А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1054. Показать, что уравнение х+ Г(х?) +х = О, где функцин г' непрерывна и г'(у) > 0 при у > О. Г(у) < О при у < О. не может иметь предельных циклов на фазовой плоскости. Указание. Исследовать знак полной производной л,(хе+у ). 1055*. Пусть 1(х, у) и Д, )'„' непрерывны, с"(О, 0) < О, а при хз+ уз > Ьз имеем 1(х, у) > О. Доказать, что уравнение х, + Ят,. х)х -~- т, = О имеет периодическое решение х(с) ф О. Указание. Перейти на фазовую плоскость и исследовать знак полной производной й(х~ + у ). Построить кольцо, из которого не может выйти ни одна траектория. Применить теорему 21 из [3). Ц18.
Зависимость решения от начальных услоаий 109 З 18. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ !. Рассмотрим систему в векторной записи — =йг ) е)х с)4 ЦУ(4, у) — У(й х)Ц < ЛЦу — хЦ. (2) Через Ц Ц обозначается любая из обычно применнемых норм вектора: ы = 'т Рт .. +) .г ЦхЦ = (хг)+ ... Ч- )х„) или ЦхЦ = шах )х,Ц Пусть х(Г) — решение системы (1), а у(Г) — вектор-функция.
удовлетворнющан неравенствам — У(Г, у)! < у. Цу(П) — х(б)Ц < б. !. г1у Тогда имеет место оценка Цх(Г) — у(1)Ц < бежи -~- — (еь'Ц вЂ” 1) . (8) Это неравенство можно применять для грубой оценки ошибки приближенного решении у(Г) системы (1), а также дли оценки сверху разности решении х(1) системы (1) и решения у(Г) системы ллг = 8(й у), если Цу(Г, у) — )(Г, у)Ц < у. 2.
Если в системе уравнений е)г — =)е(1эхш ...,х„,р), 4=1, ...,и (4) гЕсли в выпуклой по х области имеем — ~ < а (П б = 1, ...,а), то оь в этой области выполнено условие Липшица с й = па. где х = (хг, ..., х ), 1 = (А, ..., 1„). Пусть в рассматриваемой области вектор-функции г непрерывне па й х и удовлетворнет усло- вию Липшица по х 110 518.
Зависильосшь решения от нач линия условий с начальными условиями х,(0) = а,(р), ь = 1..... п (5) р является параметром, функции г, и а, (1 = 1..... и) непрерывны и имеют непрерывные производные по хы ..., х„, р, то решение имеет непрерывную производную по параметру р. Производные — '-"' = ип ь = 1, ..., и удовлетворнют линейной системе уравнений й, " ВУь аУь (б) и начальным условиям и;(О) = а',(р), 1 = 1, ..., и.. Значении производных — 7ь и Ось в формуле (б) берутсн при хь = хд(1), ..., х„= = х„(1), где хд(1), ..., х„(1) — решение системы (4) с начальными условинми (5).
В частности, если положить аь(р) = р, а;(р) = сопзФ при ь ф й и считать, что все функции 1ы ..., 1 не зависят от р, то из предыдущего утверждения будет следовать, что для системы (4) с начальными условиями х;(О) = аи ь = 1, ..., п производные -~- = о „ = и; (ь = 1, ..., и) от компонент решении хм ..., х,„по начальному условию аь существуют и удовлетворяют системе уравнений пи, д1ь а ~ьо — '=7 *и„ь=1, ...,и, у=з и начальным условиям и;(О) = 0 при ь ~ 5, ал(0) = 1.
3. Если в (4) и (5) функции ~; и а, имеют непрерывные производные по хм ..., х„, 1ь (вблизи значения р = О) до порндка пь включительно, то решение тоже имеет непрерывные производные по р до порядка т и, следовательно. разлагается по степеннм параметра р по формуле Тейлора: т(1) = оо(1) -Ь ро,(С) -Ь р'оз(1) + ... + ршэ, (1) -Ь о(рш). (7) Здесь х и о; и-мерные вектор-функции. Чтобы найти функции о,(1), можно разложить правые части в (4) и (5] по степеннм р, подставить туда разложение (7) и приравннть коэффициенты при одинаковых степенях р. Получим систему дифференциальных уравнений, из которой последовательно определнются оо(1), о1(т), ...
В случае, когда ть и а; — - аналитические функции от хы ... ..., х„, р, решение х(1) разлагается в сходящийся при малых р степенной ряд по р (в силу теоремы об аналитической зависимости 318. Зависимость решения от начальных условий 111 решения от параметра, см. (4), гл. 1, 2 6). Коэффициенты этого ряда совпалают с коэффициентами разложении (7). Изложенный метод можно использовать для отыскания решении дифференциального уравнения при малых р в тех случаях, когда при р = О уравнение решаетсн известными методами.
П ример. Разложить по степеням параметра р решение задачи х=х +2рс, х(1) = — 1. (8) ищем решение в виде х(1) = оо(г) + рог(1) + р ог(1) + . Падставлян эта в (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем систему ее = оо ее(1) = — 1, ог = 2ооог + 21, ог(1) = О, ег = 2соог г ог, ег(1) = О, Из первого уравнения и начального условия находим ео(1) = — 1 Подставляя это во второе уравнение, получаем чи = -21 ги -~-21, ог(1) = О. Отсюда е,(1) =1 — 1 '. Подставлян найденные ео и чи в третье уравнение, получаем ег = — 21 ог + (1 — 1 ), ог(1) = О. Решив это линейное уравнение н воспользовавшись начальным условием, найдем ог(1) = — ' — г + з, — г.
Следовательно, решение задачи (8) имеет вид / 1'1,/1 2 8 х(1) = — — +р(1 — — ) +р ( — — — + — — — )+о(р ). сг) (3 С 31г сг) Это разложение можно продолжить дальше тем же способам. Аналогичным методом можно получать разложения по степеням параметра периодических решений нелинейных уравнений„ в частности, уравнений вида (О) х+ а х = рт(С х. х.
И), где функция 7 периодическая по й Переходить от уравнения 2-го порядка н системе при этом ненужно. Произвольные постоянные, 112 218. Зависилгоста решен я от начальных условий возникающие при отыскании оо(1), ог(1), ..., определяются уже не из начальных условий. а иг условий периодичности (см. [4), гл. 2. 5 8). В случае, когда правая часть (9) не зависит от 1, период решения х(1) заранее не известен. Тогда в уравнении (9) надо перейти от 1 к новому независимому переменному т = 1(1+ Ьгр+ Ьгр + ...
) и искать решения х(т) периода 2о/а. коэффициент Ьг обычно определяется из условия существования периодического решения длн иг(т), и т.д. (см. [4), гл. 2, 28). 4. Если функция г(х, у) в окрестности точки (хо, уо) аналитическая, т. е. разлагаетсн в ряд по степеням (х — хо] и (у — уо], то решение уравнения у = 1(х, у) с начальным условием у(хо) = = уо тоже являетсн аналитической функцией, т. е. разлагаетсн в степенной ряд в окрестности точки то (см. [2[, 5 18 и [Ц, гл. 11, 5 1, и. 6).
Аналогичное утверждение справедливо для уравнения убй = У(х, у, у'...., у1~ ']) с начальными условинми у(хо) = уо, у (хо) = уо у (хо) = уо Пример. Найти в виде ряда решение уравнения ун = хуг — 14~ с начальными условинми у(0) = 2, у'(0) = 1. Ищем решение в виде ряда у = ао 4-агх-'гагх + ... = 2+ х+агх 4-азх + ..., (10) так как нз начальных условий следует, что ао = 2, аг = 1. Под- ставляя ряд в дифференциальное уравнение, получаем 2аг+базх-~12а4х +... =х(2+х+агт, +... ) — 1 — 2агх — Вазх —... Представлня правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при оцинаковых степеннх х в обеих частях уравне- ния,получаем 2аг = — 1, баз = 4 — 2аг, 12а4 = 4 — Заз, ... Отсюда находим 1 аг = — —.
2 Следовательно, 1 а4 = — , 8 5 аз = — , 6 1 г 5 з 1 4 у=2-]-х — — х -]- — х + — х + 2 6 8 5. Для уравнении „,( )убя+„„( )у~"-г]+ ... +р„(.)у=О, (щ у которого все рч(х) аналитические в окрестности точки х = 0 и ро(хо) = О, т. е. коэффициент при старшей производной обращаетсн в нуль в точке хо, решений в виде степенного рида может не 218.
Зависимость решения от начальных условий 113 существовать. В этом случае могут существовать решения в виде обобщенных степенных рядов оо(х — хо)'+ос(х — хо)'~ +из(х — хо) х + ... (12) где число г не обязательно целое (см. (1), гл. К1, З 2, и. 2, нлн (4), гл.
2, З 7). Чтобы их найти, надо подставить ряд (12) в уравнение (11) н, приравняв коэффициенты прн наименьшей степени (х — хо), найти возможные значения показателя г, а затем для каждого из этих значений г определить коэффициенты аь 1056. Оценить, на сколько может измениться при 0 < х < 1 решение уравнения р' = х, + з1п р с начальным условием р(0) = до = О, если число до изменить меньше, чем на 0,01. 1057. Оценить, на сколько может измениться при 0 < 1 < Т решение уравнения маятника х+вшх = 0 с начальными условинми х(0) = О, х(0) = О, если в правую часть уравнении добавить такую функцию ~р(1), что !~р(й)! < 0,1 (т.
е. если приложить некоторую внешнюю силу). 1058. Чтобы приближенно найти решение уравнения х+ в1пх = О, его заменили уравнением х + х = О. Оценить при 0 < 1 < 2 возникающую от этого ошибку в решении с начальными условиями х(0) = 0.25. х(0) = О. если известно. что !х — в1пх! < 0,003 при !х! < 0,25. В задачах 1059 — 1063 оценить ошибку приближенного решения на указанном отрезке.
1О50. д' = —,* —, '„, р(О) = 1; д = 1 — -*„!х! < -',. 1060. х,=х — р, р=йх, х(0) =1, р(0) =0; х' 1+1+ 3 р 3 !Е! <01 1061. ди — хзр = О. у(0) = 1. д'(0) = 0: д = еи с'з. !х! < 0.5. 1062. д' = 1 + х, д(0) = 1", д = 1 + х, 0 < х < л. 1063. д' = 2хрз+ 1, д(О) = 1; р = ~~, !х! < 1л. Указание. Сначала выделить ограниченную область, в которой содержится приближенное решение д и. предположительно, точное решение д.
Для этой области оценить постоннную в условии 114 З 18. Зависииость решения от начальных условий В задачах 1064 — 1073 найти производные по параметру или по начальным условинм от решений данных уравнений и систем. 1064. у' = у+ рс(х+ у ), у(0) = 1; найти дл "~в=о 1065. у' = 2х+ рсдз, у(0) = рс — 1; найти дл оя ~я=о найти — "- д ое о„о' 1066 у' = у+ уз+ хдз~ у(2) = уо; найти дв д р и=о 1067.
$ = — с + 1сЬе ', х(Ц = 1; найти дс д " н=о 1068. ас = х~+1сЬхз, х(0) = 1+уй 1069. х = 41д~, х(0) = О, найти — *~ у = 1+ 5рх, у(0) = 0; ~"!в=о х = ху+ 1': х(Ц = хо, 12д= — д, у(Ц = уо; во=2 х = т + у, х(0) = 1+се, 1071. найти у = 2х+ру~, у(0) = — 2; ДОта.: — =(. л Цз-рхз: х(0) = —,'. х(0) =-1; найти дв а Р „,' 1078. х= '-,— —.', .(Ц =1,;(Ц=Ь; й о*,~,, Указание. При Ь = 1 решением служит функциях = И В задачах 1074 — 1078 найти 2 — 3 члена разложения решении по степеням малого параметра сс.
1074. д' = 41сх — уз. д(Ц = 1. 1075. д' = з — 5ссх, д(Ц = 2. 1076. ху' =,ихз+ 1пу, у(Ц = 1. Лившица, затем оценить )д — у!. С помощью этой оценки проверить, содержитсн ли д в выделенной оплести. З 18. Зависимость решения от начальных условий 115 1Отт. д' = -'~ — у', у(1) = 1+ Здь 1078. у' = е" *+ру, у(0) = — р. Для уравнений 1079 — 1085 с помощью метода малого параметра (см. [4), гл. 2, З 8) найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения; р — малый параметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
