А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 11
Текст из файла (страница 11)
'Ра + у' = Х(х) у(О) = О, д'(1) = О. 767. У У = Х(х); у'(0) = 0~ у'(2) +у(2) = О. 768 - 'Ч + 'Ч = Х(х)~ у(0) = у(зг), у'(О) = у'(зг), Т69. х Чи+ 2ху' = Х(х); у(1) = О, у'(3) = О. 770. ху — у' = Х(х); У'(1) = 0 у(2) = 0 Т71. х Чи — 2У = Х(х); у(1) = О, 'Ч(2) +2у'(2) = О, Т72. У = Х(х)~ у(0) = О, у(х) ограничено при х — Ф +со.
773. У' + У' = Х(х)~ Р'(0) = О. Р(-~-со) = О. ху'+'у' = Х(х)' У(1) = О, у(х) ограничено при х — + +ос, 773. Уи+ 4Р'+ 3У = Х(х); у(0) = О у(х) = 0(е-з*) при и — > +ею, у + ту' У = Х(х); У(1) = О. У(х) ограничено при х — + +со. ТТТ. хзуи + 2ху' — 2У = Х(х); у(0) ограничено, у(Ц =о.
ТТ8. Уа — у = Х(х), у(х) ограничено при х — г хос. ТТ9. хзуи — 2У = Х(х), у(х) ограничено при х — > 0 и при х -> +со. Т80. При каких а, существует функция Грина краевой задачи уи + ау = Х(х), у(0) = О, у(1) = О? 781*. Оценить сверху и снизу решение задачи хзуа + + 2ху' — 2У = Х(х), у(х) ограничено при х — > 0 и х -+ +со, и его первую производную, если известно, что О < Х(х) < т.
Указание. Записать решение с помощью функции Грина. 74 214. Линейные системы с лостолнными нозффиииентами В задачах 782 — 785 найти собственные значения и собственные функции. 8 14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Путем исключения неизвестных систему, вообще говоря, можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией (см.
(1], гл. УИ, З 1, и. 2 или (4], гл. 3, З 2), Этот способ удобен для решения лишь несложных систем. Пример. Решить систему х = у+ 1, у = 2е' — х. Исключаем у. Из первого уравнения имеем у = х — 1. Подставляя во второе уравнение, получаем х = 2е' — х. Решив это уравнение второго порядка (методами 2 11), найдем х = Сг сов 1+ Сг ешс г- е'. Значит. у = х — 1 = — Сг еш1+ Сг сюзз+ ее — 1. 2. Для решения системы (где х означает ф) с хг = аггхг+ ...
+ агохо. х„= а гхг + ... + а„„х, или, в векторной записи, х = Ах, где х — вектор, А — матрица: надо найти корни характеристического уравнения аы — Л агг ... а~ агг агг — Л ... аго (2) а,п а„г ... аоо — Л 782. ун = Лу; 783. ун = Лу; 784. рн = Лу; 78б. хгун = Лу; у(о) = о, у'(о) = о, у(о) = о, у(1) = о, у(() = о. у'(1) = о. у'(1) = о. у(а) = О (а ) 1). 314.
Линейные системы с постоянными коэффициент ми 75 < зт = (а + 1Ф -~- 4- ЛГ~ )е~~ *„=(р+41+... +егь=)е"'. (3) Чтобы найти коэффициенты о, Ь, ..., е, надо подставить решение (3) в систему (1). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а, Ь, ..., з. Надо найти общее решение этой системы. Коэффициенты а, Ь, ..., з должны зависеть от й произвольных постоянных, где й —. кратность корни Л.
Найдя для каждого Л решения указанного вида и сложив их. получим общее решение системы (1). П р и м е р. Решить систему 2=2з+у+з, р= — 2з — с, 2=2з+р+2з. (4) Составляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л 1 — 2 — Л 2 1 1 — 1 =О, 2 — Л (5) Л вЂ” 4Л -ьЬЛ вЂ” 2=0, Лг=2, Лэ=Лз=1. Для простого корня Лг=2 находим собственный вектор (о, Д, 7). решан систему Е Д+Ч= о, — 2сл — 2Д вЂ” у = О, 2о+ К= О ~В случае Ь < 3 числа Ь вЂ” т нельзя уменьшить, а в случае Ь > 4 иногда можно, если известна жарданова форма матрицы А. Каждому простому корню Л, характеристического уравнения соответствует решение С,о'е *, где С; — произвольная постоян; ли нан, о' — собственный вектор матрицы А, соответствующий этому Л,.
Если длн кратного корни Л имеется столько линейно независимых собственных векторов о, ..., о, какова его кратность, то ,ь ему соответствует решение Сьерре~~ + ... -ь Сьо~е~~. Если для корин Л кратности Ь имеетсн только т линейно независимых собственных векторов, и т < Ь, то решение, соответствующее этому Л, можно искать в виде произведения многочлена степени Й вЂ” т на е , т. е. в виде 76 214. Линейные систелы с лостоянныли коэффициент ли (коэффициенты этой системы равны элементам детерминанта (б) при Л = 2).
Из (0) находим 2ы = — ф = 7. Значит. вектор (1, — 2, 2) — собственный, н х = ег'. у = — 2ег'. г = 2ег' (7) частное решение системы (4). Для кратного корня Л = 1 сначала определим число линейно независимых собственных векторов. Прн Л = 1 из (5) получаем матрицу — 2 — 1 — 1 Ее порндок я = 3, ранг г = 2. Число линейно независимых собственных векторов равно т = я — г = 1. Корень Л = 1 имеет кратность Ь = 2. Так как Ь > тэ то решение надо искать в виде произведении многочлена степени Й вЂ” т. = 1 на е . т.
е. в виде ги х = (а ч- ЬВ)е, р = (с + 41)е', г = (7" 4- 84)е'. (8) Чтобы найти коэффициенты а, Ь, ..., подставляем (8) в систему (4) и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему В+4+8=0, †2Ь вЂ 4 в, В=о+с+У, д= — 2а — с — ~, (О) 2В-~-д-~-8= О, 8= 2а+с+ 1. Найдем общее решение этой системы. Из двух левых ураннений имеем Ь = О, 8 = — с1. Подставлян это в остальные уравнения, получаем 0 = а + с -~- 7', с1 = — 2а — с — 1 (10) (остальные уравнения будут следствинми написанных). Решаем систему (10), например, относительно и и 1: х = — Сге'+ Сзе ', р = (Сг+ Сга)е' — 2Сге™, г = (Сг — Сг — Сгз) е'+ 2Сзе '.
Таким образом, все неизвестные выражены через с н с1. Положив с = Сы с( = Сг, имеем о = — Сг, Ь = О, ~ = Сг — Сы 8' = — Сг. Общее решение системы (9) найдено. Подставив найденные значения а, Ь, ... в (8) и прибавив частное решение (7), умноженное на Сз, получим общее решение системы (4): 214. линейные системы с иостолнн ми коэффициентами 77 3. Другой способ решения системы (1).
Для любой матрицы существует базис, в котором матрица имеет жорданову форму. Каждой клетке порндка р > 1 жордановой формы соответствует серия Ьы Ьг, ..., Ь„векторов базиса, удовлетворяющих уравнениям АЬг = ЛЬыЬг ф О, АЬг = ЛЬг .!- Ьг, (11) АЬ =ЛЬ +Ь, АЬэ — — ЛЬр -!- Ьр-г. э =е 'Ьы лг *' = " ( —,', Ь, + Ь,), з лг х = е ~ — Ьг + — Ьг + Ьз '1 2! 1! (12) У В-' р — г ээ = е ( Ьг -Ь Ьг + ... -)- — Ь„ г -Ь Ьэ) . 'л (р — 1)! (р — 2)! Н Общее число всех таких решений равно сумме порядков всех клеток жордановой формы, т. е.
порядку матрицы. Они составляют фундаментальную систему решений системы ф = Аэ. Правило для запоминании формул (12). Собственному вектору Ьы соответствует решение э~ = ел'Ьг. Если везде отбросить ел', то каждая строка правой части (12) получится интегрированием по 1 предыдущей строки, причем постоннную интегрирования надо взять равной следующему по порядку вектору серии. 4. В случае, когда имеются комплексные корни Л, изложенные способы дают выражение решенин через комплексные функции. Если при этом коэффициенты системы (1) вещественны, то можно выразить решение только через вещественные функции. Для этого надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего корню Л = гг + Дг (Д ф 0), явлнются линейно независимыми решениями.
Вектор Ьг называется собственным, а Ьг, Ьз, ..., Ь„ — присоединенными. Каждой серии Ьм Ьг, ..., Ьр соответствует р линейно независимых решений э, э, ..., тэ системы Ь = Аэ (верхний 1, 2 индекс указывает номер решении): 78 314. Линейные системы с постоянными коэффициентами Пример. Решить систему х = 4х — у, у = 5х 4-2у. Составлнем и решаем характеристическое уравнение 4 — Л вЂ” 1 5 2 — Л = О, Л вЂ” 6Л+ 13 = О, Л = 3 х 2г. Для корин Л = 3+ 2г находим собственный вектор (а, Ь)г с (1 — 2г)а — Ь = О, Ьа — (1+ 2г)6 = О.
Можно взять а = 1, Ь = 1 — 2г. Имеем частное решение х = ефт~*о, „= (1 2;)е1з+"1г ' Так как даннан система с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню Л = 3 — 2г, можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с найденным решением. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решении. Так как е1з+гйг = езг(сов 21-Ь гвш21), то Е хг = Вее1гтгй' = ел'сов 21, уг = Ке(1 — 21)е~ ~ * = е "(сов 21 -Ь 2 вш21), < хг = 1пге + *.
= е в1п21, <зегиг зс уг = 1ш(1 — 2г)еф~мд = ем(йн21 — 2 сов 21). Общее решение выражается через два найденных линейно незави- симых решения: х = Сгхг + Сгхг = Сг е сов 21+ Сг е вш 21, зг зс . у = Сгуг + Сгуг = Сг еы(сов 21+ 2вш21) + Стем(в1п21 — 2 сов 21), 5. Чтобы решить систему агох1 1+ аггх1 1+... + аг т -~- 4-Ьгоу "~+ Ьггу " ' + ..
4-Ьшу = О, а х~ ~+а хщ ~+ ... +и ох+ 4.6гоущ) 4-Ьггущ О-ь ... +Ьгоу = О, не приведенную к нормальному виду, надо составить характерис- тическое уравнение агоЛ +аыЛ г+ ... 4-аг,„бгоЛ" +ЬггЛ" ~ 4- ° 4-Ьг ~ агоЛ" -с амЛо -~- ... -'с аго ЬгоЛ 4- ЬггЛ~ + ... -с дгг ! 314. Пинейные системы с иостолнн ми ноэу7у4ициентами 79 и найти его корни. После этого решение отыскивается тем же способом, как в я. 2. Аналогично решаются системы трех и более уравнений. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
