А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 22
Текст из файла (страница 22)
87. Количество све1о 3 та, прошедшего через слой в х см, у(х) = у(0) 2 '/зо; у(200) = = у(0)2 ш~~ 0,02- у(0); поглощается 100% — 2% = 98%о. 88. Скорость о(1) = 50!Ь-', путь (в метрах) а(!) = 2501псЬ1: а(1) = 1000 при сЬ -' = е, ! — 5(4+ 1п2) — 23сен. 89. Скорость о(1) = = Ь/ль !8 ь/58(С вЂ” !),д = 10, й = 0,012, С = + ахс!8 у/ — "о(0) — 1,75; о(!) = 0 при! = С-1 75 сек; наибольшая высота 5 = — ')п(ле~(0)т + 1)-16,3м (без сопротивления воздуха ! = 2 сек. й = 20м). 90.
Скорость о(!) =,/льсЬт/кбт, путь е(1) = ь 1псЬь/куг; а(!) = = Ь = 16,3м прн 1 = ~ )п(еьь -!- ь/езьь — 1) — 1,87 сел, о(1) = оъ5 ото — "ч 6.4 о ..В * мо; л— — ь/Ь = 0,5ь/28 хй 5(1) = 0 при С = аз ~)/' — 1050сек = 17,5 мин.
92. (2 — Ь(1))Н~ = 0,45кг~ьГ2и~~, Ь(!) = 0 при 1 = = о „о~/~ — 1040сек. 93. ъlН вЂ” „/Ь(!) = 5! 5 = 'lн(1 — о ) ° Ь(!) = 0 при ! = 5(2-!-ь/2) 17 мин. 94. Но/з — (5(!)]Оз = зЯ вЂ” ' /257 Ь(!) = 0 при 1 = (4Ле/Здз)ь/2Н/8 27 лен. 95. Объем воды в баке в литрах х(1); 1 = -~т !и — -~- — з ь/х, у = 1,8, о = 10 х(1) = 360 при ! = 260 сек (для бака без отверстия в дне ! = = 200 сек).
96. Удлинение нижнего куска длины х равно у(х) = , а всего шнура — у(1) = ьз'. 97. На высоте 5 км давление р(Ь) = е одз" (кГ/си'). 98. Сила натяжении каната на расстоянии !о (в радианной мере) по дуге от начальной точки равна /(оо) = = /(0)ег/~; /(бк) = 10ез" — 5000 кГ. 99. Количество оставшейся воды ск(1) = то — о(дг — до) (! — е ), к — коэффициент пропорциональности. 100. После сгорания массы х топлива скорость ракеты е(х) = с1п и; о(М вЂ” тя) = с!п ~~.
101. х+ у = Сх; 1ог4 Ответы х, = О. 102. !п(хз -!-у ) = С вЂ” 2 асс!8(у(х). 103. х(у — х) = Су; у = О. 104. х = хузсс!вСх: у = О. 105. д = Сезс '. 106. дз — хз = Су; д = О. 107. яш х = Сх. 108. у = — х!в!пСх. 109. !п-*~" = Сх. 110. !пСх = с!8(1 !и з): д = хез ~, й = О. х1с х2, ... 111. 2 схд = = х!пСх; д = О:, т = О. 112.
азсява = !пСх я8вх; д = хх. 113. (д — 2х) = С(у — х — !)з; у = х + !. 114. 2х + у — 1 = = Сез" *. 115. (д — х+ 2) + 2х = С. 116. (у — х -Ь 5)з(х -!-2у— — 2) = С. 11Т. (у+ 2) = С(х+ д — !); у = ! — х. 118. у+ 2 = зег = Се "'в *:з. 119. !в ххг = 1 + а . 120. яп ": — з-"- = С(х -Ь 1). ез *-с-р' 121. хз = (хз — у) !пСх; у = хз. 122. х = — дз !вСх; у = О. 123.
хзу !пСхз = Ц д = О; х = О. 124. у е сяв = С; у = О; х = О. 125. (2 /д — х) !п С (2 lд — т) = хс 2 /д = х. 126. ! — хд = =оЗс+ес =-2..2 П7 ) — 1= — ео;с=с; хуз = 1. 128. атея!п (вз! = !пСхз; (х~! = уз. 129. хзу!пСд = 1; у = = О. 130. а) у = С(х+ у); у = — х; б) (д+ х)з(д — 2х) = С(д — х)з; у = х. 131. у = С(хз -!-уз). 132. хз -!-уз = Сх. 133. При — ' — — ' = 1.
136. у = Сх + хс. 137. у = (2х+ !)(С+ !п~2х+ Ц) + !. 138. у = = яш х -!- С гов х. 139. у = е (!в (х( + С); х = О. 140. ху = С вЂ” Ьс (х!. 2 141. у = х(С+ япх). 142. у = Се' — х — 1. 143. д = С !в х — !их. 144. ху = (хз -~- С)е . 145. х = у -!- Су; у = О. 146. х, = е" + + Се ". 14Т. х = (С вЂ” сову) вшд. 148. х = 2!ау — у -~- 1 + Суз. 149. т = Суз -с- уз; у = О. 150. (д — 1)зх = у — !пСд! у = О; у = 1.
151. у(ег ~- Сез') = Ц у = О. 152. у(х -~- 1)(!и!х -!- Ц -!- С) = Ц у = = О. 153. у з = Ссовзх — Зяпхсоязх; у = О. 154. у = Схз— — Зхз.155.д =Схз — 2х;х=0.156.у=х!пСх;у=О. 157. у з = хс(2е* Ь С); у = О. 158. у = хз — 1+ Саха — Ц. 159. хз(С вЂ” соя д) = у; д = О. 160. ху(С вЂ” !п у) = 1. 161. х = Сез" -!- 2у. 162. у = С(х -Ь 1) — 2(т + 1). 163. е " = Схз ~- х. 164. соя у = (хз — 1) !п С(хз — 1). 165. д = 2ег — !.
166. у = — 2е*. = х +,+а, у = х. 170. у = х -!- 2+ — -ззз —;; д = х + 2. 171. у = е —; у = е'". 1Т2. Зх = СхсЯ вЂ” дз; у = О. 173. ху = Схз+ 2аз. 174. ху = а + Суз. 175. Через 20 ясин; 3,68 кГ. 176. Через 62 дии. 1ТТ. у = ус + С(уз — ус). 178. у = В8х — вест. 179. В/а. 180. Ь|а. с о с с 181. х(!) = ) е" савв) с!в = ) е'7(з+!) с!з. 182.
д(х) = х( е' 'с!! — с — оо С-со — + — с при х — с +ос. 183. у(х) = ( е ' """"6'тз с яп(х + в) с(в. о 186. Зхзу — у = С. 18Т. хз — Зхзуз+ дс = С. 188. хе "— уз = С. Ответы 155 189. 4у!пх+у = С. 190. х+лтз+ з = С. 191. хз+ з(хз — у)~г~ = С. 192. х — у соаз х = С. 193. х +:сз 1п д — уз = С. 194. хз + 1 = 2(С— — 2х) яп у. 195. 2х-ь)п(хз -ьу~) = С. 196.
х+ агсг8 — „*= С. 197. хгг+ +С= /1+уз.198.2х'„' — 3 '=С.199. „'=х'(С вЂ” 2 );. =О. 200. (х — С)у = 2х. 201. хз + !и у = Схз; х = О. 202. у яп хд = С. 203. г + ху+ 1п ~у~ = С; у = О. 204. — х+ 1 = ху(агсзбу+ С); х=О;9=0.205. +21 (~(-~1~~~ — а=С; =0.206.япл= = Се . 207. 1п)у! — уе = С; у = О. 208. )п(-*-т -~- 1) = 2д -1-С; д = О. 209. хзу1пСхд = — 1; х = О; у = О. 210. х -гуз = д+ Сх; х = О. 211. хзу+ 1п /х/у) = С; х = О; у = О. 212. 2ху + (1/ху) = =С;х=О;д=О. 213.(гг(втл елз~)=С;у=О; у= — х. 3 +Р 214. ашз у = Сх — хз; х.
= О. 215. у = С 1пхзу. 216. яву = — (хз + + 1) 1пС(хз 41). 217. хд(С вЂ” хз — уз) = — 1; х = О; у = О. 218. дз = = О.зз*"*. Г. к т~ ьв'7,Ч ~ (Г ГГ ° т'7 Н) =Гг х = О. 220. хз — 4дз = Сгд з/хуг х = 0; у = О. 221. а) уо = О, уг = х /2, дз = (х /2) — (хз/20). б) уо = 1, уг = х, уз = 1+ шов — х + (хг — 1)/7. в) уо = 1, уг = 1+ 2х, уз = -'(ез* + 1) + х + хз. г) уо = 2гг, уг = гг+ х, уз = 2з т х+ х сов х — яп т.
222. а) уо = 1, зо = 0; дг = х, зг = х — 1; уг = х + (х — 1) /2, зз = (х — 1)/3. б) хо = 1, уо = 2; хг = 1 Ч-21, уг = 2 ЬВ хз = 1 Ч-21+ (1 /2), дз = 2 4 +1-~-21 -~- (4/3)1з. в) уо = 1, уг = 1, уз = 1+ х . г) хо = 2, хг = 3 — 1, хз = 5 — 41 + 1~. 223. а) — 0,5(х(0,5. б) 0,87<х<1,13. в) 0,8(1<1,2.
г) — 0,1~(1<(0.1. 224. дз = з — зг + гогг — згоо, !у — уз~<0,00003. 225. а) Всн плоскость. б) уф2х. в) х~2, д>О. г) уфз + кй, 1 = = О, х1, х2, ... д) х>О, у~х. е) х~О, /у/>!х!. 226. При 0<а<1 в точках оси Ох. 228. а) хо и до любые, доФ з + к11 )г = О, х1г х2, ... б) хо~ — 1, уо>0, уо любое. в) хо~ус, хода>О, у~оФО, уса любое.
г) хоФуо до~О уо любое. д) го и уо любые, хоФО. е) 1о>— — 1г гго~Ог до~го. 229. а) Нет. б) Да. 230. а) Нет. 5) Нет. в) Да. 231. В случае и = 1 нет решений„при и. = 2 одно решение, при и = = 3 бесконечно много решений. 232. В случае п = 1 нет решений, если ГйаФУ(хо, Уо), и оДно Решение, если гйа = /(хо, Уо); в слУ- чае и = 2 одно решение, а при и > 3 бесконечно много. 233. п)б.
234. и)4. 236. а) 3. б) 2. в) 4. г) 4. д) 3. е) 1. 237. а) 0(а(1. б) а<-'. в) 1<а< з. г) — 1— (а<О. 241. у = Сез'. 242. уз = (х + С)з; у = О. 243. у -Г- х = (х+ С); д = — х. 244. (х -~- С) + у = 1; у = х1. 245. д(х+ С) = 1; у = О. 246. д(1 + (х — С)~) = 1; у = О; у = 1. 247. (у — т) = 2С(т -Ь у) — Сз; у = О. 248. (х — 1)~Г~ + + у~го = С. 249. 4у = (х+ С); у = Се; 250. у (1 — у) = (х + С); 156 Ответы у = 1. 251. у = Се*; у = Се " + х — 1.
252. хгу = С; у = Сх. 253. х, -!-Сг = 2Су; у = хгг 254. (х+С) = 4Су; д = 0; у = х. 255. !п ~1 х 2~/2у — х~ = 2 (т + С х 3/29 9— т); 8у = 4х+1. 256. (х4- +2)~г ~-!-С = 4е "/3. 257. у = 2хг-!-С; у = — х~-!-С. 258. д = Сх х23/х/7. 259. !п Су = х х 2е ~~; у = О. 260. !п Су = х хвшх; у = О. *4. 4, —,'Иа — Пл.+В~=+.+с, ° ° =44:37р3 д = 0; у = х1. 262. х~-!-(Су-!-1) = 1; д = О.
263. (Сх+1) = 1 — уг; у = х1. 264. 2(х — С) -!- 2дг = Сг; у = хх. 265. у = Се~' — хг. 266. дг = Сгх — С; 4хуг = — 1. 267. х = рг+р, 4д = Зрг-!-2р -!- С. 268. х = -4~ — „у = гг-; — !п )р~ — Ц + С. 269. х = р~/р + 1, Зу = = (2р — 1) 3/рг + 1+С. 270. х = 1п р+(1/р), у = р — !и р+С. 271. х = = Зрг+2р+С, д = 2рг+рг; у = О. 2Т2. х = 2 агсг8р+С, у = 1п(1+рг); у = О. 273.
х. = 1п )р! х 4 !и ) ~~~ —',- х 33/р+ 1 + С, у = р х (р -~- + 1)~г~; у = х1. 274. х = е" -!- С, у = (р — 1) е"; у = — 1. 2Т5. х = = х (2~/р~ — 1+ аггг4п г ) -!- С,у = хр~/р~ — 1 у = О. 276. х = =х(!п г ~~в +3~/1 — р)!-С, д=ххр/1 — р;9=0.277.х= = х2,/1 -!- р' — !и(,,/р' -~- 1 х 1) -!- С, у = — рх хр „/рг -!- 1 д = 0 278. 4у = С вЂ” 2(х — С)г; 2у = хг.
279. х = — В -!-С, бу = Сг — гг —; хг = 4д. 280. +тра/2(пТрр = 1, у = ~ (3/2 1пСр — — ~ — ' — ~-) . 281. рту = у -!-р, у~(2р-ВС) =р"; у = О. 282. у = 2Сх — С(иС; 2х = 1 !- 2 (и!д). 283. Сх = !пСу; у = ех. 284. трг = С Др~ — 1, 3. 0 285 2 г С Сг г, С.
З2. 3 27 4. у = О. 286. уг = 2Сгх+ Сг; 27хгуг = 1. 28Т. у = Сх — Сг; 4у = хг. 288. хг/р = Огр4-С, у = 3/р(4 — !пр — С); у = О. 289. х = Зр +Ср г, у = 2рг+ 2Ср '; у = О. 290. у = Сх — С вЂ” 2. 291. С = 3(Сх — у); Одг 4тг 292 г. С(1, 1)-г+2р+1 д Срг(р 1)-г+рг. д О у = х — 2. 293. у = Сх — 1п С; у = 1п х + 1.
294. у = х23/Сх х+ С; у = — х. 295. 2С (у — Сх) = 1; 8уг = 27хг. 296. хрг = р -~ С, у = = 2+ 2Ср ' — 1пр. 297. 3) 4у = х44 б) у = О, д = — 4х; в) у = О, 27у = 4хг; г) у = 4х. 298. ху = ха~ 299. хе+у = 1. 300. х = р(рг+ 2)/( /рг 4 1)3 у рг/( /рг .!- 1)3 и х = р/( /рг ! 1)3 гд (2рг + 1)/(~/р~ -!- 1)3 301. у = х(Се — 1). 302. (Сх -!- 1)у = Сх — 1; у = 1. 303. д(хг — С) = х; у = О. 304. х(С вЂ” д) = Сг; х = 4у. 305. у(х+ С) = х+ 1; у = О. 306. х = Су + уг; д = О. 307. у = С; у = С х е . 308. д!пСх = — х; у = О.
309. дг = С(хг — 1); х = = х1. 310. 2у = 2С(х — 1)+ Сг; 2у = — (х — 1)г. 311. х = Су+ !пг у. 312. у = Сх е ~~'. 313. (х — С)г+у = С! 4(уг — х) = 1. 314. 4хгу = = (х-~-2С)~; у = О. 315. х = Се" +у +2д-~-2. 316. Зу = 3С(а — 2)-!-Сг; Ответи 157 Оу = 4(2 — х)г. 317. у = С(ху — 1); хд = 1. 318. 4(х — С) = 27(у— — С)г; у = т — 1. 319. х + у = !8(у — С).
320. хвуг -!- 7х = С. 321. у(хд — 1) = Сх. 322. — е " = !иС(х — 2). 323. х = уг(С— — 2!п)у)); у = О. 324. Зту = С х 4хгвг. 325. уг(Се -!- 1) = 1; у = О. 326. у = 2х1иСу; у = О. 327. !п(хе+ дг) + асс!8(у/х) = С. 328. (х — 1)гу = х — !п)х) + С. 329. Сгхг+ 2у = 2С; 2хгу = 1. 330.
у(С~//х~ — Ц вЂ” 2) = 1; у = О. 331. уг(Се™-1-х+ 0,5) = 1; у = О. 2 2 332. у — 1 = С(х+1) е *(у +1); х = — 1. 333. увшх — — '+вг- = С. 334. х = Зрг+р ', у = 2рг — 1п ~р!+С. 335. Зуг = 2вшх+Свгп гх. 336. х(е" + ху) = С. 337. х(р — 1) = 1пСр — р, д = хрг + р; у = 0; у = х -!- 1. 338. (х -!- 1)у = хг -!- х 1пСх. 339. уг -!- „/х4 -1- д4 = С.
340. рт = Сг/р — 1, д = 1пр — Ст2р+ 1. 341. д = х18 1пСх; х = О. 342. угвг = Сев*+ (х/3) + (1/6); у = О. 343. х = Сеп"" — 2(14-в!ну). 344. Су = С е' + 1; у = х2е'~~. 345. у = (хг + С)ег'. 346. у = = Сх — ~/Сг в— 1 уг = (хгвг ~ 1)2. 347. т(дг — 1) = уг — Зд+ С; у = х1. 348. 2/у — х — 4/х = С; у = х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
