А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 10
Текст из файла (страница 10)
хг(2х, — 1)ун'+ (4х — 3)хун — 2ху'+ 2у = О; у1 = х уг = 1/х. 701. (хг — 2х + 3)ун' — (хг + 1)ун + 2ху' — 2у = 0 уг = х, уг = ее. 2 12. Линеанеее уравнения е нереленнили наэф4иииентали 67 В задачах 702, 703 найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения является многочленом. 702.
(т+1)хун+ (х+ 2)у' — у = т+ ~. 703. (2х+ 1)ун+ (2х — 1)у' — 2у = хг+ х. В задачах 704, 705, зная два частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка. найти его общее решение. 704. (т, — 1)ун+4ху'+2у=бт:, уг — — х. уг = н++~~. 705. (Зхз + х)дн + 2У' — бхР = 4 — 12хг; дг — — 2х, дг=(х+1) .
В уравнениях 706 †7 линейной заменой искомой функции д = а(х)г уничтожить член с первой производной. 706. хгун — 2ху' + (хг + 2)у = О. 707. тгун — 4ху'+ (б — хг)у = О. 708. (1+ ха)ун+ 4хд'+ 2у = О. 709. таун + 2хгу' + (хг — 2)у = О. 710. хди + у' +:су = О. В уравненинх 711 — 715 заменой независимого переменного 1 = р(х) уничтожить член с первой производной. йхзд 712. (1 + хг) ун + ху' + у = О. 713. хг(1 — хг)да + 2(х — хз)у' — 2у = О.
714, ун — у' + сену = О. 715. 2хдн + у' + ху = О. 716. Зная три частных решения уг = 1, уг = т,уз = хг линейного неоднородного уравнения второго порядка, написать его общее решение. 68 212. Линейные уравнения е переменными квэ4фиииенепвми 717. Что можно сказать о функции р(х), если известно, что все решения уравнении уи+р(х)у'+ д(х)у = О при х — е оо стремятся к нулю вместе со своими первыми производными? указание. Воспользоваться формулой Лиувилля.
718. Доказать, что в случае Л(х) < 0 решения уравнения уи + р(х)у'+ д(т)у = О не могут иметь положительных максимумов. 719. Где могут лежать точки перегиба графиков решений уравнения уи + Л(х)у = О? 720. Могут ли графики двух решений уравнения уи + + Л(х)у = О (функция д(х) непрерывна) располагаться так, как на рис. З,а? рис.
З,б? рис. З,в? рис. З,г? г) Рис. 3 721. Доказать, что отношение двух любых линейно независимых решений уравнения уи+ р(х)у'+ д(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами) не может иметь точек локального максимума. 722. Доказать, что в случае д(х) ) 0 для любого решения уравнении уи + д(х)р = О отношение у'(х)1'у(х) убывает при возрастании т на интервале, где д(х) ф О. 2 12. Линейные уравнения е переменными нвэуефиииентами 69 723.
Доказать, что в случае д(х) < 0 все решении уравнения ун + 9(х)9 = 0 с положительными начальными условиями 9(хо) > О, 9'(хо) > 0 остаются положительными при всех х>хв. 724. Доказать, что решение уравнения уи — хгр = 0 с начальными условиями у(0) = 1, у'(0) = 0 есть четная функция, всюду положительная. 725*. Доказать. что в случае Ч(х) < 0 краевая задача ун+ д(х)У = О, 9(хг) = и, 9(хг) = Ь В задачах 727 — 730, используя результат предыдущей задачи и теорему сравнении (см.
(Ц, гл. М1, Ь' 2, п. 3), оценить сверху и снизу расстояние между двумя соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решении следующих уравнений на заданном отрезке. 727. у" + 2хй = О, 728. хуи+9=0, 20 < х < 45. 25<х<100. 729 дн — 2ху'+ (х+ 1)гу = 0 4 < х < 19 730. уи — 2е*у' + ег' 9 = О, 2 < х < 6. 731*. Доказать, что любое решение уравнения ун+ еу = 0 на отрезке — 25 < х < 25 имеет не менее 15 нулей.
732. Пусть хы хг, ... — расположенные в порндке возрастания последовательные нули решения уравнения рн + + д(х)у = О, где д(х) > 0; цри хг < х < оо функция д(х) непрерывна и возрастает. Доказать, что хи+г — х„< хн — х„ (т. е. расстояние между соседними нулями убывает). 733. В предыдущей задаче обозначим через с конечный или бесконечный предел функции 9(х) при х — э оо. Доказать, что !пп (хи ы — х„) = гг/~/с.
при любых а, Ь и хг ф тг имеет единственное решение. Доказать, что это решение — монотонная функция, если Ь = О. 726. Найти расстонние между двумя соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решения уравнения ун + гпу = О, где гп = сопз$ > О. Сколько нулей может содержатьсн на отрезке а < х < Ь? 70 Ь'12. Линейные ураененил с переменн ми коэффициентами В задачах 738 — 748 исследовать асимптотическое поведение при х г +со решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувиллн (см. задачу Т37) и утверждениями и. 4 (стр. 77). 738 нц 4 740. да+ хгд = О.
742. хдн — д = О. 744. хдн + 2д' + д = О. 739. дн — тгд = О. Т41. ди + егхд = О. Т43. ди — хд = О. 745. дн — 2(х — 1)д' + хгд = О. 746'. дн + (х« + 1)д = О. 747*. (хг+ 1)дн — д = О. 748*. хгди+ д1п х = О. В задачах 749 — 750 получить более точное асимптотическое представление решений данных уравнений, применяя два раза преобразование Лиувилля. 734'.
Пусть д и г решения уравнений ди + д(х)д = = 0 и за+Я(х)г = О с совпадающими начальными условиями д(хо) = г(хо) д'(хо) = г'(хо) и на интервале (хо, х«) имеем Ю(х) > д(х), д(х) > О, г(х) > О. Доказать, что иа атом интервале отношение г(х)/д(х) убывает. 735*. Пусть выполнены условия задачи 732 и пусть Ь„= гпак ~д(х)!. Доказать, что Ьг > Ьг > Ьз >... х йх<х„«1 736". Пусть в задаче 733 предел с конечный. Доказать, что Ь„-+ В > О при и -+ оо (в обозначениях задачи 735). 737'.
Заменой независимого переменного 1 = уг(х) привести уравнение — л + — л — 4 = О к виду 4«л + Ь(1) — ~ х д = О, затем избавиться от первой производной заменой д = о(1)и. (Это преобразование называется преобразованием Лиувилля. Во многих случаях оно позволяет привести уравнение дн + + д(х)«д = 0 к уравнению аналогичного вида, но с «почти постояннымэ (слабо меняющимися на интервале (Го, оо)) коэффициентом при д. Это облегчает исследование асимптотического поведения решения при х 4 со.) 313. Краевые задачи 749*. уи — 4хгд = О.
750*. хуа + у = О. 913. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Для отыскания решении краевой задачи ае(х)у -Ь а>(х)у 4-аг(х)гу = 1(х), то < х < хг, (1) ао(х)у + иг(х)у + аг(х)у = 0." (3) 2) при х = хо и т = хг она удовлетворяет заданным краевым условиям (2); 3) при х = в она непрерывна по х, а ее производная по х имеет скачок, равный 1/ао(з), т. е. С( +О, з)=С( — О,.), С'! =С' -р . (4) ~ =,ео *= — о ао(в) Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1), (2), надо найти два решения уг(х) и уг(х) (отличных от у(х) = 0) уравнения (3), удовлетворяющие соответственно первому и второму из краевых условий (2).
Если у~ (х) не удовлетворяет сразу обоим краевым условиям, то функцин Грина существует и ее можно искать в виде арг(х) (хо ч х ч в)~ С(х. з) = Ьуг(х) (в < х < х)). (б) Функции а и Ь зависят от в и определяются из требования, чтобы функция (5) удовлетворяла условиям (4), т. е.
~41г(в) = ауг(в), ~ядг(в) = ау,(в) + ае(в) ар'(хо) + ГЧУ(хе) = О, УУ'(хг) -~- др(хг) = 0 (2) надо подставить общее решение уравнении (1) в краевые условия (2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входнщих в формулу общего решения. В отличие от задачи с начальными условиями (задачн Коши), краевая задача не всегда имеет решение.
2. Функцией Грина краевой задачи (1), (2) называется функцин С(х, в), определенная при хо < х < хы те < в < хы и при каждом фиксированном в из отрезка [хо, х~[ обладающан свойствами (как функция от х]: 1) при х ф в она удовлетворнет уравнениаг 313. 7Граевые задачи 3. Если функция Грина С(х, в) существует, то решение краевой задачи (1), (2) выражается формулой ! у(х) = / С(х, в) 7(в)г1в. в 4. Собственным значением задачи ае(х)уа + а,(х)у'ф аз(х)у = Лу, (6) од'(хе) -~- гЗд(хе) = О, уд'(х!) -~- бу(х!) = О (7) называется такое число Л, при котором уравнение (6) имеет решение у(х) фО, удовлетворяющее краевым условиям (7).
Это решение у(х) называется собственной функцией. Найти решения уравнений 751 — 762, удовлетворяющие указанным краевым условиям. 751. ув — д = 2х; у(0) = О, у(1) = — 1. 752. да + д' = 1; д'(О) = О, у(1) = 1. 753. ув — у' = 0; у(0) = — 1, у'(1) — у(1) = 2. 754. Уа + У = 1: д(0) = О. У ( з ) = О. 755. уа + д = 1; у(0) = О, у(гг) = О. 756. ув+ у = 2х — гг; у(0) = О, у(гг) = О. 757. ув — д' — 2у = 0; у'(0) = 2, у(+ос) = О. 758. ув — д = 1; у(0) = О, у(х) ограничено при х -+ +ос. 759. ув — 2зу = 0; у(0) = — 1, у(+ос) = О.
760. хзуа — Оу = 0; у(0) ограничено, у(1) = 2. 761. хзуи — 2ху'+ 2у = 0; у(х) = о(х) при х — э О, д(1) = 3. 762. езда + 5ху' -~- Зу = 0: у'(1) = 3. у(х) = 0(х т) при х. — > +ос. 763*. При каких а краевея задача да + ау = 1, у(О) = О, д(Ц = 0 не имеет решений7 З 13. Лраевме задачи 73 Для каждой из краевых задач 764 — 779 построить функцию Грина. Т64. Уи = Х(х); у(0) = О, у(1) = О, 763. У +У =Х(х)! Р'(0) =О, Ч(зг) =О, 766.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
