Главная » Просмотр файлов » А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU)

А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 18

Файл №1117998 А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU)) 18 страницаА.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998) страница 182019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

е. пересекаютсн или касаютсн друг друга по этой линии). Доказать, что эта линия является интегральной кривой данной системы. 220. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Чтобы решить уравнение в частных производных дг дг ад +...-ьа — Ь, хд ~х бхд с1х„сЬ ад а Ь (2) и найти и независимых первых интегралов этой системы дрд(хд, .... то. х) = Сд, х (хд, ..., х , г) = С . (2) где ид, ..., ак, Ь зависят от хд, ..., хк, г, надо написать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4) Г(р„..., д.) =0, где à — произвольнан дифференцнруемая функция. В частности, если г входит только в один из первых интегралов (3), например в последний, то общее решение можно написать и так: У (х» . ~ ха~ г) = 7(1о» 1'р -г)~ (5) где 7 — - произвольная дифференцируемая функция.

Разрешив равенство (5) относительно г, получим общее решение уравнении (1) в явном виде. 2. Чтобы найти поверхность г = г(х, д), удовлетворяющую дифференциальному уравнению дг дг аг(х, у, г) — + аг(х, у, г) — = 6(х, у, г) дх ' ' ду (6) и праходншую через данную линию х = и(1), у = а(1), г = ш(1), (7) нада найти два независимых первых интеграла системы бх 61г Ь а~ аг 6 (8) В зги первые интегралы рг(х, у, г) = См уг(х, у, г) = Сг (9) нада подставить вместо х, у, г их выражения (7) через параметр й Получатсн два уравнения вида Фг(1) = Сг, Фг(1) = Сг.

(10) Исключив из них 1, получим соотношение 1г(Сг, Сг) = О. Подставив сюда вместо Сг и Сг левые чисти первых интегралов (9), получим искомое решение. В там случае, когда в обв уравнения (10) не входит й тогда линия (7) явлнется интегральной кривой системы (8), т. е. характеристикой уравнения (6),и задача Коши имеет бесконечно много решений (см. [1], гл. УП!, 3 3, п. 4). Пример. Найти общее решение уравнении дг дг хг — + уг — = — ху, 'д ду (и) 220. Урввкекия в частных производных первого порядка 123 Общее решение уравнения (1) в неявном виде звписынвется твк: ()20.

Уравнения в частных производных первого нарядна 125 у — — х — = О. а» д» д» др 1167. (и+ 2у)ф — уф = О. 1168. х — + у — + г — = О. ди ди ди д» др д» 1169. (х г)а" +(У г)д" +2гЖ=О. 1170. у — +х — = х — у. д», д» ди др 1171. » д»+ гд» Е» д» др 1172.

1173. 2хд» +(у х)д' хг =О, де др ху — — х — = ух. д» гд» дя др 1174. 1173 хд,'+2уд' = х'зу+х. 1176. (хг+ уз)д'+2хуф+хг = О. 1177 2,„зд» уда рг г+1 д» др 11Т8. д» д»,» д» др )гд» + д» 1180. 1181 худ» + (х 2г) д» В»+ д» д д» др»' 1183. в1п г:д' +18гдр»» совр х. 1184. (х+ г)д + (У+ в)д = и+у. 1185. (хг + у) д,,' + (х + у4 д*„— — 1 — х . 1186. (у + г) д* + (г + х) д + (т + У) д 3, О решении системы двух уравнений в частных производных первого порядка и о решении уравнения Пфаффа см. (1), гл.

1Х. г 1 и з 2, пп. 1, 2, 3. Для каждого из уравнений 1167 — 1188 найти общее рещение. 126 З20. Уравнен я в частных производных первого порядка, 118т. д", +дд +~ + )ф = .у. 1188. (н — х)ф+ (~ — у)д" — ~д" = х+ у. Найти решения уравнений 1189 — 1193. удовлетворяющие указанным условинм. з=йх приу=1. 1190. — '+ (2е* — у)дд' = О: з = у при х = О. 1193. хд1+уда +худа = О; и =хе+уз при я = О. В задачах 1194 — 1210 найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию.

1191 зд»+, д» х,, О з 1195. ха,' — 2дд' = хз + уз; у = 1, 1196. х д* + у д' = е — ху; х = 2, з = уз + 1. 1197. Сйхд + Уд = з; У = за 3 =.'с . 1198. хдд' — дф = гз(х — Зу); х = 1, де+ 1 = О. 1199. хд'+уд' = з — хз — уз; у = — 2, з = х — хз. 1200. уз~ +хгд» = ху; х = а, уз+ ге = аз. 1201. зф — худ' = 2хг; х+ у = 2, дз = 1. 1202. е$ + (з~ — хз) д' +х = 0; д = хз, г = 2х. 1203. ~д — г) д' + (з — х) д' = х — у; 1204.

хф + (хе+ у)ф = з; х+ у = 2т, хз = 1. 1205. узф+узф+гз = 0; х — у = О, х — уз = 1. 1206. хф + зф = у; у = 2з, х+ 2у = з. 1191. 2~/хЯ вЂ” уд' = О; 1192 ди + да ~ 2дн О, де до д» з = уз при т = 1. и=уз прих=1. З 20. Уравнении в частных производных первого парадна 127 1207. (у + 2хз) а" — 2тзг з' = хз; х = з, у = хз. 1208. (х — з) а'+(У вЂ” з) за' = 2з; х — У = 2, з+2х = 1. ае ан— 1200 хуз аз + хзгза» узз. х гз чу гз 1210*.

ха' + у — ' = 2ху; у = х, з = хз. 1211. Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих под прямым углом поверхности семейства гз = Сху. 1212. Найти поверхность, проходящую через прямую у=х. г=1 и ортогональную к поверхностнм ,з+у +, О, х+ у+ г = О. х + ху -Ь уз = 1. 1215. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют все конические поверхности с вершиной в данной точке (а, Ь, с), и решить его.

1210. Найти поверхности, у которых любая касательная плоскость пересекает ось Ох в точке с абсциссой, вдвое меньшей абсциссы точки касании. В задачах 1217 †12 решить данные системы уравне- ний дг дт х дз 2г ду У дз =У дх дз — = хз. дд 1217. 1218. 1213. Написать уравнение в частных производных, которому удовлетворяют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными вектору (а, 6, с). Найти общее решение зтого уравнения. 1214. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору (1, — 1, 1), и направлнюшей 128 З20.

Уравнения в частных производных нервого норяона дз 2 — = 2ух — г дт, дг — = хз. ду 1219. В задачах 1220 — 1223 найти поверхности, удовлетворяющие данным уравнениям Пфаффа. 1220. (т — у) с1т + г с1у — т, с4х = О. 1221. Зух«1т. + 2тг ду+ тус1г = О. 1222. (х + ту) с1т — (з + уз) с4у + у бе = О. 1223. (2уг + Зх) с)т. + тз Иу + ху с)х = О. ДОБАВЛЕНИЕ Задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах Работа 15.05.94 г. состояла из задач 17, 63, 81, 98, 170, 198. Работа 4.06.94 г.

состояла нз задач 28, 51, 69, 122, 127, 148, 190. Работа 18.05.95 г. состояла из задач 22, 56. ТО, 129. 135. 194. 216. На выполнение работы студентам давалось 3 часа. Для полу- чения оценки «отлично» требовалось решить 5--6 задач. В Я 21 — 27 содержатся задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на 2-м курсе механико- математического факультета МГУ в 1992- — 1996 годах, а также небольшое число задач, дававшихся для подготовки к экзаменам. Исключены самые трудные задачи. Сокращено число задач на решение уравнений стандартными методами (подобные задачи содержатся в предыдущих параграфах этого сборника).

Ниже приводятся для примера три экзаменационные письменные работы (указаны номера задач из Я 21 — 27). З 21. Существование и единственность дешевая 129 9 21. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 1. Теоретические вопросы Вопросы 1 — 5 рассчитаны на лиц, изучавших доказательство существования решения дифференциального уравнения, основанное на переходе к интегральному уравнению и построении последовательных приближений [Ц, [2).

1. Обосновать связь условия Пипшица и дифференцируемости. 2. Изложить общий план доказательства теоремы существовании и единственности. 3. Сформулировать и доказать утверждение о переходе от дифференциального уравнения к интегральному. 4. Доказать, что последовательные приблилсения сходятся к непрерывной функции. 5. Доказать, что предел последовательных приближений есть решение интегрального уравнения. 6. Сформулировать и доказать утверждение о единственности решения.

Т. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения порядка и. 8. Сформулировать и доказать лемму об интегральном неравенстве. 2, Существование решения и последовательные приближения 9. Перейти от уравнения е* ув'+ шр = 299' к системе нормального вида и при начальных условиях у(0) = 1, у'(0) = 1, уи(0) = 0 построить два последовательные приближения к решению. 10.

Построить три последовательные приближения ро, йы уз к решению задачи р' = 21+ рз, у(0) = 1. 130 121. буиьествование и единственность дешевая 11. а) Задачу у' = у + ж, у11) = 0 свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения уоь уы уз б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближении. и доказать их равномерную сходимость.

12. Существует ли решение задачи ( 1приу<0 у = Ду), у(0) = О, где 11у) = Обосновать ответ. 13. а) Свести задачу 1у~ ж)е к задаче для системы нормального вида. б) При каких а существование и единственность решения гарантируется теоремой? 14. а) Указать все значения параметров аь а, А, при которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи 3+1 (а1+ а)у'о+ 2ауи — (а — 1)1~у131 = 1п 3 — 1 у(а) = 1, у'(сь) = А, ун1а) = а. б) Е1а какой максимальный интервал можно продолжить решение этой задачи в случае а = — 1, а = — 2, А = — 3? 15. Задачу зу' = ел- — ~, у( — 2) = 4 свести к интегральех хн' ному уравнению, построить последовательные приближения и найти их предел.

16. При каких начальных условиях существование единственного решения уравнения ун'я1пз+ж1пу+$3а = 1 гарантируется теоремой? З21. Сущеетвввание и единетвеннветь решения 131 3. Применение теоремы единственности 1Т. Для уравнения уи = ~и1 — 1 известны два решения: хз у1 = 1+ вйп з, уз = ( й + 1), проходящие через точку (О, 1). Как зто согласуетсн с теоремой единственности? В задачах 18 — 22 требуется выяснить, при каких и наличие указанных решений у написанных уравнений не противоречит теореме единственности.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6366
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее