Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Сходится абсолютно. 1.96. Сходится абсолютна. 1.97. Расходитсн. 1.98. Сходится неабсолютно. 1.99. Сходится неабсолютно при ег ф 2йл (й = О, й1, ш2, ...), расходится ири 37 = 2йл. 1.100. Сходится абсолютно. 1.101. Расходится. Глава 1 209 1.102. Сходится абсолютно. 1.103. Расходится. 1.104. Сходитсн абсолютна. 1.105. 1)»=Он»=2; 2)» = О, » = 1/гл, » = 1/и — (га и и — любые целые числа); 3) все точки плоскости; 4) все точки круга (»! ( 1. 1.107.
2) Когда 1нп»„равен О или сю. 1.109. Отрезок прямой: х = 1, — 2 ( у ( О. 1.110. Парабола у = х, 1.111. Пважды пробегаемая правая половина параболы у = х 1.112. Левая полуокружность радиуса а с центром в точке» = О. 1.113. Ветвь гиперболы у = 1/х, лежащая в третьем квадранте. 1.114. 1) Верхняя полуокружвость радиуса 1 с центром в точке» = О; 2) четверть окружности радиуса 1 с центром в тачке» = О, лежащая в первом квадранте.
1.115. 1) Циклоида: х = а(1 — гйп Г), у = а(1 — соэ»); 2) перван (считая от начала координат) дуга удлиненной (а < Ь), укороченной (а > Ь) или обыкновенной (а = Ь) циклоиды: х = ໠— Ьыпй у = а — Ьсоэй 1.116. 1) Образами прямых х = С являются при С ф О параболы и = = С" — а»/(4С»), при С = О полуось и = О, и ( О; образами прнмых у = С являются при С ф О параболы и = о»/(4С ) — С", при С = О полуось о = О, и ) О; образом прямой у = х является полуось и = О, х ) О; образами окружностей )») = Л нвляются окружности ~ н~) = /1; образами лучей атб» = = а — лучи агб ю = 2а; взаимно однозначна отображаются прямые х = С, у = С при С ~ О и лучи агб» = и, 2) прообразами прнмых и = С являются гиперболы х — у = С (при С = Π— пара прямых), прообразами прямых е = С вЂ” гиперболы ху = С/2 (при С = Π— пара прямых). 1.117.
1) Образами прямых х = С являются окружности и» + и» вЂ” и/С = = О, при С = Π— ось и = О; образами прнмых у = С являются окружности и + о + и/С = О, при С = Π— ось о = О; образами окружностей )»( = = й нвляются окружности ~ж) = 1/В; образамн лучей агй» = а являются лучи агй» = — сц образом окружности (» — !( = 1 нвляется прямая и = 1/2; 2) прообразами прнмых и = С являются окружности х + у' — х/С = О, при С = Π— ось х = О; прообразами прямых у = С лвллютсл окружности ха+ у»+ — = О, при С = О -- ось у = О, у С 1.118. Функция га = » + 1/» отображает окружности ф = /2 ~ 1 на зли» „» липсы ° + = 1, а окружность (»( = 1 на отрезок о = (о+ 1/ДР (й 1/о)» = О, — 2 ( и ( 2; функция щ = » — 1/» отображает окружности (»( = Я ~ 1 „» Э яа эллипсы + (й — 1/й]» (й + 1/Я)» = 1, а окружность ф ж 1 на отре- заки=О,-2(и(2. 14 Л.И.
Вольовыский и др. Ответи и решения 210 1.119. Прообразом семейства и= С является семейство х(х + у + 1) = Ркс. 59 = С(х + у ); прообразам семейстна и = С вЂ” семейство у(х + уз — 1) = = С(х'+ уз) (ряс. 59). 1.120. В луч, идущий по отрицательной части действительной оси из точки ш = -1/4 в точку ш = со.
1.121. 1) Окружности р = е~, лучи д = С, спираль р = е~; 2) линии у = е* + 26я. 1.122. 1) Семейство прямых х = С преобразуется в семейство и = — 4а~(и — а + 1/4) ( параболы с фокусом в точке ш = — 1/4, а = С+ 1/2), в которое входит также луч, идущий из тачки и = — 1/4 по отрицательной части действительной оси (а = 0); семейство у = С преобразуется в семейство софокусных парабол оз = 4С (и+С + 1/4) в которое входит также луч, идущий из точки ш — — — 1/4 по действительной оси а положительную сторону; 2) семейство х = С преобразуется в семейство окружностей Аполлония относительно тачек ш = — 1 и ш = 1 (включающее и мнимую ось); уравнение семейство окружностей Аполлония; (и — а) + оз = а — 1; (а( > 1 (а = с162С); семейство у = С преобразуется в пучок дуг окружностей с концами н точках ш = — 1 и ш = 1, включающий и соответствующие части действительной оси; уравнение пучка окружностей: из+ (и+ Ь)з = 1+ Ь (6 = сей 2С); 3) семейство х = С преобразуется в семейство спиралей р =е л д"а ~, причем оси х = Осоответствует отрезок9= 0, О < р(1; се- 21! Глава 1 агг!!с!!-сз мейство у = С преобразуется в семейство спиралей р = е ! !, причем оси у = 0 соответствует луч у = О, 1 < р < оо.
1.123. Прямым у = С соответствуют линии и = х+ с* сов С, в = С+ +е*а!пС, отрезкам прямых х ж С вЂ” дуги линий и = С+ е сову, в = с с . = у+ е э!ну. 1.124. 1) Семейству )ю! = П соответствуют окружности г = соэ зг/!и Н (Д ф 1) и мнимая ось (П = 1); каждому лучу атб ю = о соответствует семдйство окружностей г = аш !р/(2Ьл — о); при о = 0 в это семейства входит действительная ось (при Ь = 0); 2) гиперболы х — у' = !пН и 2ху = а + 2Ьл.
1.126. Только /(г) = з Нег/!г! (/(О) = 0). 1.127. 1) и 2) Непрерывны, но не равномерно. 1.128. 2) Нет; 3) да. 1.132. 1) с = 1, Ь = — а; /(л) = (1 — а!)г; 2) а = Ь = -1; /(г! = е'"'. 1.133. Функция аналитическая при 0 < атбг < г/4, л < ат8 < Ьл/4 (/(г) = гг) и при л/2 < агб г < Зл/4, Зл/2 < агб з < Тл/4 (/(г) = — гг). ди дв ди дв 1.135.
т — = —, — = -т.—. 1.138. О. д. дч ' др д.' 1.155. 1) Нет, если и ф соней 2) /(и) = аи+ Ь. 1.156. )/(г)! — функция не гармоническая, агб/(г) и !и)/(г)! — — гармонические, дги ! ди ! дги 1.157. г!!и = — „+ — — + —,,; и = С! !ив т Сг. д!.г т дт тг дзгг ' з . г з 1.158. р! = х, Ф = у; Га = хг — у, дг = 2ху; рз = х — Зху', аз = Зх у — у; рз = х! — Охзуг+ у", уз = 4хзу — 4хуз; р„= г" соа и!р, о„= т" айпи!р. 1.159.
в(х,у) = 2ху+ у+ С. 1.160. в(х,у) = — „„+ С. тг+ уз 1 161. а) в(х у) = аг8г-Ь С; б) в(х у) = агб г+ 2пзл+ С. 1.162. а) в(х,у) = агбг — атй (г — 1) + 2пзл+ С; б) в(х,у) = аг8г— — аг8(а — !) + С; в) в(х, у) = агб- — агб (з — 1) -!-2ттгл-|- С. 1.163. а) в(х,у) = ~ огаг8(з — гь)+ 2л 2 тяга! + С: г=! г=! п б) в(х,у) = ~ аьагб(г — гь) + 2лпз) оь+ С (если ~ел =О, тофунк- з,-! ь=! ь=! ция в(х, у) в рассматриваемой области однозначна). 1.164. 1) Существует; 2) существует; 3) не существует. 1.165.
/(з) = з + (5 — г)х — з/з + Сг. 1.166. /(з) = зе" + 2гсоаз+ гз — тз+ Сй 1.167. /(з) = 1/(2з) + ггг 4- Зз + С. 1.168. /(з) = 2з!па — (2 — з)з+ С. Всюду С вЂ” произвольная дейстаительнан постоянная. 1.169. и = С!а + Сг. 1.1ТО. и = Ст(ах+ Ьу) + Сг. 1.171. и = Сзагсг8(у/х) + Сг. 1.1Т2. и = С!ау + Сг. 1.173. и = С! !и (х + у ) + Сг. 1 174. и = ' +Сг 1 175. и = С! х+ Х/тхг+ уз+ Сг. хг + уг 14* Ответы и решения 212 1.176.
Не существует. 1.177. /(х) = е' х е'. 1.178. /(х) = е' е* . 1.179. /(х) = Ае' /з. 1.180. /(х) = Ахе' (а — произвольная действительная постоянная, А— произвольная положительная постоянная). 1.182. ах+Л, сох+ Л, Ле»', Ле"*. 1.183. мы+ Л, ах+ Л, Лес *, Ле'*. 1.184. асЗпх+Л, а1пх+ Л, Ле™, Ле '"*. 1.185. а!па+ Л, ас1пх+ Л, Ле' ', Легиь'. 1.186.
а/х+ Л, ас/х+ А, Ле'/*, Ае"/' (а — произвольная действительная постоянная, Л вЂ” произвольная комплексная постоянная). 1187. Длню=хс: 1) д=О, lс»»2; 2) д=сг,6=1/2; 3) д= г/4,/с=2ъ2; 4) д = х — агсхд (4/3), 6 = 10. Для ю=х": 1) д=О, 6=3; 2) д=О,)с=З/16; 3) д=сг/2, )с=6; 4) д = — 2 агс16 (4/3), 6 = 75. 1.188. 1) Сжатие при (х( < 1/2, растяжение при ~х~ > 1/2; 2) сжатие при )х -~- Ц < 1/2, растяжение при )х+ Ц > 1/2; 3) с/нагие при Ц > 1, растяжение при ф ( 1; 4) сжатие при Кех < О, растяжение при Кех > О; 5) сжатие при (х — Ц > 1, растяжение при (х — Ц < 1. 1.189. Я = О ~/'(х)~ г/х/11, Р = /(/(х))дл.
С 1.190. х/2 (ес" — 1). 1.191. 2ес(ес — 1). 1.192. Областью Р является кольцо е ( (ю~ ( е . Формулу из задачи 1.189 применять нельзя, так как отображение не являетсн взаимво однозначным. главеН 2.1. ю = (1 + с)(1 — х). 2.2. ю = (2 + с)х + 1 — 31 2.3. 1) хс = -1 + Зс, д = О, 6 = 2, ю+ 1 — Зс = 2(х + 1 — Зс); 2) хс = 2 + 2с, д = †, 6 = 1, ю — 2 — 2» = г(х — 2 — 2»); 2' 3) конечной неподвижной точки нет; 4) если а = 1, то конечной неподвижной точки нет; если а ~ 1, то 1 — а 1-в Х 1 — а / 5) если а = 1, то конечной неподвижной точки нет; если а ~ 1, то 6 Ь / 6 хс = —, д = аг8а, 6 = )а), ю — — = а(х — — ~. 1 — а à — а 1 — а/ 2 4. 1) ю = ах -Ь Ь; 2) ю = — ах + 6; 3) ю = — с(ах+ Ь); 4) ю = ах + Ьс'.
Везде а и 6 — действительные числа и а > О. 2 5. 1) ю = х + Ьс или ю = — х + 1 + Ьс) 2) ю = х + Ь или ю»» — х — с + 6; 3) ю = х + 6(1 + с) или ю = -х + 1 + Ь(1 + с) . Всюду Ь вЂ” действительное число. Друг другу соответствовать могут точки, лежащие или на прямой, параллельной грвницам полосы, или на параллельных прямых, симметричных относительно средней линии полосы. Отображение не определяется однозначно, если соответственные точки лежат на средней линии полосы. Глава П ,3) Ю= — ° ( /2.!- ил! ь 2) — л+а+Л+. л Л=1 Л<1 Л>1 Рнс. 60 мой, проходящей через точки е! и л! (рис. 60), делит отрезок л!зз внутренним и внешним образом в отношении Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
