А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4). Найти силу тока в цепи (установившийся режим), проходящего через сопротивление Н. Нри какой частоте ы сила тока наибольшая? Наименьшан? Рис. 4 У к а з а н и е. 0 составлении дифференциальных уравнений в задачах об электрических цепях см. п. 5 З 11. 880*. Какое условие достаточно наложить на собственные значении матрицы А, чтобы система уравнений (в векторной записи) х = Ат + 1(1) имела периодическое решение при всякой непрерывной вектор-функции 1(1) периода ы? Указание. Применив метод вариации постоянных в векторной форме, выразить общее решение через фундаментальную матрицу е~, функцию 1(1) н начальные условия.
Воспользоваться условием периодичности. 8 15. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Рассмотрим систему уравнений ьЬь — *=ть(ь,зм ..., з„), 1=1, ...,ьь, или, в векторной записи (2) дть Пусть есе гь и, непрерывны при ьо (1 ( со. дзь Решение з = у(Е) системы (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого в > О существует такое д ) О, что для 215. Устойчивость вснкого решения х(1) той же системы, начальное значение которо- го удовлетворяет неравенству ~х(бо) — 1о(1о)! < 6, при всех 1 ) го выполняетсн неравенства ~ (1) — 1(1И < . Если же для некоторого г > О такого 6 не существует, то решение 1о(1) называется неустойчивым.
Решение х(1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Лнпунову и, кроме того, все решении с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к ю(1) при 1 -ь +со, т.е. если из неравенства (3) следует х(й) — Ьз(1) -ь О (1 -ь +ос). Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора 1о. Вопрос об устойчивости данного решения х = фб) системы (2) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решении у(г) = О другой системы, получаемой ич (2) заменой искомой функции х— — 1(г) =у. 2.
Исследование на устойчивость по первому приближению. Пусть х;(1) = О (г = 1...., и) — решение системы (1). Чтобы его исследовать на устойчивость, надо выделить из функций Д, линейную часть вблизи точки хз = ... = х„= О, например, по формуле Тейлора. Полученную систему часто можно исследовать с помощью следующей теоремы. Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему Н~, Ж вЂ” = а,зхз+ ...
+ажх„+чрс(И хм ..., х„), ь = 1, ..., гц (4) где а;ь — посгпоянные, а рч -- бесконечно малые вьиае первого по- рядка. точнее, при ~х~ < ео )фг) < у(х)/х!, г = 1, ..., и, у(х) ь О при )х) — ь О, (5) д ) )=,л,) г...~ь~. Тогда если все собственные значения матприцы (аш), ь, й = = 1, ..., и, имеюзп отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво; если же хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение неустойчиво.
89 х15. Устойчивость П р и м е р. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы < х = ь/4+ 4у — 2е'+", у = вшах -1- 1п(1 — 4у), а = сопле. Выделяя линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем < х = -2х — у -1- уч (х, у), у = ах '1у+ фг(х у) где функции грг и фг равны О(х~ + у ) и, значит, удовлетворяют условию (б). Находим собственные значении матрицы коэффициентов 4 Л ~ — О, Л +6Л+8+а=О, Лиг= — Зхъ6 — а. При а > 1 корни комплексные, НеЛкг = — 3 < О, а при — 8 < а < 1 корни вещественные отрицательные, значит, в этих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво. При а < — 8 один корень положителен, значит, нулевое решение неустойчиво.
При а = — 8 имеем Лг = О, Лг = — 6 и вопрос об устойчивости не решаетсн с помощью изложенной теоремы. 3. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова. Производной от функции о(й хы ... ..., х„) в силу системы (1) называется функция с(о ~ По до до 41 ~О = 01+0*,~'+ "' "П*„~"' где хм ..., 1"„— правые части системы (1). Теорема Л нпунова. Если существует дшрференцируемая 4уннция о(хи ..., хп), удовлетворягощ я в области '1х~ < ео усло- виям 1) о>Оприх~О.е(0)=0. 2) — ) <Опри1х)<ео,1>1о, до сй 10 то нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.
Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие 3) — < — ш(х) <О приО<1х! <ео,1>уо, до дт 01 а 41унплия ш(х) непрерывна при 1х! < во, то нулевое решение сис- темы (1) асимптотичесни устойчиво. з15. Устойчивость Теорема Чета ее а. Пусть система (1) обладает нулевым решением. Пусть в некоторой области 1' пространства хм .... х„ существуетп диу1ференцируемая угункция о(тм ...... „т„), причем 1) точка х = 0 принадлежит границе области )г, 2) о = 0 на границе области 1' при )х! < ео, 3) в области 1' при 1 > го имеем о > О.
д,' >м т(х) > О, -!(г,- 4ункция т(х) непрерывна. Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво. Не существует общего метода построения функции Ляпуно- ва о (когда решение системы (1) неизвестно). В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы в = 2 бггхгхг или в виде сУммы квадРатичной фоРмы и интегРалов от нелинейных функций, входящих в правую часть данной систе- мы. 4. Условия отрицательности всех вещественных частей корней уравнения аоЛ -~-агЛ" '+ ... +а дЛ+а =О, ао >О, (6) с вещественными коэффициентами. а) Необходимое условие: все аг > О.
В случае и < 2 это условие явлнется и достаточным. б) Условие Рауса — Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были положительн ми все главные диагональные миноры матрицы Гурвица аг ао О 0 0 О ... 0 аз аг аг ао 0 0 ... 0 аз аг аз аз аь ао .. 0 0 0 О 0 0 0 ... и На главной диагонали атой матрицы стоят числа аы аг, ..., ан. В каждой строке индекс каждого числа на 1 меньше индекса предыдущего числа. Числа а, с индексами з > п или з < 0 заменяются нулями. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица: аь ао 0 Ьз= аз аг аг, ... (7) аз аз аз ~аг ао Ь~ = аы Ь~ = ~ ~аз аг ' х 15. Устойчивость в) Условия Льенара--Шнпара.
Необходимо и достаточно, чтобы все а, > 0 и ч»побн»3„з > О. »Л» — з > О. »3„з > О, ..., где г.'з, те же, что в (7). Эти условие равносильны условиям Рауса — Гурвица, но удобнее, так как содержат меньше детерминантов. Пример. При каких а и Ь корни уравнения Л + 2Л + оЛз+ +ЗЛ+ Ь = 0 имеют отрицательные вещественные частиу Пишем условия Льенара — Шипара: 2 1 0 о>0. Ь>0. гааз= 3 а 2 =Оа — 4Ь вЂ” 9>0. »3»=2>0. О Ь 3 Отсюда получаем условия Ь > О, 6а > 4Ь+ 9. г) Критерий Михайлова. Необход мо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка 7(зии)» где 7(Л) — левая часть (6), при изменении и» от 0 до +со не проходила через нач ло координат и сделала поворот вокруг него на угол пп/2 в положительном направлении. Другая (эквивалентнан) формулировка критерия Михайлова: Необходимо и достаточно, чтобы п.„а з > 0 и чтобы корни многочленов р(«) = а„ вЂ” о, -з« -~-а„-4« г Ч(0) =а -» — а -зп+а зп были все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня «з, т.
е. 0<«<1 <«<О < (Заметим. что многочлен (6) при Л = зь» равен р(в» ) +»ь»у(ь» ).) П р и м е р. 1(Л) = Л" +2Л" +7Л +8Л +10Л+6. Здесь а„= 6 > О, а з = 10 > О, а многочлены р(«) = 6 — 8«+ 2«з, у(»1) = 10 — 70+ Оз имеют корни «з = 1, «г = 3, гд = 2, пз = 5. Значит, 0 < «з < уз < < «г < уг По критерию Михайлова все корни многочлена 7"(Л) имеют отрицательные вещественные части. 6.
Условия устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами см. в [Ц, гл. П1, 3 16. Задачи 881 — 898 решаются с помощью определении устойчивости. 881. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решении данных уравнений с указан- 92 З 15. Устойчивость ными начальными условиями а) 3(1 — 1)х = х. х(2) = О.
б) х = 4т — гзх. х(0) = О. г) 21х = х — хз, т(1) = О. в) х = 1 — х, х(0) = 1. 882. ф = — х, у = — 2у. 884. х = -х, у = у. 883. т=х, у=2у. 885. х= — у, у=2хз 886.:с=у у= — зп1х. 887. х=у, у=ха(1+уз). 888. х = — усозх, у = з1пх. 889. Траектории системы уравнений а*, = Р(х, у), ш = ®х, у), непрерывны, изображены на фазовой плоскости (рис. 5).
Что можно сказать о поведении решений при 1 -+ +ос? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? Рис. 5 В задачах 890 — 892 выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение атой системы имеет указанный вид. 890. х = С1 соззс — Сзе ~ у = С11~е ~+2Сз. 892.
х=(Сь — Сз1)е ~, у= ' +Сз. 1п(сз -Ь 2) 893. Доказать, что длн устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения з*, = о(г)х (где функция а(1) непре- В задачах 882 — 888 начертить на плоскости х., у траектории данных систем вблизи точки (О, О) и по чертежу выяснить, устойчиво ли нулевое решение. з 15. Устолчиааста рывна) необходимо и достаточно, чтобы с 'пш а(а) 2ь ( +со. о В задачах 899 — 906 с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение 99а. ( 900.
( 901. ( 902. ( 909. ( 2ху — х+ у, бх~ + уз + 2х — Зу. х~+ уз — 2х, Зх — х+ Зу. е'+ "— сов Зх, а?4+ 8х — 2е". 1п(4у+е за), 2у — 1+ ~(1 — бх. ! п(З с" — 2 соз х), 2 ел — ~/3 +12 у 894. Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решеаия этой системы. 895. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы остаетсн ограниченным при 1 -+ +со.
то нулевое решение устойчиво по Ляпунову. 896. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы стремитсн к нулю при б -а +со, то нулевое решение асимптотически устойчиво. 897. Доказать, что если линейная однородная система имеет хотя бы одно неограниченное при 1 -+ +ос решение, то нулевое решение неустойчиво. 898. Устойчиво ли нулевое решение системы хд = оа,(1)х, + паз(1)хз1 хз = аьч(1)ха + азз(1)хз2 если известно, что аы (1) + азз(1) а?2 > 0 пРи 1-а +ос? 'я 1о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
