А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами х,=аах~+ ... +а;„х +1;(1), 1=1, ....а (13) х; = 9' +,(1) ез, 1 = 1, ..., и, (14) где О* з,(1) многочлены степени ш -Р л с неизвестными коэффициентами, ш = шахим, о = О, если 7 — не корень характеристического уравнении (2), а если 7 корень, то л можно взять равным кратности этого корня (или, точнее, о на 1 больше наибольшей из степеней многочленов, на которые умножается еы в общем решении однородной системы).
Неизвестные коэффициенты много- членов определяются путем подстановки выражений (14) в данную систему (13) и сравнения коэффициентов подобных членов. Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда 1,(1) содержат е"' сов(11 и е"' эш 111, а число 7 = а + )31 являетсн корнем характеристического уравнения.
П р и м е р. Решить систему < х = 4т — у -Р е (Ь+ эшт), у = х -Р 2у -Р те соэ й (15) Сначала для однородной системы х = 4х — у. у = х+ 2у находим корни Л1 = Лз = 3 и как в и. 2 отыскиваем общее решение хо = (С11+ Сз) ез', уо = (С11+ Ст — С1) ез'. В системе (15) длн функций гез', ез' ашт, тез'сова числе а + Дй соответственно равны 3, 3-р П 3+ 1. Поэтому надо отдельно найти частные решения систем х=4х — уЧ-1е . у=х+2у, (16) х = 4х — у+с вшт, у = х-Р 2у-Рте соей (17) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции 1;(1) состоят из сумм и произведений функций Ьо+ Ьгт+ ... + Ь 1"", е ~, соаЦ1, вшей Это делается по тем же правилам, что для одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, см.
и. 2 3 11, со следующим изменением. Если 1;(1) = Роч (1)ет, где Р„„,(1) — многочлен степени т;, то частное решение системы (13) ищется не в виде 1'Я (1) е", а в виде 80 314. Линейные системы с настоянными коэффициентами Длн системы (16) о+)81 = 3 = Л1 = Лз, ь = 2, гн = 1. Согласно (14), частное решение можно искать в виде х1 = (аз~+61~+ И+Н)ез', у1 = ((1~+84~+ Ы+ф) ез'. Длн системы (17) о+ Дв = 3+ 1 тЬ Льз, в = О, т = 1. Частное решение имеет вид хз = (В+1)е вш1н-(глс+п)о соий уз = (рс+ д) е з1п1+ (гс+ в) е соей Отыскав значения коэффициентов о, 6.....
общее решение систе- мы (15) напишем в виде х = хо + х1 + тз~ у = уо + у1 + уз. 7. Решение неоднородной системы х; = оп(1)х1+ ... +им(т)х„+ 1,(1), 1 = 1..... и можно найти методом вариации постоянных, если известно общее решение однородяой системы с теми же коэффициентами ош(1). Для этого в формуле общего решения однородной системы надо заменить произвольные постоянные С, на неизвестные функции С; (1).
Полученные выражения для х; надо подставить в данную неоднороднузо систему, и из этой системы найти С;,(1). 8. Показательной функцией е матрицы А называется сумма рида А Аз Аз с = Е+ — -~- — -~- —, + ..., 1! 2! 3! (18) где Š— единнчнан матрица. Рнд сходится для любой матрицы А. Свойства е~: а) если А = СМС ', то сл = Сом С б) если АЕ = ЕА.
то ел+в =ел ев =ев е": в) матрица Х(1) = егл удовлетворяет уравнению а, = АХ; Х(0) = Е. Методы отыскании е 1) Путем решении системы дифференциальных уравнений. В силу свойства в) 1-й столбец матрицы е' есть решение системы уравнений (в векторной записи) х = Ах с начальными условиями х;(0) = 1, хн(0) = 0 при 6-А1 (х; и'-я координата вектора х). 214. Линейные систел9м с лостоляямжи коэффициент л9и 81 2) Путем приведении матрицы к жордановой форме.
Пусть известна такая матрица С, что матрица С АС = М имеет жорда— 1 нову форму, т. е. состоит из клеток К,. Каждая жорданова клетка имеет вид Л" = ЛЕ+ Е, у матрицы Г все элементы нули, кроме 1-го косого ряда над диагональю. Поэтому Е'" = О, где т — порядок матрицы Г,и е легко найти с помощью ряда (18). Так как еще е~~ = е Е, то е =е + =е е =е Е е =е е я лв+г хе г л к л к Составив из клеток ея' матрицу ем, найдем е с помощью свойства а). Доказательства и пример см. в [5), гл.
1, Я 12 — 14. В задачах 786 — 812 решить данные системы уравнений (х означает е— , и т. дд для облегчения работы в некоторых ш задачах указаны корни характеристического уравнения). 787 789 791 999. ( х=х+л — у у=и+у †л = 2х — у (л, = (Лт = О, Лз = 2, Лз = -1). Лз=2, Лз=-1) 999. ( 999. ( х = 2х — у+э у =х+2у — л л=х — у+2л х = Зх — у+э, у=х+у+л, Е = 4х — у+4л (Л9 = 1 Лз = 2 Лт = 3) (Л9 = 1 Лз = 2. Лз = о) х=2х+у, 786.
у = Зх + 4у. 788. х+:с — 8у = О, у †х †. х = х — Зу, 790. у = Зх+у. 792. х= 2х+у, у =4у — х. х= 2у — Зх, 794. у = у — 2х. < х=х — у у = у — 4х. < х=х+у, у = Зу — 2х. < хг+х+бд=О, у †х †. < х = Зх — у, у =4х — у. < х — бх — Зу = О, у+Зх+у = О. < х = х — 2у — з, у=у †х, 82 З14. Линейные системы с постоянными коэф4оииентами х = 4р — 2з — Зх (Ль = 1, Лз = 2, Лз = — 1) (Лз = 1, Лз.з = 1 ~ 2з).
(Ль — — 2, Лз,з = 3 ~ 3) (Лз — — 1, Лз,з = хз) 002. (Лз — — 2. Лз = Лз = 3) (Ль = О Лз = Лз = 1). (Лз = Лз = 2, Лз = — 5). (Лз = 3, Лз = Лз = -1) (Лз = Лз = 1, Лз = 2) (Л, = 1, Л, = Лз = — 1), +р = 1). (Лз = Лз = О, Лз = 3) (Лз = Лг = Лз х = 4Х вЂ” рв р = Зх+ р — зв (Лз — — Лз = Лз = 2). 1=Х+з В задачах 813 — 825 решить системы, не приведенные к нормальному виду. х = Зх+4р, 814. Р = — Х вЂ” Р.
х = 2Х вЂ” Зр, 813. р = х — 2р. 800. ( 802. ( 808. ( 808. ( 808. ( 810. ( 812. ( р=з+х, 1 = бх — бр+ 5з х=2х+р, р=х+Зр — з, 1 = 2р + Зл — х х = 4х — р — з, р=х~-2р — з, 1 =х — р+2з х = р — 2Х вЂ” 2з, р = х — 2р+ 2з, 5 = Зх — Зр+ 5з х=х — р+зв р=х+р — з, 5 = 2з — р х=2х+р. р = 2р+4з, 1=х — з ВВВ.
( 002. ( Вов. ( т,=х — р — з, р=х+р з =Зх+з х = 2х+2з — р, р=х+2з1 1 = р — 2х — з х = 2х, — р — з, р = Зх — 2р — ЗХВ 1 =2з — х+ р х = Зх — 2р — 3, р = Зх — 4р — Зз, з = 2Х вЂ” 4р х = р — 2з — х, р=4Х+р, 2 =2Х+р — з х'=2х — р — з, р = 2х — р — 2з, В 14. Линейные системы с настоянными коэдк4иииенслами 83 816. ~ х = Зх — у — е, у = — х+Зу — т, з = — т,— у+Зс.
22 — 5у = 4у — х, 817. Зт, — 4у = 2х — у. х — 2д + д+ х — Зу = О, 819. 4у — 2х — х — 2х+ 5у = О. 820. х — т+2д — 2д = О, х — т+у+у=О. х — 2у+ 2х = О. 821. Зт -ь у' — 8у = О. 823. х+ 5х + 2у+ у = О, Зх+ 5х + у + Зд = О. х+ 4х — 2т — 2у — у = О, 824. т' — 4т — у + 2у+ 2у = О. 2т+ 2х+ х+ Зу+ у+ у = О, 825. т+ 4т — т + Зу+ 2д — у = О. хЬт+у — 2д= 0, 818. т. — у + и = О. с т+Зу — х = О.
822. х ь Зу — 2у = О. В задачах 826 — 845 решить линейные неоднородные системы. т = у+2е', 826. ~~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ | ~ ? е е у = х+1~. 828. х = Зх + 2у -ь 4 еес, у = х -~- 2у. х = 4х+у — е 830. у=у — 2х. 3 ч 2еэс 832. у=х+д+5е ~. т = у — 5совт, 827. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ? ~ е е у = 2т+у. х = 2х — 4у+ 4е ~~, 829. у = 2т — 2у. х = 2у — т+1, 831. у = Зу — 2х. т = 2т+у+е, 833. у = — 2х+ 2с. 84 2 14. Линейносе система с постоянными ноэфйтициентами 2 + +2 с 843.
у = и+ 2р — Зе44. х = 4х — Зр+ в1п1, 842. у = 2т — р — 2совт. т, = 2т — у, у = 2д — т — 5есяп1 т=т — у+81., 844. у = 5т — у. 845. В задачах 846 — 850 данные системы решить методом вариации постоянных. т = 2у — т, еэс у = 4у — Зт+ е24 1 т = у+ 18 1 — 1, 846.
847. ~ у = — т+ 181. 2 т, = — 4т — 2у+ ес — 1' 3 +Зу с ес еде. ( 1 т=т — у4- 849. сон т ' р = 2т — у. т = Зх — 2у, у = 2т — у+15 е' ъ6. 850. Решить системы 851 — 866, записанные в векторной форме: т = Ат, где т — вектор, А — данная матрица. 851. т = Ах, А = 1 4'3 01 — ~0 3).
4с1 й 852. х=Ат„А= ~ ~2 О)' т = т + 2у, 834. р = т — 5япт. т = 2т, — у, 836. у = у — 2х + 181. т = 2т+ 4д — 8, 838. у = Зт+ бу. т = т — у+ 2яп1. 840. у = 2т — р. т = 2т — 4р, 835. +3 с т = т+2у+161е', 83'Г. у = 2т — 2д. т = 2т — Зу, 839. д = т — 2у+2 аш т = 2т — д, 841. р = т+ 2е". Э 14. Линейные системы с посп2оянными ноэффиииентами 85 А= А= А= А= 853. х = Ат,, 854.
т. = Ах. 855. х= Ах, 856. т, = Ах, 857. т = Ат, 858. т = Ат,, 859. т = Ат, 860. х = Ах 861. т = Ах, 862. т = Ат, 863. т = Ат, 864. х = Ах, 865. х = Ат, '32 — 3) ' (: '-') (' -:) (- -. ') — 3 2 3 ( 3 — 2 2). (-': ) (: ') ( .',) (- .:) (: -'.) ( . -'.) 86 З14. Линейные системы с поспшянными ноэффиииентоми 2 Π— 1 866. х=Аз:, А= 1 -1 0 3 — 1 — 1 В задачах 867 — ВТЗ найти показательную функцию ел данной матрицы А. 867. А = 871. А = 2 1 0 873.А= 0 2 1 0 0 2 868. А = 870. А = 0 1 0 872.А= 0 0 0 0 0 2 В задачах 874 и 875 найти детей, не вычисляя матрицу е~. 874.А= — 1 2 0 . 875.А= 3 1 — 1 ВТВ.
Тело массы гн движется на плоскости я, у, притягиваясь к точке (О, 0) с силой санте, где т расстояние до этой точки. Найти движение тела при начальных условиях з(0) = с1, у(0) = О, т(0) = О, у(0) = о и траекторию этого движении. 877. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке О, а к другому прикреплен груз массы Згп, соединенный другой пружиной с грузом массы 2т.
Оба груза двигаютсн без трения по одной примой, проходящей через точку О. Каждая из пружин растягивается на величину ж под действием силы а тт. Найти возможные периодические движения системы. ВТВ. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых 1з и 1з. При повороте одного шкива относительно другого на любой угол сэ вследствие деформации вала З 15. Устойчивость возникают упругие силы с крутящим моментом Лсо. Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил. 879. К источнику тока с напряжением Е = 'г'в)пы1 последовательно присоединено сопротивление ??. Далее цепь разветвляется на две ветви, в одной из которых включена самоиндукция А, а в другой — емкость С (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
