291 :,;:::;;.:::='-'=" "'-'-"=' ~~~~~ГГ/Г/Г~~~~~~~ '.: .':.':.'.::::;.:.- --.: Ф;~~~~~~~; ГГГ " =*' "-- --"--- '"~~~~~/Ф~~~~~~~~Ф критическан точка (рис 113). 10.9. В точках ха, ха( — источники: (ха,2я), (хат';-2я); т" + Рнс, 112 -~- Са~т сов 2сз+ а' = 0 ()С) > 2) эквипотенпиальные линии (к яим принадлежат также прямые р = хх); т' ж Са т'я1п2ы — а = 0 — винни тока (к ним принадлежат также оси ко- 4атз ординат); (Г =...
'(г = О, точка з = 0 — критическан (рис. 114). в' — а' Ряс. 113 Ряс, 114 10.10. В тачках х1, 0 и на оо — источники: (х1, Я), (О; -ф, (оо; — 13); г'+ 1/тз = С+ 2 сов 2Р (С > 0) — — эквипотенциальные линии (при больших значениях С линии близки к окружностям т = /С и г = 1/ъ/С); т = С 4- сбР— линии тока (к ним принадлежат также оси координат и С вЂ” спч з+ ! окружность т = 1), Ъ' = — ~, Ъ' = О. Точки х( — критические Ы~ ( з — ц!' (рис. 115). 10.11.
В точках х1, Π— источники: (хц 2л), (О; — 4в); Сг~ — 2тз соя 21в— — 1 = 0 (С > — 1) — эквипотенциальные линии (при С = Π— гипербола ' — *' = ч2); = 'вйут:ът2 — ( ~ с - О— Ртветы и решение 292 ниската Бернулли), к которым принадлежат также оси координат Р' = 2 , К, = О (рис. 116). г(х~ + 1) 10.12. В точках ш1 ш 1/Л вЂ” источники обильности 2х, в точке л = О— источник обнльности -4х, на со — источник обильности -4х; г' + + 1/г" = С вЂ” 2гоз4ы (С > О) — зквипотенциальные линии (при С < 4 Рис.
115 Рис. 116 Рнс. 117 линии распадаются на четыре компоненты, при С > 4 — на две; при боль- 4У ших значениях С зто "почти" окружности г = уС и г = — /; 162у = Фс! ' = С вЂ” — линии тока (к ним принедлежат также оси координат, биссекг4+ 1 — '1 4 трисы координатных углов и окружность г = 1); (' = 2 ~ 1,Р =О. 1 «(лл -|- 1) 1 ' Точки ш1, Ы вЂ” критические (рис. 117). Глава Х 293 10.13. В точке » — источник (О; Я), в точке » = оо — диполь и источник (со; — 14); у = е " ы~ — х» (в полярных координатах: атсоэр + С вЂ” Яу/2а + — )пт = С~ — эквипотенциальные линии; г = — линии тоаз1п~р С ка; линии тока имеют горизонтальные асимптоты: у,, -4 —, у, ~, — Ф а С вЂ” Я/2 Яе'т -4, 1» = а -1- — ', Ъ;„, = а; критическая точка» = — — (рис.
118). а 2тт' 2та 10.14. В точке г = Π— вихрь (О; Г), на со — диполь и нихрь (со; -Г); С - ГрД2х) т — эквипотенциальные линии; х = е "" Ыу — у асозу ( — =)- Г1вт Г ц„,,„ атз1п1» — — = С) — линии тока; (г = а+ — е' т ', К = а; кри2л,т 2гт Ге тическая точка г = — (рис. 119). 2ха 10.15. Жидкость обтекает окружность радиуса Я; Ъ", — а, циркуля- ъ. \ д \ Рнс. 119 Рис. 118 1 ция Г; критические точки определяются равенством»и = — (Г1 х 4яа 'Тб ' 'л' -— Гт е Г 1 л„~*,~ й„ лежат на окружности ф = Л; если Г = 4таЯ, то критические точки сливаются в одну; если Г > 4яай, то )ги) ) й (вторая критическая точке лежит в этом случее внутри окружности Ц = й).
См., например (3, гл. Н1, и, 49). 10.16. ю(г) = т'е *'г+ ~ )п(» — ал). На оо —. диполь Гг -1- 1Щ» 2ге с моментом 2ят'е " и вихреисточник с обильностью Я~ = ~ Щ и ьа интенсивностью Г = — ~ Гь. ьы 10.17. 1) Нет; 2) да; 3) да (например, течение щ = — + — )пг 1 Г г 2 ге имеет линии тока, выходящие из начала координат). Ответи и решения 294 10.18. При однолистном конформаом отображении вихреисточник переходит и вихреисточник той же обильвости и интенсивности.
Мультиполь переходит в набор мультиполей до того же порядка включительно. диполь переходит в диполь со следующим законом изменения момента: 1) (а;р) -г (а;рог); 2) (сю;р) -+ (а;рс г); 3) (ол р) -» (оо; р/с г), 4) (сс;р) — г (оо; р/сг). 10.19. При я-листном конформном отображении вихреисточник переходит в вихреисточник с обильностью и интенсивностью, уменьшенными н и раз. 10.20. Закон изменения вихреисточника (а' — точка, симметричная точке а): (а; ц, Г) -4 (а'; Я,-Г) — — в случае линии тока, (а, (/,Г) -г -+ (а"; -Я, Г) — в случае аквипотенциальной линии.
Закон изменения диполн более сложный. В случае прямолинейной линии така: (а; р) -» (а'; р'), где векторы р, р, проведенные соответственно через а и а*, симметричны относительно линии тока. В случае круговой линии тока )з) = Я г (а; р) 4 -г (а*, :-Л р/а'), если а Ф О, и (а р) -г (со р/гс~), если а = О. В случае и ря молинейной и круговой экнипотенциальных линий при тех же обозначениях соответственно: (ар) -» (а; -р ); (ар) — » (а; л р/а ), (О; р) -» (о"; -р/11з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
