А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Устойчивость х = ф(у — х), 904.. я у = 2" — 2 соя ( — — х) . 3 ян(2 — у) — 2х, ъ~9+ 12х — Зе", ев — е-39 42 — 3 81п(х + у), 1п(1+ з — Зт). В задачах 907 — 912 исследовать, при каких значениях параметров а и о асимптотически устойчиво нулевое решение. ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ 2 9 х = ах — 2у+х, 907. у=х+ у+ху. 909. х = х+ ау+ у, у = Ьх — Зу — хз. 911. х = 2 е с — т/4+ау, у = 1п(1+ х + ау). х = ах+у+х, 908. у =х+иу+у . т = у+81пх 910. ~ ~ ~ ~ 9 у = ах+ бу. т = 1п(с+ах) — е", 912. д = Ьх+ тку. 913.
Исследовать, устойчиво ли решение х = — с~, д = с системы х = у — 21у — 2у — х, у = 2х+ 21~ + ез' 914. Исследовать, устойчиво ли решение х = соя~, у = = 2 шпу системы у х =!и х+ 28ш 26 2' В задачах 915 — 922 для данных систем найти все положения равновесия и исследовать их на устойчивость. х=у х х, 2 915. у = Зх — х' — д 916. ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 9 ' = ( — 1)(у — 1), у =ху — 2. 900. ( 906. ( у = (4 — хз) сояз — 2хшп21 — соязз 95 з15. Устойчивость 918. х=1п( — х+у ), 91т "=д' ~ ~ ~~ ~ ? с у =- яп(х -ь У). 2 — 2Я+**+ 2, 1п(х — 3). еи — е*, ~/Зх+ уз — 2. 1п(1 + у + япх), 2:,— 92 9" .:2.
— япу, 2* -1 2б 2* В задачах 923 — 931 исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева. х=х — у, 923. д=х+у. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ ! з х=у — х+ху, 924. у = х — у — х — уз. 925. х 2з .в д= у+у ° 92'Т. х = у — Зх — хз, у = бх — 2у. х = — х — хд2 929. у=у — х * = — Л(:в) — Уз(д), У зз(х) У4(у) где зеп )2(з) = айвз, 9 = 1, 2, 3. 4.
В задачах 932 — 948 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь известными условиями отрицательности вещественных частей всех корней многочлена, например, условиями Рауса — Гурвица или критерием Михайлова. 919. ( 929.( 921. ( 922. ( 926. х=хд — т. +у у=х у ° 928. х=2д — х — д', д= т — 2У. 930. х = х — у — ху, д — 2х д дз З 15.
Устойчивость 932. у'о + уо + у' + 2у = О. 933. до'+ 2уо+ 2д'+ Зу = О. 939. у~~ 940. у~и 941. ух+ 2у~~ + 4уо'+ бди+ бу'+ 4у = О. 942 ухЧ 2уьч+Зу +бр +бр +2у О 943 ч1У + Ъ~~У+ 6~/ + 7уо+ 4уь+ 4у 0 944. ух + 4д У+ Ори'+ Вбдо+ 19д'+ 13у = О. 945. дч + 4д У + 1бдо' + 25уо + 13д' + Оу = О. 946 цУ + Зуьи + 10 от + 22уо + 23у~ + 12у 0 947. у~ + бдт" + 15до' + 48уо + 44у' + 74у = О. 948 ух+ 2утч +14уг +Збуо+23у'+68у 0 В задачах 949 †9 исследовать, при каких значенинх параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 949. ро' + ауо + Ьу' + 2у = О.
950. до' + Здо + ау' + Ьу = О. 951. д~ч+ 2у'о+ Зри+ 2у'+ ау = О. 952. у~~ + ауо' + уо + 2у' + р = О. 953. ау~и+ уо'+уи+ у'+ Ьу = О. 954. у~ + уо' + ауо + у' + Ьу = О. 955. у~и+ ау'и+ 4уо+ 2у'+ Ьу = О. 956. у~и + 2уо' + ауо + Ьу' + у = О. 934. ути 935. у" 938. у'У + 2уо' + 4уи + Зу' + 2у = О. + 2уо'+ Здо+ 7д'+ 2у = О. + 2уо'+ буо + 5у'+ бу = О.
+ 8у'о + 14до + Збу' + 45у = О. + 13уо' + 16уо + 55у' + 76у = О. + Зуо' + 26у" + 74у' + 85у = О. + 3,1уо'+ 5,2уо + 9,8у'+ 5,8у = О. 116. Особые точки 957. у~~+аул'+ 4уо+ Ьу'+ у = О. 958. у~и + 2уи' + 4уо + оу' + 1~у = О. Для исследования устойчивости уравнений с периодическими коэффициентами в задачах 959 и 960 надо найти матрицу монодромии и вычислить мультипликаторы, см. (ос], гл. 1И, з 15, з 16.
959. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения х + р(г)х = О, р(1) = а~ (О < 1 < к), р(Ь) = Ь (х < 1 < 2х), р(1+ 2х) = р(1), при следующих значениях параметров: 960. Исследовать, при каких а и Ь устойчиво нулевое решение системы с периодическими коэффициентами = А(1) ' . А(1 + 2) = А(г), А(1) = ~ „„~ при 0 < 1 < 1, А(1) = ~ ~ при 1 < Ь < 2. /О а1 /О 01 916.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Особой точкой системы — =Р(х у): — =Ю(х, и) с1х с!у Йг ' ' Йс нли уравнения Йу Я(х у) (2) Йх Р(х, у)' где функции Р и Я непрерывно днфференцируемы, называетсн такая точка, а которой Р(х, у) = О, Я(х, у) = О. 2. Для исследования особой точки системы Й. — = ох+ Ьу, Йг Йу — = ох+ Йу Й1 (5) а) а=ОД в) а = 0.5. д) а = 1, Ь= О; Ь=О; б) а=0,5, Ь=1; г) а=0.75. Ь=О: е) а = 1, Ь = 1,5. з 16.
Особые точки или уравнении ад +дп (4) йх ах+ >ш надо найти корни характеристического уравнения (=О. (5) Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка — увел (рис. 6„а), если резных знаков — седло (рис. О,б), если корни комплексные с вещественной частью, отличной от нуля, то особая точка — фокус (рис. О,е), если чисто мнимые,— центр (рис.
О,г); если корни равные и ненулевые (т. е. Л1 Лз ВВ 0), то особан точка может быть вырожденным узлом (рис. О,д) или дикритическим узлом (рис. О,е), причем дикритический узел имеет место только в случае системы — „, = ох; зл = 1, з = ор (или уравнения;-,л = л), а во всех остальных случанх при Л| = Лз ф О особая точка явлнется вырожденным узлом. Если же один или оба корня уравнения (5) равны нулю. то а б! ~ = 0 и, следовательно, дробь в правой части уравнения (4) с И~ сокращаетсн.
уравнение принимает вид -'л = Й, и решения на плос- 1 кости х, р изображаются параллельными прямыми. в) б) е) д) Рис. 6 Чтобы начертить траектории (кривые. изображающие решения на плоскости т, у) в случае узла, седла и вырожденного уз- 316. Особые точки (6) Составляем и решаем характеристическое уравнение = О, (2 — Л)(1 — Л) = О, Лд = 1, ! ° 2 — Л О Лг =2. Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особан точка — узел (того же типа, что на рис.
6,а). Длн Лг = 1 находим собственный вектор (О, 1), а для Лз = 2— вектор (1, 1). На плоскости з, у строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые„ касающиеся в начале координат первой из этих прямых, так как (Лг! ( )Лз(, см. рис, 7. Другой способ построения интегральных кривых. Разделив одно из уравнений (6) на другое, получим уравнение вида (4) Рнс. 7 ду зьр ( бз 2з или — = бз 2з 1, бр к+у) ла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми. проходнщими через особую точку.
Эти прямые всегда /о 61 направлены вдоль собственных векторов матрицы ~ ), составленной из коэффициентов данной системы (3). В случае узла кривые касаются той примой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего м е н ь ш е м у по абсолютной величине значению Л. В случае особой точки типо фокус надо определить направление закручивания траекторий. Для этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки по знаку НеЛ и, во-вторых, определить, в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям.
Для этого достаточно построить в какой-нибудь точке (з, у) вектор скорости ( л',, ф), определяемый по формулам (3). Аналогично исследуетсн направление движения в случае вырожденного узла. П р и м е р 1. Исследовать особую точку з = О, д = О системы 100 316. Особые точки Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде у = йх (а также х = 0). Подставляя в написанные уравнения. находим й = 1. Значит, у = х и х = 0 — искомые прнмые. Остальные интегральные кривые строятся с помощью изоклин (рис. 7). Пример 2.
Исследовать особую точку уравнения бу 4х — Зу бх х — 2у (7) Находим корни характеристического уравнении 4 — 3 — Л Л(=0; Л +2Л+5=0; Л= — 1х2с1 Особая точка — фокус. Переходим от уравнения (7) к системе с1х с(у — = х — 2у, — = 4х — Зу. Ж '' Ю (8) а) б) Рнс. 8 3. Для исследования особой точки более общей системы (1) илн уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р н Я в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) примет вид с(ел — = слхл + ЬУл -~- 7л(хл, Ул), — = схл + с(Ул + ф(хл, Ул), (9) с)1 ' ' сП Строим в точке (1.
0) вектор скорости ( ас, лхл) . В силу (8) ан равен (т — 2у, 4х — Зу). В точке х = 1, у = 0 получаем вектор (1. 4) (рис. 8,а). Следовательно, возрастанию 1 соответствует движение по траекториям против часовой стрелки. Так как вещественнан часть корней Л равна -1 ( О, то особан точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании 1 решении неограниченно приближаются к особой точке. Итак,при движении против часовой стрелки интегральные кривые приближаются к началу координат (рис.
8,б). 161 з16. Особые точки у'(хы у») И щ) — тб» ' ' — тО при х» — >О, у»-+О, тьь» т»ь» где т = ;/х~~ + у~з. Очевидно, это условие выполняется (при любам с < 1), если функции Р и Я в исследуемой точке дважды дифференцируемы. Предположим еще, что вещественные части всех корней характеристического уравнения (5) отличны от нуля. 'Тогда особан точка хг = О, уз = О системы (9) будет того же типа, что особая точка системы (3), получаемой отбрасыванием функций х и ф. Далее, угловые коэффициенты направлений, па которым траектории входят в особую точку, для систем (3) и (9) одни и те же (одиако прямым у = Йх для системы (3) могут соответствовать кривые для системьз (9)), а в случае фокуса направление закручивания траекторий одно и то же.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
