А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 21
Текст из файла (страница 21)
166. При каких а особан точка системы х = а(х + у), у = азр явлнется седлом? 167. а) Может ли траектория системы 146 Г~ 25. Фазовап плоскость х — х+ оу, 170. а = -'. у=их+у; т = ах+у, 171.. а = 1. у = ау — ь2а+ 1)х; х= 2ах+у, 172. а = 1. у = ау — 2ах; х = х + (2 — а)у. 173. а = 4. у = ах — Зу; 2. Траектории нелинейных систем 174. Найти и нарисовать траектории системы 3 8 2 . 8 2 3 175. Имеет ли уравнение т+ хь = О ненулевые решения, определенные при -оо < 1 < оо? 1ТО. Имеются лн у уравнения х = 4х — 4хз неограниченные решения? 17Т. Перейти от уравнения х + их + х — хз = 0 к автономной системе двух уравнений. Для этой системы а) найти особые точки; б) указать значения оо при которых все эти точки неустойчивы; в) существует ли значение а, при котором ровно две особые точки устойчивы? 178.
Для уравнения х+ 4х — бх = 0 а) найти уравнение у = ~р(х) траектории, проходящей через точку (1,0); б) нарисовать эту траекторию, учитывая значение предела 1пп — "; к-ьсО' ' в) найти решение данного уравнения с начальными условиями х(0) = 1, х(0) = О. 179. Для уравнения х = — и'(х), где и(х) = — х" + х2 — 1, а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 147 З 25. Фаэовая пяоопоспэь б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) найти наклоны сепаратрис и периоды малых колебаний; г) добавить +ах в левую часть уравнения и для а > 0 исследовать типы особых точек полученного уравнения. 180.
Для уравнении х. = 2х — 2хз провести такое же исследование. как в предыдущей задаче. 181. Длн уравнения х+ х = хг а) найти и исследовать особые точки на фазовой плоскости; б) найти решение х(1), убывающее и стремящееся к 1 при 1 — э +со, а также его траекторию на фазовой плоскости; в) выяснить, при каких а решение с начальными условиями т(О) = О, х(0) = о, периодическое; г) указать на фазовой плоскости область, заполненную замкнутыми траекториями; д) устойчиво ли решение с начальными условиями (О) — 0 х(0) — „3.
В задачах 182 и 183 а) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; б) найти особые точки и исследовать их на устойчивость; в) выяснить, определены ли все решения при — оо < 1 < ос. х = 1 — хг, 182. р=р х=х — х з 183. р = — р 184*. Для системы х=у — х р — й, д=хл+х р — х а) найти все особые точки; б) линеаризовать систему в каждой из точек (О, 0), (1, 0), (,Гг' ог) ' в) исследовать устойчивость этих линеарпзованных систем; г) исследовать на устойчивость те же три особые точки длн исходной системы; д) дать чертеж траекторий на фазовой плоскости; 148 З26. Дифференцирование решения ло лара»»етру е) выяснить, имеет ли данная система неограниченные решения; ж) описать множество точек, через которые проходят периодические решения.
8 26. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РБШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И ПО НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ 1. Дифференцирование по параметру 185. Сформулировать теорему о дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений по параметру. Написать систему дифференциальных уравнений в вариацинх. В задачах 186 — 194 найти производную от решения данного дифференциального уравнения (или системы) по параметру р при»з = О. 180.
у' = дх + Й (х > О), у(1) = 1 — '2!и 187. у' = у- + р се " (х > О), у(1) = 1 + 2»». 188. у' = у — х+ рх, ез", у(1) = 2 — р. 189. у' = рх+япу, у(0) = 2д. 190. й = х яп х+ яп(хз), х(0) = р,, х(0) = и. 191. х = х+ яп(хз), х(0) = р», х(0) = д~. 192. х+х = 2р»яви+ р»хз, х(0) = О, х(0) = О. 193. х — 2х = ртх, х(0) = 4, х(0) = у»з Ч- Зр,. 194. т = у у = х+ Зруз, х(0) = 2 — 4~», у(0) = О. 2. Дифференцирование по начальным условиям 195.
Сформулировать теорему о дифференцируемости решении системы дифференциальных уравнений по началь- '2 27. Уравнении с частныли нроизеодными 149 ным условиям. Написать систему уравнений в вариациях и начальные условии для нее. 196. Доказать, что в случае у Е тс' производная по Уо от Решении задачи У' = 1(х, У), У(хо) = Уо всегда положительна (предполагается 1 Е С ). В задачах 197 — 199 найти производную от решения по Уо пРн Уо = О.
Указание. При уо = 0 каждан из этих задач имеет нулевое решение. 197. у' = 2ху+ з(ну, у(1) = уо. 198. у' = уззшх+усозх, у(0) = уо. (*=у-х+х', 199 . х(0) = О, у(О) = уо. ~ у = д — 2х+хд, 200*, х+шпх = О, х(0) = а, х(0) = ~3. Найти „, при сч = ~3 = О. 3. Разложение решения по степеням параметра В задачах 201 н 202 найти разложение решения по степеням параметра р до дз вклнзчительно. 201.
У' = бдх+ ~ (х > 1), у(1) = 1 — рь 202 т = 2* 2з.з т(0) = 1 х(О) д 9 27. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Теоретические вопросы 203. Написать общий вид квазилинейного уравнения с частными производными первого порндка. Что называется характеристикой этого уравненинд 150 г27. Уравнении е частными нроиэводниии 204. Сформулировать и доказать утверждение о связи решения уравнении с его характеристиками. 205. Как можно использовать первые интегралы некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений для получения решения данного уравнения с частными производными7 206. Сформулировать постановку задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными и теорему существования ее решения.
207. Сформулировать и доказать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка. 2. Задачи 208. Найти общее решение уравнения Решить следующие задачи Коши (209 — 215). 209. худ+ хгф = уг, г = 1+ уз при х = 1. 210. ф + (г — хг) в' = 2х, г = хг + х при у = 2хг. 211.
д — '+ хеба = уг, г = — дг при х = О. 212. хеба +угф = хз+ у. г = 4уз при х = Зуг. 213. угу -Ь хд г» = хгг. г = е" эг пРи х = 2У. 214. хф+ ~ф = + 2хг, = при у = — — хг. 215. х а' + у л' = х + у + г. г = х + у при у = т. + 1. Решить следующие задачи Коши (216 — 218) в тех случаях, когда решение существует. 216. ф + 2ф = 5, г = О при у = йх. 217.Й+Зо'=2, а)гр уг прих=1; б) г=2х приу=Зх. г = 2ау при х = (аг + а — 2)д. З 27. Уравнения е чаетньеии лроизводнвеии 151 219.
Имеют ли решении в окрестности точки (1, 0) следующие задачи Коши: а) у л' — т л' — — О, з = 2у при и = 1: б) уф — хф = О, з = 2у при х = 1+ у? 220*. Имеют ли решения в окрестности точки (1, 1) следующие задачи Коши для уравнения (х — оху ) — + (ох у — у ) — = О з,здз з здз д» ду а) я=вшу при хе+уз=2: б) з = вшу при х = 1? 221.
Какому условию должна удовлетворять функция «р(х) Е С~ длн того, чтобы задача Коши дз дз у — — х — =О, з=ео(х) при у=О, — оо<х<со, дх ду имела решение на всей плоскости х, у? ОТВЕТЫ 15. У(х, у) = 0; У.,'<О (хпах), Д)0 (пип). 16. а) у = х + + 2х; б) т = 2сбу; в) ху = — (1 — хг)г;у = 0; г) Д 4- / /р — — О. 17. у = ег" 1в. 18. у' = 39~1~.
19. хд' = Зу. 20. уг + у'г = 1. 21. тгу' — ху = ду'. 22. 2хуу' — у = 2хв. 23. у'в = 4у(ху' — 2д). 24. у' = сов " . 25. х(х — 2)ун — (хг — 2)д' -Г 2(х, — 1)д = 28. хвдл' — Зхв да+ бху' — бу = О. 29. дн'у' = Зунг. 30. (у — 2х)г(у™-!- + 1) = (2у'+ 1)г. 31. хд'г = у(2у' — 1).
32. (хд' — у) = 2ху(у'г+ + 1). 33. лгун — 2ху' + 2у = О. 34. (унд + у'г + 1) = (у'г + 1)в. 35. уу' -!- лв' = О, дг -!- 2хгг' = хгг'г 36. т, -!- уг = гг — 2г(у— — тд'); х -1- уу' = гг' — г'(у — ху'). 37. 4уу' = — х. 38. у' = — 2у. 39. (хг + у)у' = — х,. 40. (х -!- у)у' = у — х; (х — у)д' = х -!- у. 41. (х '+ ут/3)у' = у х хт/3. 42. (Зх '+ ут/З)у' = у х Зхт/3. 43. (2х+ +ух/3)у = р*2хт/3. 44. г'вгпВ = гг. 45. г' = -'гссбВ.
46. г' = = гссб(В ~ 45'). 47. (х + 2д)у' = — Зх — у! (Зх, + 2д)у' = у — х, 48. у'[2ху х (х~ — д~)] = у — тг х 2ху. 49. х(1 + д'г) = — 2уу'. 50. уу' + ху'г = — 1. 51. у = С(х -!- Це; х = — 1. 52. !п!х) = С -!- + т/дг 4 1: х = О. 53.
у(!п )х~ — Ц 4-С) = 1, у = 0; у(!п(1 — хг) Г1) = 1. 54. у = 2 + С сов х; у = 2 — Зевах. 55. р = (х — С)в; у = 0; у = = (х — 2)в; у = О. 56. В(1 — Сх) = 1; д = 0; у(1 + х) = 1. 57. уг— — 2 = Сехс . 58. (Се — 1)у = 2: у = О. 59. е " = 1 + Се'. 60. г = — !8(С вЂ” 10 ). 61. хг -~1~ — 21 = С. 62. стб ":-*- = х -!- С; д— — х = 2кй, й = О, х1, ... 63. 2х+ д — 1 = Се .
64. х+ 2у+ 2 = = с ', . 2 ° = О. в . ттн:т — англ Гн:т+ В = = х + С. 66. у = асс!8(! — г) + 2к. 67. д = 2. 68. а) 2дг + хг = С; б) у Г 2х = С; в) у = Се* г" . 71. (С ~ х)у = 2ов. 72. Ь!пу— — У = хх+ С, 0<У<Ь.
73. и!п(а х т/аг — Уг) ~ т/ов — Уг = х + + С. Т4. у = Схг. 75. у = Схг; дг = Сх. 76. г(1 х сов!с) = С. 77. Количество ааота (в литрах) х(С) = 20 — 4е О~~~; х(1) = 19,8 при 1 = 200!п20 — 600 сек = 10 мин. 78. Количество соли х(1) = = 10е Ого; х(60) = 10е в 0,5 кг. 79. Объем СОв (в мв) х(1) = = 008 + 022е в ив; х(1) = 0,1 при 1 = 10 !п 11-24 мин. 80. Темпе- Ответы 153 рагу ра тела х(1) = 20+ 80. 2 ~/ш; х(!) = 25 при! = 40 мин. 81. Разность температур воды и предмета х(1) = 55 (3/5)'; х(1) = 1 прн ! = !п55/(1пб — 1пЗ) — — 8мин. 82. Температура металла х(1) = = а+ ь о (1 — ~ 'ь ); х(60) = 5 — ь ь (1 — е оо"). 83. СкоРость (в м/сек) о(!) = (2/3)0/М '; о(!) = 0,01 при ! = 4 (, д о + 1) -50 сек; путь в = о, -15 м. 84. Оставшееся количество вещества х(1) = = з(0)2 О~~; х(1) = 0,01х(0) при Е = 60/!82 — 200 дней.
85. Оставшеесн количество радин х(!) = х(0) (1 — 0 00044)', х(!) = ох(0) при 1 = !п0,5/1п(1 — 0,00044) — 1600 лет. 86. Количество урана х(!) = = х(0)е ', о = Ьх2/(4,5 10 ); х(1) = 100, х(0) = 100 -!- 14 ф = = 116,2; ! = 4,5 10 . л-~ — '-оз- 970. 10 лет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
