А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 26
Текст из файла (страница 26)
й=1 — 1.~'.-.— '~*---'.-=-б."-ш з У =2 гйрз.'~.й!241! й=1 1124. „= — ~ + ~ 4=1 Ответы 169 1125. у = 2 гт!г,г) + СгсовЗх + Сгв2пЗх. 1136. !<д<г/3. — с,' 1137. 1 -~ х <у<1 + х + ахс48 х. 1141. у = Сге ', « = гс'с е 1142. д = Сгес'", « = х -!- $ге~'"; у = О, « = х -!- С. 1143. у = с гс — с — « = ((-г: — гг*-. 1144. д = Сге " « = — '-ие " у = О. « = Сх.
1145. у = — с + г«(х+ Сг) — 4с(х+ Сг), « = — 4"(х+ + Сг) + с . 1146. у = Сг«, х = 2д — «+ Сг. 114Т. хг — уг = Сы х+ у = Сг«. 1148. х — у = Сг(у — «), (х+ у + «)(х — у) = Сг. 1149. х+ « = Сы (х+ у+ «)(у — Зх — «) = Сг. 1150. хг — «г = Сы д — и = Сг, (х -~- «) = Сз(и + д). 1151. х + « = Сы у + и = = Сг, (х — «) + (у — и) = Сз. 1152. тг — 2у = Сг, Оху — 2хг— — 3« = Сг. 1153.
у -!- « = Сы х — у« = Сг. 1154. х = Сгу, хд — « = Сгх. 1155. х = Сгд, ху — 2г/«г+ ! = Сг. 1156. у = Сг«, х — уг — «г = Сг«. 115Т. у -!- «г = Сы х(у — «) = Сг. 1158. х« = Сг, хд + « = Сг. 1159. х -!. « — д = Сы !п(х! + — „= Сг. 1160. х -~ у + «г = Сы д« = Сгт,. 1161. 1) да! 2) нет. 1162. 1) нет; 2) да.
1163. Да. 1164. Зависимы. 1167. « = /(х~ + дг). 1168. « = «ерегФ)гг = /(ху 4 дг). 1169. и = /(д/х, «/х). 1170. и = «(!*, г!.(-*~ г,="-~ — ) 1171. Г(х~ — уг, х — у+ «) = О. 1172. Е(е — д ', «+ --* —,— "-(т) = = О. 1173. Г(х — 4«, (х+ у) /х) = О. 1174. Г(х + р, «/х) = = О. 11Т5.Г ( †, ху — г*) = О. 1176. Г ( †,'„ + †',, †'„ 4- †,') = О. 1177. Р(х~+У~ У(«-!- г/«г 4 !)) О 1178.
т" (( — —, !и!хд~ г) = = О. 1179. !г(х + уг, атс«8(х/у) + («+ 1)е ') = О. 1180. Р(«~ — дг, хг+ (д — «) ) = О. 1181. !г ( — ', 2х — 4« — у ) = = О. 1182. Г(« — !п~х),2т(« — 1) — у )= О. 1183. Р"(18«+с«8х,2у— — «8~«) = О. 1184. Е((Д« — г), (х — у)(х+ у — 2«)) = О. 1185.
Г((х — у)(«+ 1),(х+ д)(« — !)) = О. 1186. Е(и(х — у), и(у — «), (х+ у+ «)/и ) = О. 1187. Г(х/у, ху — 2и, («+ и — ху)/х) = О. 1188. Е((х — у)/«, (2и+ х+ у)«, (и — х — у)/«) = О. 1189. « = = 2ху. 1190. « = ре* — ег 4-1. 1191. « = у е~'~ г. 1192. и = (!— — х+ у)(2 — 2т. + «). 1193. и = (ху — 2«) ( — * + а) . 1194. уг — тг— — !и ~/дг — хг = « — !п(у!. 1195. 2хг(у+ 1) = у + 4« — 1.
1196. (х+ + 2р) = 2х(«+ хд). 119Т. ~/«/у«вшх = в!пг/«/д. 1198. 2ху-!-1 = = х+ Зу+ « '. 1199. х — 2д = хг + уг + «. 1200. 2хг — уг — «г = = иг. 1201. ((у~« — 2) — хг+ «]уг« = 1. 1202. х + «г = 5(х« — у). 1203. З(х + у + «) = хг -!- дг -!- «г. 1204. х« = (х« — у — х + 170 Ответы + 2з) . 1205. (1+ дз) = Зуз(1+ уз — х) + уз. 1208. х+ у+ з = = О 1207 2(хз 4зз Здз)з = 9(у+ зз)з.
1208. (х — д)(Зх+ д -~- + 4з) = 4з. 1209. хе+ у = О. 1210. з = хд+ /(у/х), где /— произвольная дифференцируемая функция, для которой /(1) = О. 1211. Р'(х — уз, 2хз+ зз) = О. 1212. 2у + зз = з(хе + уз+ зз). 1213. Г(Ьх — ау, сх — аз) = О. 1214. хз+Здз-~-зз+Зхд+хз-~-Зуз = 1. 1215. Е((у — Ь)/(х — а), (з — с)/(х — а)) = О. 1216. Г(хз/у, з/у) = О. 1217.
з = Схуз. 1218. Решений нет. 1219. з = О. 1220. Решений нет. 1221. хзузз = С. 1222. з = уз — ху. 1223. хауз = С вЂ” хз; х = О. ОТВЕТЫ К ДОБАВЛЕНИЮ 9. у' = и, и' = о, о' = д е (2и — х); уо = 1, ио = 1, ео = 0; уг = 1 + х, иг = 1, ог = 1 + (х — 1) е ' . 10. Уо = 1, уг = 1 + 1 + + 1~, Уг = 1+ 1+ 21г + Г~ + 1~/2 + 1~/5.
11. а) уо = О, дг = ' Уг = 4 + *г — *з + го — зо, б) нвпрнмер, )х — 1~ < з. 12. Прн х<0 у = — х. при х>0 решение не существует. 13. б) При а< — 1 и а = О. 14. а) При афО, аф1 требуется аф — 1, хЗ, (к+ 1/2)п (х = = О, х1, х2, ...); при а = 1 требуется аф — 1, хЗ; при а = 0 уравнение не дифференциальное", б) — 3<1< — х/2- 15. Уо = дг = = уг = ...
— — 4, !пп уг = 4. 16. У(то) = уо, у'(ха) = Уг, У (хо) = З-гсо = дг, где хофман/2 (а = О, х1,х2, ... ), Уо>0, уг и рг любые. 17. Начальные условия уг(0) = 1, дг(0) = 1 и дг(0) = 1, Уг(0) = з/2 Рлв личны. 18. гзф1. 19. и>5. 20. и>З. 21. я>4. 22. п>4. 23. а~О, х2 бесконечно много решений, а = 2 и а = 0 одно решение, а = — 2 нет решений. 24.
афО„х1 бесконечно много решений, а = 0 и а = — 1 одно решение, а = 1 нет решений. 25. п > 3 бесконечно много решений, и = 2 одно решение, при и = 1 для о, = х1 одно решение, для аф х 1 нет решений. 26. п>3 бесконечно много решений, и = 2 одно решение, при п = 1 для а = 1 и а = — 2 одно решение, для аф1, аф — 2 нет решений. 27. При а< — 4 нет решений; при а> — 4 для я>З бесконечно много решений, для и = 2 одно решение; для и = 1 при а = — 3 одно решение, при аф — 3 нет репгений. 28. Па.
29. )х)<г/2. 30. а) у = 1/(!пз/Гхг — яг~+ С), у = 0; б) д = 1/!и (ъЯ~ — хг — 1), (х(<х. 32. Нет. 34. )1!<1; для х' = хг (хПВ'), х(0) = 1 имеем х = 1/(1 — 1) (1<1); для х' = — хг, х(0) = 1 имеем х = 1/(1+ !) (1> — 1). 40. б) (' ',) . 44. 6) я)д+ 1. 45.
га = 2. 46. Уг = х, уг = хг; И' = хг. 47. а) — 2<х<1; б) да; в) 1/4. 48. в) — 1<1<к/2; б) да; в) — 16(1+ 1) г; г) у = лтглхг(1) + + Ь~рг(!) — +~'!аз(!). 49. а = — 5. 50. 2. 51. 4. 52. (хг — 2х)див — 2(х — 1)д'+ 2У = О. 53. у = 2+ Зх — 2хг. 54. Па. д = Зуг — 2уг. 55. у = Сгх+Сгхз+ Сз(хг+ х 1п (х — 1!). 57. у = х — 2(е — х)/(е — 1) . 58.
у = х + Сг -!- Сг(х + х ). 59. у = 2 — хг. 60. (х -!- 4)у" — 2ху' -!- + 2у = 2. 61. у = -г- + --л- + х — 1. 62. у = Сге'+Сг(х + 1) + 172 Ответы в добавленаю + хе". 64. Т = Зх/4. 65. Нет. 66. р = х~. 67. а = 2. 68. х, = =( ! гг«г г г( = Сг+ Сгг т — /е +-соей 69. х = Сг сов 21+Сг вш21+ — 'о (вш21— — сов 21) — — ' сов 20 70.
у = (Сг + х) сов х + (Сг + х ) якх. 71. у = = Сг сов х+Сг вша+(х + 1~) ег' — 2х сов х. 72. у = (Сг+Сг1) е' Ч-Сз-'с +1~(а1+Ь) е' Ч-(сг+д) е'совИ(/1+8) е'в)п1-ЬЬ1~+И. 73. у = (Сг-~- + Сгх) е™+(ах 4-Ь)х ег +е' (ссовх-~-двшх). 74. у = Сг е(~+О -~- +Сге Оеб'-вахе('+г(*+Ье0 О . 75. у = (Сг-~-Сгх) ег*+ах~ег -~- +Ье "". 76. у = Сге( 0 +Сге( 0*+ е( + гж+Ьхе( 77. у = Сг ег™чСге(«з О -ьСзе~ «з 0 чахеп +Ье г'. 78. да.
79. Нет. 80. Нет. 81. ы~б, х2. 82. с~О, Ь любое или с = О, Ь = х1. 83. а) (о~О, хч'2; б) у = С т -з:~Ц-4 — — — С + —, вш35 84. х = ('з- *(* * ' «((:'« б) а нечетное. 86. а) а = 2; б) аф2, афО. 87. а = О, а = 4. 88. а = О, а = х1. 89. а<О. 90. а~ х 1, а~ х 2. 91. а = О, а = 4, Д = 2. 92. а = 1, Ь = О, с = — 4; а = О, (З = 2, 7 = О. 93.
х = (Сг+ Сг1) ем + +3, у = (Сг + Сг + Сгг) е '+1. 94. х = Сг ег(сов 31 — 2яп31) + +Сг е(2сов3$фяп31), у = Сг с (сов314яп31)~ Сгее(яп31 — сов 31). 95. х= С(+[Сг+Сз(1+1)]е ', у=(Сг+Сз(1 — 1))е ', з =Сг+ + (Сг + Сзг) е '. 96. Все КеЛ; = О и в жордановой форме все ( о« клетки размера 1. 97. п)7. 98. (,о, г о/. 100.
х = 2С+ ,(1д г„(. + 2япг, у = С+япй 101. х = — 3 — сов 20 у = — 3 — сов 21 — 2яп28 102. а) х = Сг сов1 + Сг вш1 — вш21 — 2 сов 21( у = Сг(сов1 -~- + вгггг) + Сг(вшг — сов г) — 2вш28 б) х = — яп21 — 2 сов 21, у = = — 2яп20 103. а = — 2. 104. При а = — 2Ь.
105. 'Гот же ответ, Ло о 114. а) 1; Лг г = сов гхг япй б) (' ',';(+"" е,,г",";,~ ) . 115. (ег — 1)(е— — е г)г. 116. Все ВеЛ,<О. 117. е '"'. 118. Нет, например А = = (г ' "г) . 119. А = О. жорданова форма может содержать только клетки вида (О) и (о,',) . 120. Да. 121. Да. 122. Да. 124. Все ~из~<1. 125. е~"е~7~~ . 126. а~ — 1/2. 131.
Все КеЛг<0 и длн тех Лб у которых НеЛг = О, клетки в жордановой форме имеют размер 1. 133. См. ответ задачи 131. 134. а) г)е1А = О; б) см. ответ задачи 131. 135. Да. 136. Да. 137. Нет. 138. При и = 1 да, при п)2 нет, см. рисунок к задаче 889. 139. т = О неустойчиво. 140. х = О асимптотически устойчиво. 141. х = О асимптотически устойчиво, х = хЬ (Ь = х1( х2( ...) неустойчивы. 142. х = О асимптоти- Ответы к добавлению 173 чески устойчиво. 143. х = 0 устойчиво.
144. х = 0 устойчиво. 145. х = р = П устойчиво. 146. (О. 0) устойчиво, (2/3, О) неустойчиво. 147. (а, а) устойчиво, (а+ 1, а] неустойчиво (аЕЛ любое). 148. а) а>0; б) а = 0; в) а<0. 149. а) а < — 1; б) а = — 1; в) а > — 1. 150. а) а<0; б) а = 0; в) а>0. 151. а) а>0; б) а = О., в) а<0. 152. а) а<0; б) о. = 0; в) а>0. 153. а) а>2; б) а = 2; в) а<2. 154. а) а>О; б) а = 0; в) а<0. 155. а) 0<а<1; б) а = 0; в) а<0 и а31.
156. а) а = — 1/2; х = с, у = 2с — 1/2; б) да. 157. Да. 158. а) а = О, а = 4; б) для а = 4 устойчивы, для а = 0 нет. 159. а) а = О, а = х1; б) устойчивы. 160. а) а = О, а = 1; б) для а = 1 устойчивы, для а = 0 нет. 161. а] ад<Ьсг б) ад>Ьс, (а — д) 64Ьс>0. 162. с>0, (а— — И) +4Ьс<0. 163. (О, 0) узел. 164.
(О, 0) фокус. 165. (3„1) вырожденный узел. 166. а<0. 167. а) нет; б) нет. 168. а) фокус„б) )а — Ь)<2 169. а) нет; б) узел; в) а = — 1. 170. а) всегда неустойчиво; б) ]а]>1 седло, ~а~<1 узел. 171. а) а< — 1 и — 1<а<0 асимптотически устойчиво, а<0 устойчиво: б) а< — 1 и — 1<а< — 1/2 узел (при а = — 1/2 вырожденный); — 1/2<а<0 и а>0 фокус; а = 0 центр.
172. а) а< — 1 асимптотически устойчиво, а< — 1 устойчиво; б) — 1<а<0 седло, а< — 1 и а>6 узел, 0<а<3 фокус. 1ТЗ. а) а < — 1 и а > 3 асимптотически устойчиво, а < — 1 и а > 3 устойчиво; б) — 1 < а < 3 седло, 1 — /6<а< — 1 и 3<а<1 + ъ/Ь узел, а<1 — ъгб и а>1 + + ъ'5 фокус. 174.
ху = С(х + у ) . 175. Все решении определены при — со<4<со. 176. Нет. 1ТТ. а) (О, 0), (х1. 0); б) а<0; в) нет. 178. а) д = х2хъ~х — 1; в] х = сов 2 й 179. б) (О, 0) устойчиво, (х1/ъг2, О) неустойчивы; в) Ьг,з = х2, Т ггъ/2; г) (О, О) устойчивый фокус (0<а<ьг8), устойчивый узел (а>ъг8), (х1/ъг2, О) седла. 180. 5) (О, 0) неустойчиво, (х1, 0) устойчивы; в) Ьг,з = хъ/2, Т гг; г) (О, 0) седло, (х1, 0) устойчивые фокусы (0<а<4), устойчивые узлы (а>4).
181. а) (О, 0) центр, (1, 0) седло; б) траектория у = — (х— — И %ГО7з, =фс 24' — фасо а 2 )~ ° ~ О 22 г) — 1/2<в<1, Зуз<2хз — Зхз + 1; д) нет. 182. б) (х1, 0) неустойчивы; в) нет. 183. 6) (О, 0) неустойчиво, (хгН 0) асимптотически устойчивы; в) нет. 184. а) (О, 0) и все точки окружности хз-~-у = 1; б) в (О, 0) х = у, у = 0; в (1, 0) и = О, в = 2и; в (1/ъ'2, 1/ъг2) и = — и — в, в = (и+ в)/2; в) неустойчиво, неустойчиво, устойчиво: г) устойчиво, неустойчиво, устойчиво; е) нет: ж) х(бв) = хв, у(ге) = = уо, где го, хв, дв любые такие, что хо + 2уа<1 или хо+ 2д„>2. 4 2 4 2 186.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
