А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1079. х+ Зх = 2я1пс+ рхз. 1080. х+ бх = сов 21+ рхз. 1081. х.+ Зх+ ха = 2рсоь|. 1082. х+ ха = 1+ у,яп1. 1083. х+ яп т = р яп2~. 1084*. х+ х = япЖ вЂ” яп2с+ рхз:, найти лишь нулевое приближение. 1085ь. х+ х = Ор сйпС вЂ” хз В задачах 1086 — 1090 с помощью метода малого параметра (см. [4), гл.
2, з' 8, и. 4) приближенно найти периодические решения данных уравнений. 1086. х+ х — хз = О. 1087. х+ х+ хз = О. 1089. т, + х = д(1 — хз)х. 1088. х+ япх = О. 1090. х+ х = д(х — хз). В каждой из задач 1091 — 1097 найти в виде степенного ряда решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х4 включительно). 1091.
у' = уз — х; 1092. у' = х+ 1; 1093. у' = у+хе"; 1094. у' = 2х + соэ у; 1096 „г а+уз, у(о) = 1. у(о) = 1. у(о) = О. у(о) = о. у(1) = 1. Пб 118. Зависимость решения от начальньсх условий 1096. ун = хр' — уз; д(0) = 1, д'(О) = 2. 1097. уи = у'з + ху; у(0) = 4, у'(0) = — 2. 1098*. Построив мажорирующее уравнение (см. (2), 8 18), оценить снизу радиус сходимости степенного ряда, представляющего решение уравнении у' = уз — х с начальным условием д(О) = 1.
1099*. Оценить, с какой точностью можно получить при ~х~ ( 0,2 решение уравнения у' = е" — хзу с начальным условием у(0) = О, если в степенном ряде, представляющем решение, взять только четыре члена (до оех~ включительно). В задачах 1100 — 1109 найти линейно независимые решенин каждого из данных уравнений в виде степенных рядов. В тех случанх, когда это легко сделать, сумму полученного ряде выразить с помощью элементарных функций. 1100. уи — хзр = О.
1101. уо — хр' — 2у = О. 1102. (1 — хз)ун — 4ху' — 2у = О. 1103. (хи + 1)до+ бху'+ Зд = О. 1104. (1 — х)дн — 2у' + у = О. 1106. (хз — х+ 1)до+ (4х — 2)д'+ 2д = О. 1106. ди — ху' -ь ту = О. 1107. ун -Ь уашх = О. 11О8. хдн+ д1п(1 — х) = О. 1109.
до' — хун+ (х. — 2)у'+ у = О. В задачах 1110 — 1116 найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) ридами. 1110. хуо+ 2у'+ ху = О. 1111. 2т ун+ (Зх — 2х~)у' — (х+ 1)у = О. З 18. Заоисилсость решения от нач льнах уилсона 117 1112.
9хгуо (хг 2)у О хгуо хгус+ (х 2)у О 1114. хгуи+ 2ху' — (хг + 2х+ 2)у = О. 1115. хуи — ху' — у = О. 1116. хуи + у' — ху = О. 1117*. Найти с точностью до О(хз) при х — + О решение уравнения хуо+у' — ху = О, линейно независимое с решением, указанным в ответе задачи 1116. В задачах 1118 — 1120 указать, имеют ли данные уравнения решение в виде степенного ряда (или обобщенного степенного ряда). 1118.
хгуи + ху' — (х + 2) у = О. 1119. хгуо+ ху'+ (1 — х)у = О. 1120. хгуо+ (Зх — 1)у'+ у = О. В задачах 1121 — 1125 найти в виде тригонометрических рядов (см. (1), гл. ч'1, 8 1, п. 3 или (4), гл. 2, 2 7) периодические решения данных уравнений. 1121. уи — Зу = Дх), Дх) = (х! при ~х~ ( л, Х(х + 2з ) = Дх).
1122. уи + у' + у = ( зйс х!. 1128. уо' — у' — у = 5 — 4 созе' Указание. Разложение в ряд Фурье правой части уравнения 1123 имеет еид 2 2 "зшпх. 1124. уо — лгчу = 1(х), 1(х) = х(1 — х) при 0 ( х ( 1, У(х+1) - =У(х). о1н 2ях ь=с В задачах 1126 †11 с помощью метода ломаных Эйлера (с итерациями или без них, см.[4), гл. 1, 2 6, 8 7) найти 118 518. Зависимость решения от начальных условий приближенно на указанном отрезке решении данных уравнений с указанными начальными условиями. Вычисления вести с двумя или тремн деснтичкыми знаками после запятой с шагом А = 0,2 или 5 = 0,1.
1126. у' = уз + х,, 0 < х < 1; у(0) = 0,3. 1127. у' = 1+ х. О < х < 1; у(0) = 1. 1128.у'= — — у, 0<х<1; у(0)=1. 1129.у'=,, 1<х<2: у(1)=0. В задачах 1130 — 1135 с помощью метода Адамса или Штермера (см. (4], гл. 1, у 7) вычислить приближенно решения написанных ниже уравнений на указанном отрезке.
Вычисления вести с тремя знаками после запятой. Значения решения в начальных точках вычислить с помощью степенного рида. 1130.у'=у. 0<х<1: у(0)=1. 1131. у'= уз — х, 0 < х < 1; у(0) =0,5. 1132. у'= 1 — х, 0 <х< 1; у(0) =1. 1133. у'= ха — уз, 1 < х. < 2; у(1) = 1. 1134. уи=ху, 0<х< 1; у(0) =1, у(0) =О 1135. хуи+у'+ху=О, 0<х< 1; у(0) =1, у'(О) =О. Задачи 1136 — 1140 можно решить, сравнивая наклон поля направлений (определяемого уравнением у' = Г(х, у)) в точках некоторых кривых у = уо;(х) с наклоном этих кривых. 1136*.
Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 2+ шпх — уз, 0 < х < +со, у(0) = 1. (На плоскости х, у построить полосу сь < у < р', из которой не может выйти это решение.) 1137". Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 1— + 2х, 0 < х <+со, у(0) = 1. 1138*. Доказать, что решение уравнения у'=х — уз с начальным условием у(4) = 2 удовлетворяет неравенствам исх — 0,07 < у(х) < ч/х прн 4 < х, < со.
119 з 19. Нелинейные сисзпемы 1140*. Оценить сверху н снизу то периодическое решение уравнения р' = 2рг — созг Пх, которое лежит в области р ( О. 9 19. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. Систему дифференциальных уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (иногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом). Подробнее см.
[1], гл. ЧП, й 1, п. 2, или [4], гл. 3. З 2. Пример 1. Решить систему уравнений )г+ р = —, г х х Решение. Исключаем л из данных уравнений. Из первого уравнения имеем г = хр~. Подставляя во второе уравнение. получаем после упрощений зро (р хр~)г Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. Это уравнение может быть решено методами, изложенными в 2 10 (путем понижения порядка). После того иак из этого уравнения будет найдено у, следует найти г, пользуясь равенством з = хр', 2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядиа. поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций (см. [Ц, гл.
У11, З 5, и. 2). П р и м е р 2. Решить систему' йх с1У йх хг рг — хр (2) гпистема (2) записана а симметрической форме. О симметрической форме системы дифференциальных уравнений см. [1), гл. ЪЧ1, 1 5, и. 1, или [4), гл. 3, 1 3. 1139*. Доказать, что длн решения р(х) уравнения р' = = х — уг с начальным условием у(хо) = ро, где хо Э О, ро ) О, имеем у(х) — тих -+ 0 при и -+ +ос. 120 3 19. Нелинейные систпемы — = Сс. (3) у Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемсн следующим свойством равных дробей: если ьь = -г = ... = — л- = ьс ьг '' ь = й то при любых Ьы Ьг, ..., Ьс, имеем Ьдас + Ьгаг -1- ... ф йоии Йсбс ф Ьгбг -и ...
+ ЬиЬ Пользуясь этим свойством, получаем из (2) с1(иу) с)г с1(жу) = — 2г с)г. 2зуг — лу у с)л -~-ш. с)у с)г Следовательно, иу+ г = Сг. г (4) Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы. Система решена. Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию, можно, воспользовавшись знанием первого интеграла (3), исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, и. Из (3) имеем и = Ссу. Подставлян во второе из уравнений (2), получаем бу .
Отсюда — Ссус4у = гс)г; г = — Ссу + Сг. Подставг г У' — С,у' лня сюда выражение для Сс из формулы (3), находим еще один первый интеграл: г + иу = Сг. г В задачвх 1141 — 1160 решить данные системы уравнений. 1141. у' = — *, г' = — — *. л Л 1142. у' = -л —, гс = у+ 1. 1143 — г 1144. у' = угл, г' = л — улг. 1145. 2гу' = уг — гг + 1, г' = г + у. сО первых интегралах см.
(1], гл. 'Л1, 'г 4 или (3], 1 23. Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сос]з с1У 1 крещен равенство — = — на — и интегрируя получаем первый иг гсл г интеграл' 121 г 19. Нелииеаиые системы 1146. гр — » Р» Р х 1148. ах = ир» р-~-» х+» х-~-Р' 1149. р — х аЧ-р-Ь» х — р' 1150. ~~ = —" = ~» = ~". » и х р ех др е» ее р — е» вЂ” х е — р х — »' 1152. "" — ея аа х» 1154.
'* — Ж е» Р хр+»' 1155. ах а= ел е» 1157. "х — ар х(р+»)»(» — Р) Р(р 1 1 58 аха и««з» х хр — г»г 1159 ех ер '«(» Р) р(р — х) 1160. *, ар » ) Р(»гмхг) «(х»Е «). г н р ег «рг = т — уу. г = 1г + 2ту 1162. к=ту, у= тг+уг; ргг (сг = г — 21пт. 1163. е = ир — е» аеи. Р х = з!пу — тгу; = уг — при В задачах 1161 — 1163 для данных систем дифференциальных уравнений и данных функций «д проверить, являются ли соотношения (г = С первыми интегралами этих систем. 122 220. Уравнен я в частных проддгводных первого порядка 1164. Проверить, явлнютсн ли независимыми первые интегралы Бд = Сд, — -~ = Сз системы йх йу сЬ х у х 1165*. Доказать, что в области, содержащей особую точку типа узла или фокуса, длн системы с)т с)у — =Р(х у), — =9( у) 61 ' ' с)Ь не может существовать первого интеграла вида ~р(х, у) = С' с непрерывной функцией р, др р= сопят в сколь угодно малой окрестности особой точки.
1166. Пусть рд(Ь, х, у) = Сд, соз(1, х, у) = Сз — первые интегРалы системы ао', = Л(1 х У) адд = = Ь(Ь х У)' фУнкЦии Рд, рз н их пеРвые пРоизвоДные по х, У непРеРывны. Пусть в пространстве 1, х, у поверхности дд(Ь, х, у) = 1. ьдз(8д х, у) = 2 имеют только одну общую линию (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
