А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В том случае, когда для системы (3) особая точка — центр, для системы (9) она может быть фокусом илн центром. Для наличия центра достаточно (но не необходимо), чтобы траектории системы (9) имели ось симметрии, проходншую через исследуемую точку. Ось симметрии, очевидно, существует, если уравнение вида (2), к которому можно привести систему (9), не меннется ат замены х на — х (или у на — у). Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (9) было асимптотически устойчиво при 1 -т +са или при 1 -т -со. Исследование на устойчивость можно провести с помощью функции Ляпунова. Это сделать нелегко, так как в рассматриваемом случае функцию Ляпунова часто приходится брать в виде суммы членов второй, третьей и четвертой степеней относительно х, у. В задачах 961 †9 исследовать особые точки написанных ниже уравнений и систем.
Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости (х, у). 2х+У Зх+4У' 962. у' = 2У вЂ” Зх ' 963. '= У ° у 964 У» х+ 49 2х+ Зу' 965. у' = Зх — 4у' 966. у' = х — у у — 2х 2у — Зх' 966. у' = х+у где хм у» — новые координаты (после переноса)„и, Ь, с, »1 — по- стоянные. Предположим. что длн некоторого с ) О 103 г16. Осооые точки т 1 (1 + 2) 991. у 3 .~/аг + 89 'Г* — у) ~- г — 2, 99г. р=еи — е. Для уравнений 993 — 997 дать чертеж расположения интегральных кривых в окрестности начала координат.
Указание. В задачах 993 — 997 особые точки не принадлежат к рассмотренным в начале г 16 типам. Для их исследования можно построить несколько нзоклнн. Затем надо выяснить, с каких сторон интегральные кривые входят в особую точку. 994*. 2 е +р 993*. р' = х+ р 995*. у' = 9 -Ь Х 990*. р' = у — а г' 2 ' 9 = г 9-Ь е 993. Доказать. что если особая точка уравнения (аж + 69) с(г: + (оьт + яр) Ду = 0 явлнетсн центром,то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Обратное неверно. 999*. Доказать, что если уравнение предыдущей задачи не явлнетсн уравнением в полных дифференциалах, но имеет интегрирующий множитель, непрерывный в окрестности начала координат, то особан точка седло (если ая ф Ьги). 1000". Пусть в уравнении аж+ 69+ р(к, у) Р * + Ф + 9(а, р) функции р и д определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (0,0), а в самой точке 104 317.
Фагоеал плоскость (О, 0) р = р', = р'„= и = д' = д„' = О. Доказать„что если урав- нение (1) не меняется от замены у на — у, а корни характерис- тического уравнения с — )~ =0 а Ь вЂ” А чисто мнимы, то особая точка (О. 0) — центр. О 17.
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. О понятиях фазового пространства, фазовой плоскости, автономной системы, траектории см. [1], гл. Н11, 3 1, и. 4, или [3], 3 15, или [4], гл. 3, 3 1. 2. Чтобы построить траектории системы х=А(х,у), у=Уз(х,у) бу Их, у) 1т А(х, у)' (2) Траектории системы (1) будут интегральными кривыми уравнения (2). Их можно построить или решив уравнение (2) (часто оно решается проще, чем система (1)), или с помощью метода изоклин ([( 1), прн этом необходимо исследовать особые точки системы (методами 3 16).
Для построения траекторий уравнения х = 1(х, х) на фазовой плоскости надо от этого уравнения перейти к системе х = у, у = = 1(х, у),которан исследуется так же,как система (1). 3. Предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при 1 -+ +ос или при 1 — г — оо. Предельный цикл называется устойчивым, если траектории приближаются к нему только при 1 — г фсо, неустойчивым — если только при 1 — г — оо, полуустойчивым — если с одной стороны цикле траектории приближаются к нему при 1 — г +со, а с другой стороны при 1 -+ — оо.
О предельных циклах см. [3], 3 28, [2], 3 23. на фазовой плоскости х, у, можно или исследовать непосредственно эту систему, или, разделив одно уравнение на другое, свести ее к уравнению первого порндка 105 з 17. Фаэооал плооаоотаь 1001. х+ 4т, = О. 1002. х — х = О. 1003. х — х+ хз = О. 1004. х — Зхз = О. 1005 х+2хз О 1006 У+2хз 2х= О 1007.
х+ е" — 1 = О. 1008. У вЂ” 2о + х + 1 = О. 1009. х — з1пх = О. 1010. х+ 2созх — 1 = О. 1011. У вЂ” 4х+ Зх = О. 1012. У+ 2х+ 5х = О. 1013. х. — х — 2х = О. 1014. х+ 2х+ хз + х = О. 1015. х+ х+ 2х — хз = О. 1016. х,+ ха — ха+ 1 = О. 1017. х+ 2ь — хз = О. 1018. х, + ~/хз + тз — 1 = О. 1019.
х+ЗУ вЂ” 41п зы =О. 1020. х+ х+ вгс1ц(хз — 2х) = О. В задачах 1021 — 1034 начертить на фазовой плоскости траектории данных систем и исследовать особые точки. х=2х+у" — 1, 1021. у=Ох — у +1. х = у — 4х,, 1022. у=4у-8. х = 4 — 4х — 2у. 1023. у =ху. 1025. х = 2+у — хз, у = 2х(х — у).
1027. х = 1 — хз — у, у = 2ху. х = 2(х — 1)(у— 1028. у=у х=1 — тз — у . 1024. у=2х. х = ху — 4, 1026. у=( -4)(у- ) 2), В задачах 1001 — 1020 для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости. По чертежу сделать выводы о поведении решений при 1 — > +со. З 17. Разовая плоскость э: = (х+у)з — 1, 1029. 3, +1 т, = (2х — у) — 9 1030. у = 9 — (х — 2у)з.
х = (2х — у)з — 9, 1031. у = (х — 2у) — 9. х,=х +у — бх.— 8у, 1032. ~~ ~ ~ 2 ~ г ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ э у = »Д2у — х+ 5) 1033. у = (х — у)(х — у + 2). ~~ ~ ~ ~ ~ э х=х +уз — 5, 1034. у = (»э — 1)(х + Зу — 5). 1035. Вывести уравнение движения маятника без сопротивления. Для случая, когда все постоянные, входящие в уравнение, равны 1, начертить траектории на фазовой плоскости. Дать физическое истолкование траекториям различных типов.
1036. Вывести уравнение движения маятника с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. Дать чертеж траекторий на фазовой плоскости. У н а з а н н е. Воспользоваться чертежом, построенным длн задачи 1035. 1037. Вывести уравнение движения маятника, на который действует постоянная сила, равная половине веса маятника и направленнея всегда в одну сторону по касательной к дуге окружности, по которой движется маятник.
Приняв постоннные 1 и д' равными 1, нарисовать траектории полученного уравнения на фазовой плоскости. Какие движения маятника изображая>тся траекториями различных типов? 1038. Груз массы ьч прикреплен к пружине. При отклонении груза на расстонние х, пружина действует на него с силой кх, направленной к положению равновесия. Сила трения равна 7 = сопз1 и направлена в сторону, противоположную скорости 107 ГС 17. сразовап плоскость Указание.
При малых колебаниях считать вгаз з. Изменение длины маятника происходит мгновенно (скачком), при этом угол отклонения маятника и его момент количества движения относительно оси не испытывают скачков. Начертить на фазовой плоскости траектории систем 1040 — 1046, записанных в полярных координатах, и исследовать, имеются ли предельные циклы. 1040. с'т = т(1 — тз), с11 1041. —" = т(т — 1Нт — 2), ~ = 1. с11 сМ 1042.
— т = с(1 — с)з. сЫ вЂ” = 1. сМ 1043. — = юптс с1т сЫ 1044. —" = тцт — 1) — (т — 2! — 2т+ 3), ~ = 1. с1ьс с11 1045. — = та1п-. бт .1 с1с 1046. — = т(1 — с) з1п с1т 1 Ф 1 — с' 1047*. При каких условиях система груза. При 1 = 0 груз находится на расстоннии сс от положения равновесия н имеет нулевую скорость. Вывести уравнение движения груза. Приняв т = 2, 1с = 2, 1 = 1, 6 = 5, изобразить движение груза на фазовой плоскости. 1039.
Изобразить на фазовой плоскости малые колебания мантника переменной длины, считая, что при движении маятника вверх его длина равна 1, а при движении вниз равна Л > 1. Во сколько раз увеличитсн амплитуда за одно полное колебание? (Пример: раскачка качелей.) 108 З 18.
Зависимость решения от начальных условий где функция 1(г) непрерывна, имеет предельный цикл? При каких условиях этот цикл устойчив? Неустойчив? Полуустойчив? 1048*. При каких значениях постоннной а система с[~о с[г 2 — = 1, — = (г — 1)(о + з[п ~р) сМ ' сМ имеет устойчивый предельный цикл? Неустойчивый? Для уравнений 1049 — 1052 с помощью изоклин построить траектории на фазовой плоскости и исследовать особые точки. По чертежу сделать заключение о поведении решений при 1 -+ +ос и о возможности существовании замкнутых траекторий. 1049 -.+ .3 х+ .
О 1050. х+ (яз — 1)об+ го = О. 1051. т, +х — 2вгс18х+ з: = О. 1052. У+ 2* — х+х = О. 1053*. Длн уравнения х + 2ах — Ьзкпх + х = О (О < а < 1, Ь > 0) построить траектории на фазовой плоскости и найти точки, в которых предельный цикл пересекает ось О:с. Указание. Найти зависимость между абсциссами двух последовательных пересечений траектории с осью Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
