Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 52
Текст из файла (страница 52)
125 2*к' спи Рис. 12б 21 К' Яйй) — К Рнс. 127 10.53. Периоды течения 4К и 2К Ч- 21К', диполи те же, что и в зада] че 10.52 с моментами гя, критические точки гтК+ ги1К' ей Глава Х и (2тп+ ЦК+ (2и-!- 1)зК' (рис. 12б). 10.54. Периоды течения 2К и 4зК', диполи те же, что в задаче 10.52 с моментами 2х( — 1)"+~з, критические точки зпК+ 2изК'. Основные отображения см.
на рис. 127. 10.55. !"(и) = 1п +Си+с. В частности, для о=0, аз,ы+ Г -~-зО а(и — о) 2вз а(и — б) !' + 1О + ы' и В = аз', опуская аддитивную постоянную и множитель, меняя 2аз' С и преобразуя а-функцин, получаем !и — +Си, 1п — +Си,!п а(и) а1(и) аз(и) аз(и) ' аз(и) ' а(и) +Си.
Если Г(и+2аз) = 1'(и), то Ди) = 1п +с. Г+зО д~((и — о)!(2зз)) 2вз д~Яи — б)((2ы)) -1К' 2!К' О 2зК' О Рнс. 128 10.56. 1), 2), 3) Двоякопериодические течения с источниками обильности 2я и — 2л в нулях и полюсах функций впи, спи, з(пи (рис. 128), Ответы и решения 392 10.57. Лвоякопериодическое течение с квадруполями в нулях Р(и) (рис. 129).
10.58. Периодические течения с периодом 2ьз (период скорости), с источниками обильности 2п в нулях дз(о) (рнс. 130, 1) для д» и для дз Я~) ° е, ез е А Ркс. 129 2) Рвс. 139 при сдвиге вправо на 1/2; рис. 130, 2) для дз и для зчз при сдвиге вправо на 1/2). 10.59. 1) /(е) = Г/(2яз) 1и е + с; 2) /(з) = Г/(2яз) 1п1(е) +с, где 1(з) отображает область Р на круговое кольцо так, что сохраззяются направления обхода граничных контуров; 3) /(е) = Г/(2нз) 1п((л — лз)/(х — лз)) + с, гле лз, лз взаимно симметрич- Г Х ЗОЗ ны относительно квждой из окружностей (т. е.
являются точками пересечения окружности, ортогональной к двум данным, с прямой, соединяющей их центры), причем точка л9 Лежит внутрИ ОКружности с ЦИрКУляцией Г; 4) /(л) = Г/(29гг) 1п1(л) + с, где функцин 1(л) отображает область 22 не кольцо с сохранением направления обхода контура с циркуляцией Г. 10.60. /(з) = Ф(ы/(л9) 1п з), где 1 ~ д'((и — а)/(2ы)) д',((и -~-а)/(2ы))~ Ф(и) = — 1р -р' 1+с, а= — !па. 4лза ~ д9((и — а)/(2ы)) д~ ((и + а)/(2ы)) 9 ' лг функция /(л) отображает Л на внешность двух парвллельных отрезков, В Рнс. 121 )Ве тр! отстоящих друг от друга на расстоянии (рнс. 131). Концы отрезков 2ла определяются из условия Ф'(и) = О. 10.61. /(з) = Ф(и(з)), где д',((и — а)/(2ы)) -, д'((и — а)/(2 ))) 2ы ( д9((~ — а)/(2ы)) 69((и — Л)/(лы))) а и(л) = а+ 1/л Ф ... — функция, отображающея область Р на прямоугольник.
10.62. /(л) = Ф( — 1пз), где Ф(и) = .49з(и) + — ' + с, А = г ~~ В д',(и/(2ы)) 2ы д9(и/(2ы)) с зил ии — — В = — (с л — с 9). Задача возможна, если с действитель- л- л ное число, в разность с — с ~ — чиста мнимая. Если А ф О, то функция /(з) отобрвжает Л на внешность горизонтального луча и параллельнога ему отрезка, отстоящего от нега на рвсстоянии ~с-9 — с И/2. Концы отрезка и начала луча определяются из условия Ф (и) = О (рис. 132, 1); на рис. 132, 2) изображен случай В = О).
Если же А = О, т е имеетсн только диполь, то В отображается на полуплоскость, ограниченную горизонтальной примой и имеющую разрез вдоль горизонтальнога отРезка, отстоящего от прямой на расстоннии )с 9(/2 (рис. 132, 3)). 10.63. 1) Решение возможно, если Г9 — Гз = Г; при этом условии /(л) = = Ф(ы/(л9) 1пл), где Г д9((и а)/(2~))) 19 ы Ф( 9 = †.1 2л1 д ((и .1. а)/(2ы)) 2ы Ответы и решения 304 д1(и — а) /(2ы) ) (необходимо иметь в виду, что прираШение!и при измене- до((и + а)/(2ы)) нии и от 0 до 2ш равно 2яо, а при изменении и от 2ои+ йи' до йи' равно 0).
Критические точки течения определяются из уравнения р(и) = Р(а) + 2 (ь (а) — ча/ы) + Л(0(ы') — чы'/ы) ' где Л = Г /Г, и располагаются на сторонах прямоугольника с вершинами (О, ы, со+ а~, оо~) и прямоугольников, симметричных с ним. В случае Го = о о и Ь с а Ь Рис. 132 = 0 функция У(з) отображает В не круг с разрезом по дуге окружности (рис. 133; Г > О). В случае Гз = — Го = -Г/2 функция .У(л) отображает /2 на двулистную область, образованную склеиванием внешностей кругов ).У) > 1 и !.У) > р/а вдоль разрезов от -оо до Уо = -ео "о1~, где о/Ч вЂ” значение ф в критической точке.
Функция а(.У) отображает зту двулистную об- Г лесть на внешность двух лемнискат, и /(з) = — — !и ((а(з) — ао)(а(з) + ло)) 4х! Глава Х 305 )Ф © Ои ~11!. (11 Рнс. 133 Ои Рнс. 134 (рис. 134, Г > О, а < р; полуполосы в 1-плоскости нужно склеить вдоль об- щего разреза). В общем случае ф = О на нижнем основании прнмоугольника в и-плоскости и у изменяетсн от — Г/2 до Г/2+ Гз, а на верхнем основании Г 1 1з 1 Ф = — 1и — + — 1и — и р изменяется от О до Гз (Г > 0).
гл а гл р 2) /(з) = Ф(и(л)), где ° д(Ии — а)/(2 )) — -и д~Ии — 5)/(г ))) гы ( д~((и — а)/(гы)) д~((и — а)/(гш))! + 1и + — и+С, Г! — Г д~((и — а)/(гю)] Гз 2хе д~((и — Л)/(гх)) 2ы н и(л) = а+ )г/з+ ... отображает область В на круговое кольцо. 10.64. и = жх — ))р, е = )зх+ ар, Е = — (с; диполь (со; — 1с), гд,, 10.65.
и = гор, и = го )п-; Е = — е'"; точечные заряды (а; го) и (сю; — го), л — 5 1 л — а! 2д(6 — а) 10.66. и = го агб —, е = го1п ~ — ~; Е =; точечные л — а л — 5 (л — а)(л — Ь) заряды (Ь; го) и (а; — 2о). Ответы и решения 306 10.67. и = -2оят6(л! — а'), о = 271п(лз — а~~; Е = — 468/(х! — а!); точечные заряды (а; — 2о), (-а; — 2о) и (оо; 4а) (см. рис. 113). Рес. 135 тзае ага, 1 1 й а! а2 Рис. 136 10.68. и = !р~!/ге!и(!р — о), о = (р!/г соя(Е! — а); Е = !раен г "'/г', диполь (О; р) (рис.
135). К! 10.69. и = (гх — ) сое!р, и = (гт — )е!п1а; Е = — г(1 те!'г — ); г г! липоли (О; ~зРь~) и (со; — !) (см. Рис. 110, 111). 10.70. и = — ру+ 22!р, ю = рх+ 27 )п(1/г); Е = — р+ 2де'г/г; точечные заряды (О; 2о) и (со; — 2о); диполь (со; р) (ср. с рис.
118). 1 2дь 10.71. и = -ру+ ) 2оь1рь, о = ух + ~ 2оь 1и —, Е = — р + ) —" е*"", ь=! й-.! гь й=! ! ь где х — аь = ге'г"; точечные источники (аы 2оь); диполь (оо; р) (рис. 136). Глава Х 307 10.72. 1) Величина точечного заряда сохраняется; закон изменения момента диполя тот же, что в задаче 10.18; 2) знак заряда мевнется на противоположный; закон изменения момента диполн тот же, что в задаче 10.20 при продолжении через линию тока. 10.73. о = 249(«,а), 10.Т4. ю = 294!п — + с. » — »а 10.75. 1) и 2) ю = 29! !и + с. В(« — «а) 1 « — ъ«г с г г г 10.76. ю = 29« !в — +сопза, где /(») = —, сг = а — Ь . /(») а — Ь 1 10.77. ю = 29« !и +с, где /(») = —- /(«) В 1 10.78.
ю = 24« !и —, где ! = /(«) определяется из уравнении « = /(«) 1 24 Го»Г-гт 4 а)! + — (см. задачу 9.17 для и = 4 и 9.32). В(1/2, 3/4) В 2 г 1 1 — сп (К»/а, Ь) 10.Т9. ю = 24«' !и — + с, где /(«) = и )а определяется /(«) ап (К»/а, Ь) из уравнения К'/К = Ь/а (см. задачу 9.49). /(«) Ог((» — «г)/(оа))«аг((« — »з)/(4а)) и ю = 2а, ю' = 2«Ь, »г = (4а — хо) -!.
Гуа, »г = (4а — ха) + «(4Ь вЂ” уа), «» = ха + 4. «(4Ь вЂ” уо). 10.81. ю = — ж - ж с ! ао ~ О, а = —, р" = —,, гп = — — —,, « -!- » — о « — а' а а- » Й. 4-с (а = О), с — действительное число. Сравнить с задачей 10.23, 2). 10,82. ю = -!- -!- с ! ао ~ со, а* = —, р* = —,р), ю = —— « — а « — а а а- » — — „«+ с (а = со). См, задачу 10.25, 2). яг 10.83. ю = р(» соз а + г яп о ъ' »г — Лг) -!- сопл!. 10.84. ю = — ((໠— Ьо/»г — сг) соло — г(Ь» — а~й~ — сг) ашо) + сова!, Р а — Ь г гдес =а — Ь. 2КР К К' Ь 10.85. ю = — -(соло+ г яп а спи), где и = — » и — = — (см. зада2апи а К а чу 10.79).
10.86. 1) Если рг = ре', то 1 .Г 1 У(«) = р! (а) = ( ~ — + !(»)~ соа а + г ~ — — а(«)~ яп о) + с; '( ~г(«) а(«) Вгр яг 1 Г Вг4 2) /(«) = рИ(») — +с = р~ ~1(») + — 1 соло+«~4(») — — ~ ашо)+ г(') (~ г( )3 ! ( )1 4- с. где рг' = ре'о. Функнии в квадратных скобках осуществляют нормированные конформные отображения 11 на внешность горизонтального, соот- 303 Ответы и решения ветственно вертикального, отрезков и).
10.87.ш»»~ 20»»1п — +11'(а,а)~ — — р)(»,а)1+с,глез(»,аь) г(»,ая) /(»,а) и г(»,а) конформно отображают !1 не единичный круг с нормировкой 7(аь, аь) = 1(а, а) = О, 1 (а, а) > 0 и с — действительное число. д 1 — 1и, если 1га» > О, 10.89. с(»,а) = — 1и, если 1»п» < О; !» — а! р(х,а,) = --,,(а = с»+1)3). ! я(х-а)з+3» 10.90. Ц Внутри круга !й — а»! — 1!п +1и — ~, если а 34 О, Г ! (а11 и(», а) = 1п = Г !» — Н»)а! й 1 1пй, если а = О. 1 Вне круга о(», а) = — 1и —. Плотность 1» — а( р(йе', а) — —— (а = 1а(е ). 2»Н й» вЂ” 2Н1а! со» (д — о) ф !а!» ! В частности, для а = О оне имеет постоянное знечение — и создеет 2»й потенциал обложения, имеющий постоянное значение!ий внутри круга и значение 1и !»( вне круге.
1Н» — а»! 1 „, ~,!1>й, Г! !.~, !!>й, 2) о(»,а) = е(»,оо) = — 1п —, а ф со, !»! < й; 11~й !»! ~ <й' !» — а! р(йе', а) —— .в ~а» й» (а = !а/Еы И а 34 ОО). ЕСЛИ а = 2вй Н» — 2й/а/со» ( — а) + /а!» = оо, то индуцируется тот же потенциал, что в предыдущем случае для а = О. 10.91. и(»,со) =!и ', р(х,оз) = — (1х) < й). !» + и'З вЂ” йт! ! 2 йя Гй» вЂ” х~ 10.92.
и(», со) = 1и !» .1- ~~Р: с~~ вне эллипса, о(», оо) = — 1п2(а — Д) г внутри эллипсе. Плотность р(»,оо) = — (ь — не эллипсе, с 2»,Я~ — с»1 =а*-Р). 10.93. р(~) = — ' . 10.94. р(~) =— 10.95. р(х) = (1х( < й). 2ху'й~ — х~ 10.98. р(Ь) = (с = — б ). 10.92. й, 2в ЬГГЬ3 — с»! и) Ср. приложение П. Шиффере в книге: Курант Р. Принцип Днрихле, нонфорыные отобреження н мнниыяльные поверхности.— М» ИТЛ, 1953. — 3 1, и. 2, особенно с. 242, 243. Глава Х зав 1 на !«! ««1, ((.) (д 2кр !и р нв !«! ««р, 2ар!пр 1 Рп = Ри = — Ри = — Рп = — ! !ар 10.98.
1/(2Я). 10.99. 1/(2(а — Ь)). 10.100. а. 10.103. Если ы(«! г3) — гармоническая мера интервала г1 действительной осн в точке « относительно верхней полуплоскости: а!(«;«з) = ! г д ! = — / — 1п — !1! (см. задачи 7.58 и 10.102), то (опускается действительх да !! — «! г« ная аддитивная постоннная): 1) и! = — !и (« — а), и = сг!и(«; г.'г), !л = ( — со, а); 2) ю = — !п — , и = вг!и(«;!л), г)! = (а,Ь); л « — а 1 Г « — аг « — а 3) и! = — !гг! !и(« — а!) + хг!п + ... + !г„!и л « — а! * — а. -г~ и = гг сгыи(«;!3«)! г1« = (аь г,аь), а ! = — оо; ь=! 4) ю и и получаются из выражений, указанных в ответе к и. 3), заменой вгь на !гь — !лв, добавлением гфв к ги и !гв к и. Потенциал можно также представить в виде ) !Рыи(«! г5ь), гав = (а„, оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
