А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Найти наибольшее из таких чисел а, что при каждом р б (1, а) краевая задача у +2у+ру=О, д(0)=2, у(н)=3 имеет решение. 3 23. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Отыскание решений Найти все вещественные решения уравнений 68 — 71. 68. й — 2х,+х=ес+в1г1 69. х, + 4х=(ем+2) яп2С. 70. ун + у = 4х сов х. 71.
де+ у = 5хе +4япт. Указать вид общего решения (в задачах 72 и 73 общего вещественного решении) с неопределенными коэффициентами. Не находить числовых значений коэффициентов. 72. уи' — 2ун + д' = С ес(1 + сов С) + С. 73. уи — 4у' + 4у = езе(х + яп х). 74. уи — 21у = 8е' совх. 75. ди — 21у' — д = 4вшх. 76. де+ 41у' — 5у = е сов2х. 77.
ун'+ 81д = япхсовх. 2. Периодические и ограниченные решения Имеют ли уравнении 78 — 80 периодические решения? 78. ун'+ у = совС. 138 Ь 23. Линейные уравнения и систеееы 79. т + х, = (зш е ) 80. х — 2х = 8 ашз 1. 81. При каких х Е В сушествует периодическое решение уравнения 'х'+ 4х = 2 сов~А? 82. При каких целых Ь и с уравнение уи'+ Ьзу' = зшх+ + сяп х не имеет периодических решений? 83. а) При каких ш Е Н уравнение у00+ 4ун'+ 4у' = оазис не имеет периодических решений? б) Найти все периодические решения в случае х = 3. 84. Найти периодическое решение уравнения х+х+23х = = вшей.
Нарисовать график его амплитуды как функцию от ы. 85. При каких целых а уравнение уи + азу = яп4х сов 2х а) не имеет решений с периодом и? б)* имеет только одно решение с периодом х? 86*. Те же вопросы для уравнении уи + (а — 1) (а — 2)у' + а у = аш 2т,. Для каждого из уравнений 87 и 88 выяснить, при каких а Е й все решенив этого уравнения не ограничены при — оо ( й ( оо. 88.
'х'+ х = совой 87. х+ ах = яп 1. 89. При каких а Е Л хотя бы одно решение уравнения ун~ + ун — 2 у~ = сее + з|п 2аг ограничено при 1 > О? 90. Тот же вопрос для уравнении уи'+ а у' = созассоз21. 91. Найти все значения а, а и )1, при которых задача х — 2т+ бт = ае~сое2с — 17зш2с. х(0) = а, х(0) = )1 имеет решение, ограниченное при с > О. 139 З23. Линейные уравнен я и системы 3. Системы уравнений Решить системы 93 — 95. т.=д+х — 4, 93. у = Зу — х,.
х = — эд) 94. у = 2х+ 2у. 95. ( э: = з — х, — д) д=х — у — з, л =о, Лз, 96. При каких матрицах А все вещественные решения системы х = Ах выражаются только через синусы. косинусы и константы? 97. Для одного частного решении системы т = Ат известна только первая координата: хг — — ге +1сйпй Каким может быть порядок матрицы А? 98. Найти фундаментальную матрицу системы х = Ах, Гогот где А = ~ о о о ~, нормированную при 1 = О.
~гог!' 99. Доказать. что для системы х = Ах с вещественной кососимметрической матрицей А нормированная при й = 0 фундаментальная матрица при каждом 1 является ортогональной. 100. Найти все вещественные периодические решения системы х, = 2у — х+ 2сов|, д = 4д — 2х+ соей 101. Найти решение с периодом к системы х=х,— д, у=2т,— у+Оащзй 92. Пусть х = са(1) и х = д)(1) — решения уравнения 'т' — х+4х — 4х = 0 с начальными условиями р)(0) = и, гр'(0) = б) )рв(0) = с; г))(я) = гт, д)'(к) = (3, д)н(я) = ?. Указать какие-нибудь числовые значения и, б) с, гг, ()) т так, чтобы Оа(1) и чф(1) были периодическими и линейно независимыми.
140 З 23. Линейные удавления и систели 102. а) Найти все вещественные периодические решения системы х = х, — у+ 3 зй121, у = 2х — у. б) Найти все решения с периодом и. 103. При каких а, система х = у+ яв2г, у = — 4х+ асоз2г имеет периодическое решение? 104. Длн каких вещественных чисел а и Ь все решения системы х =- 2у — 4х + а. у =- 2т, — у + Ь ограничены при 1 ) О? 105. Длн каких матриц А каждое решение системы х = Ах ограничено при †( 1 ( оо. 4. Показательная функция матрицы 106. Сформулировать свойства показательной функции матрицы.
В задачах 107 †1 найти егл . 10Т. Л=, . 108. А = О 0 1 2 Π— 1 109.А= 0 О О . 110.А= О 2 0 1 0 0 О 0 2 111. Найти вектор ей Ь, если А=(1 1),Ь=() В задачах 112 †1 а) не вычисляя матрицу е'~, найти ее детерминант и собственные значения; 141 З 23. Линейные удаененил и системы б) найти е4.4 112. А=, . 113. А= 114. А = О О 115. А = 0 0 1 . Найти йе4 / ее-4 сМ.
О 1 О о 116. При каких матрицах А имеем еу л -4 0 при 4 -4 +со? 117. Найти фундаментальную матрицу системы з: 4 Аа. 118. Если А — такая матрица, что е4 = Е, то обнзательно ли А=О? 119'. Что можно сказать о жордановой форме матрицы А, если 5 е4.4 ~, 144ьАьт 120*. Если при всех 4 матрица еся симметрическая, то обязательно ли матрица А симметрическая? 121*. Если ехл есп г— а ейае~>, то обязательно ли АВ = ВА? 122*. Если матрица есл ортогональная при каждом 4 6 Й, то обязательно ли А* = -А? 5.
Линейные системы с периодическими коэффициентами 123. Что называется мультипликатором системы т. = = А(г)а с периодической матрицей А(4)? 124. Какому условию должны удовлетворять мультипликаторы линейной системы для того, чтобы все ее решения стремились к нулю при 4 — 4 +ос? 125.
Найти мультипликатор длн ураваения т = (а + + е4п 1)а. 142 () 24. Устойчивость 126*. При каких значенинх параметра а Е ?? уравнение х = (а+ яп 1)х+1 имеет ровно одно периодическое решение? 2 127*. Пусть матрица А(1) имеет период Т, и йА(1)й ( а при всех Г. Доказать, что для системы х = А(1)т модули мультипликаторов не превосходят е т .
324.УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Теоретические вопросы 128. Дать определение устойчивости по Ляпунову. 129. Сформулировать и доказать теорему об устойчивости при наличии функции Ляпунова е(х). 130. Сформулировать теорему об устойчивости по первому приближению. 131. Сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы х = Ах (х Е??", матрипа А постоннная). 132. Доказать, что если одно решение линейной системы устойчиво, то устойчиво каждое решение этой системы. 133. Какому необходимому и достаточному условию должна удовлетворять матрица А, чтобы для любой непрерывной функции й(1) каждое решение системы х = Ах+?ь(1) было устойчивым по Лнпунову? 134.
а) При каких матрицах А система х = Ат имеет более одного положения равновесия? б) При каких дополнительных предположениях все эти положения равновесия устойчивы? 135. Система х = Ах, где х 6 Лз, А постоянная матрица, имеет частное решение, у которого известна только первая координата: хь — — е '+сов?. Устойчиво ли нулевое решение? 136. Система х. = Ах (т б Вв) имеет частное решение. у которого известны только две координаты: х1 = яп1+ 2 сов?, хз = сов 26 Устойчиво ли нулевое решение? 137.
Если длн системы х = Ах (х 6??о) нулевое решение неустойчиво, то обязательно ли оно неустойчиво для каждой системы вида т = Ах+ со(х), где ьо(х) Е С', ьо(х) = о(~х~) при х -+ О? 143 З 24. Усллоачивоппл 2. Исследование устойчивости конкретных систем Для уравнений 139 †1 и систем 145 †1 найти положения равновесия и исследовать их на устойчивость. 139. х = — хз. 141. т, = — тяп х. 143.
х = хзшз С 145. х = у, у = -тз. 140. х = япх — х. 142. т = — тяп С 144. з = 146. х = д, у = Зхз — 2х. 147. т, = у — х + (у — х)з, у = О. В задачах 148 — 155 выяснить, кри каких значениях параметра а нулевое решение явлнется а) асимптотически устойчивым; б) устойчивым. но не асимптотически; в) неустойчивым. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ 2 ~ ~ з х=у, 148. у= — ад — х — а х. 149. х = ах+ у+ (а+ 1)х, у=х+ау. х = ах+ азлпд, з у=ах — а у. 152.
153. у = ад — 48т. х=у †— у, 2 2 154. у = — (а + 1)х — ау. т = у~ у = — х(1+х ) — ау. х = Зд — слу, у = 2т+ (2 — а)у. 138*. Пусть 1(л, х) Е Сл, х Е Я" и пусть разность каждых двух решений уравнения х = 1(л, х) стремится к нулю при 2 — ~ +ос. Следует ли отсюда при каком-либо и, что всякое решение этого уравнении асимптотически устойчиво? З 25. Фаэовая олосаоооэь т, = — ах+ (а — 1)у, 155.
у= х+ау . 156. а) При каких а Е В существуют ограниченные при — оо < г < со решения системы х = 2у — 4х+ 1, у = 2х — р+ а. Найти все такие решении. б) Устойчивы ли они? 157. Устойчиво ли решение системы х = х — у, у = 2х — у+ 6яп г, имеющее период я? В задачах 158 — 160 а) найти все значения параметра а Е Л, при которых все решения уравнения неограничены при 1 ) 0 (не требуется отыскивать решения); б) выяснить, являются ли эти решения устойчивыми или асимптотически устойчивыми.
158. х + ах = яп 1. 159. 'х' + х = сов а1. 160. х+ ах = соваг. 2 25. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. Траектории линейных систем 161. При каких соотношениях между коэффициентами а, Ь, с, 6 особая точка системы х = ах+ Ьд, у = ох+ ду является а) седлом, б) узлом? 162. При каких а, Ь, с, г? для каждого решения системы х = ах+ Ьу, р = ох+ др полярный угол точки (х(г), д(г)) возрастает при увеличении Ь? В задачах 163 — 165 определить тип особой точки и нарисовать траектории системы на плоскости х, у. 145 З 25.
Фавовая ояосяосоьь х=х+Зу, 163. д = 5р — а. х = х — 5у, 164. у = бх — 5у. х=у+х — 4, 165. у =Зу — х. х = 2у — х. из точки ( — аз — 1, — 1) попасть в точку (1, аз + 1)? б) Устойчиво ли положение равновесия? 168. а) определить тип особой точки и нарисовать траектории системы х = ах — у, при а = -2, Ь = -3. б) На плоскости параметров а, Ь указать такую область, что при любых (а, Ь) из этой области вторая компонента у(1) любого решения указанной выше системы имеет бесконечно много нулей при 1 ) О. 169.
Рассматривается система х = азх,— у, у = бх — (3+ 2а)у. а) Будет ли нулевое решение системы при а = 1 асимптотически устойчивым? Обосновать ответ. б) Нарисовать траектории системы при а = — 3. в) Существует ли такое значение а б Л, при котором траектории — замкнутые кривые? В задачах 170 — 173 исследовать а) при каких значениях параметра а 6 Л нулевое решение асимптотически устойчиво и при каких — -устойчиво; б) при каких значениях параметра а Е Л особая точка— седло? узел? фокус? в) при указанном значении а дать чертеж траекторий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
