А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. из уравнения Р(х, у, у') = О выразить у' через х и у. Получитсн одно или несколько уравнений вида у' = 1(х, у). Каждое из них надо решить. б) Метод введения параметра . Здесь излагается простейший вариант этого метода. Более общий ввривнт ем. (1), гл. 111, З 3, п. 1. 28. Уравнени, не разрешенные относительно производной 35 Пусть уравнение К(х, р, р') = О можно разрешить относительно д, т.
е. записать в виде у = 7(х, зл~). Введя параметр получим р= У(х, р). (2) Взяв полный дифференциал от обеих частей равенства (2) и заменив Йд через рдх (в силу (1)), получим уравнение вида М(х, р) дх -~- 1У(х, р) г1р = О. Если решение этого уравнения найдено в виде х = х(р), то, воспользовавшись равенством (2), получим решение исходного уравнении в паРаметРической записи: х = 1о(Р)ь У = 1Ь(Р) ~ Р)- Уравнении вида х = Дд, у') решаютсн тем же методом.
Пример. Решить уравнение у = х -~- р — !яр . Вводим параметр р = р': (3] р = х+ р — 1п р. Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и заменяем Йу на рдх в силу (1): ь1у = Ох+бр — — а, рь1х = ь1х+Йр — -в. Решаем полученное уравнение. Переносим члены с дх влево, с г1р — вправо: (4) (р — 1) дх. = ь(р. р а) Если р Ф 1, то сокращаем на р — 1: г1х = —, х = 1пр+ С. бр р' Подставлня это в (3), получаем решение в параметрической записи: (б) х=!пр-ьС, у=р+С.
В данном случае можно исключить параметр р и получить решение в явном виде. Для этого из первого из уравнений (б) выражаем р через х, т. е. р = е* '. Подставляя это во второе уравнение, получаем искомое решение: у=ее -ьС. (б) б) Рассмотрим случай, когда в (4) имеем р = 1. Подставляя р = 1 в (3), получаем еше решение (7) р=х+1. 36 28. Уравнения, ие разрешенные относительно производной Р(х,у,у)=0 (8) удовлетворяет также уравнению ПЕ'( у у) ау (9) Поэтому, чтобы отыскать особые решения уравнении (3), надо исключить у' из уравнений (8) и (9). Полученное уравнение ф(х, у) = = 0 называется уравнением дисирилеииаитяаб кривой. Для каждой ветви днскрнминантной кривой надо проверить, нвляется ли зта ветвь решением уравнении (8), и если является, то будет ли зто решение особым, т.
е. касаютсн лн его в каждой точке другие решения. Пример. Найти особое решение уравнения у = х + у — 1и у . (10) Дифференцируем обе части равенства по у': 1 0 = 1 — —. уУ (11) Исключаем у' из уравнений (10) н (11). Из (11) имеем у' = 1; подставляя это в (10), получаем уравнение дискриминаитной кривой (12) Проверим. будет ли кривая особым решением. Для этого сначала проверяем, нвлнется ли она решением уравнения (10). Подстевлян (12) в (10), получаем тождество х + 1 = х + 1. Значит, кривая (12) решение. ГЭто определение взято нз (1). Есть н другие определенна, не равносильные этому.
(Было бы ошибкой в равенстве р = 1 заменить р на у' и, проинтегрировав. получить у = т, + С.) 2. Решение у = сз(х) уравнении Р(х, у, у') = 0 называется асабылг, если через каждую его точку, кроме этого решении, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение у = 1о(х), но не совпадающее с ннм в сколь угодно малой окрестности этой точки . Если функция Г(х, у, у ) и производные д и д, непрерывны, Р дв дв то любое особое решение уравнения 38. Уравнении, не ризрешенные относительно производной 37 Теперь проверим, является ли это решение особым, т.
е. касаются ли его в каждой точке другие решении. В п. 1 было найдено, что другие решения выражаются формулой (6). Пишем условия касания кривых д = дзз(х) и д = уз(х) в точке с абсциссой хо: дг(хо) = уз(хо), дз(хо) = дз(ха) (13) Ф( ., д, С) = О, ~~( ' д' С) = О дС и проверить, будет ли полученнан криван огибающей, т. е. касают- ся ли ее в каждой точке кривые семейства. Эту проверку можно провести изложенным в конце п.
2 методом, использун условия ка- сания (13). В задачах 241 — 250 найти все решении данных уравнений; выделить особые решения (если они есть); дать чертеж. 241. у' — дз = О. 242. 8у' = 27д. 243 (у~ + 1)з 27(х -~- д)з 245. уз(у' + 1) = 1. 245 д 4 уз 0 247. ху' = у. 249. у' + дз = уу'(у' + Ц. 246. у' = 4уз(1 — у). 245. уу' + х = 1. Для решений (6) и (12) эти условии принимвют вид ез" ~ + С = = ха+1,е ' ~ = 1. Из второго равенства имеем С = хо; падставлян это в первое рввенство, получзем 1 + хо = хо + 1.
Это равенство справедливо при всех ха. Значит, при каждом хо решение (12) в точке с абсциссой то касается одной из кривых семейства (6), в именно той кривой, для которой С = хо. Итак, в каждой точке решение (12) касается другого решения (6), не совпадающего с ним. Значит, решение (12) — особое. Если семейства решений записано в параметрическом виде, как в (б), то выполнение условий касания провернется аналогично. При этом надо учесть, что у' = р. 3. Если семейство кривых Ф(х. д, С) = О.
явлнющихся решениями уравнения Е(х, д, д') = О, имеет огибающую д = оз(х), то эта огибающан является особым решением тога же уравнения. Если функции Ф имеет непрерывные первые производные, то для отыскания огибающей надо исключить С из уравнений 38 18. Уравнен л, не де»решенные отноеителвно производной 250. 4(1 — р) = (Зр — 2)зу' . Уравнении 251 — 266 разрешить относительно р', после этого общее решение искать обычными методами (Я 2, 4, 5, 6). Найти также особые решения. если они есть. 251.
у' + ту = уз + ту'. 253. ху' — 2уу' + х = О. 255. У™ + т = 2у. 257. у' — 2шу' = 8тз. 258. (ху'+ Зу)з = 7вс 259. у' — 2ур' = ул(е* — 1). 260. у'(2у — у') = дев1п х. 261. у' + уз = у». 262. х(р — л:у')л = шд' — 2ур'. 263. У(ху' — у)з = у — 2ху'. 264. Ру'(ду' — 2х) = шл — 2уз. 265. д'з»- 4хр' — уз — 2хзу = ю» — 4хз. 266. У(у — 2ту')з = 2у'.
Уравнении 267 — 286 решить методом введения параметра. 267. х = у' + у'. 269. т = у'Ъ/у'й + 1. 271. У=у' +2у' . 282. 2тр' — у = у'1пуу'. 284.у=шд т д 283. у' = ез и ~з. 273. (р'+1) = (У' — У) . 275. у' — У = д ° 277. у' = 2УУ' + Р ° 279. 5У+У = тих+У). 281. д' +У =терр 252. хр'(ху'+ у) = 2рз. 254. лр' = у(2У' — 1). 256. д' + (х + 2)е" = О. 270. у'(х — 1пу') = 1. 272. у = 1п(1 + у' ). 274.
р = (у' — 1)е" . 276. у' — У =У . 278. у' — 2ху' = х — 4Р. 280. х'уд = луу'+ 1. 39 З 9. Разные уравнения первого порядка 285. у = 2ху'+ узд' . 286. У(у — 2ху')з = у' . Решить уравнения Лагранжа и Клеро (задачи 287 — 296). 287. д = ху' — д' . 289. у = 2ху' — 4у' . 288. у+ ту' = 4ъгу'. 290. д = ху' — (2 + д'). 292. у = .Упт — 2У".
291. д' = 3(ху' — У) 293. ху' — У = 1пд'. 294. ту'(у'+ 2) = У. 295. 2У' (у — ху ) = 1. 296 2ху' — у = 1ну' 297. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнении: а) у = Схз — Сз, в) у = С(х — С), б) Сд = (х — С)з, г) ху = Сд — Сз. 3 9. РАЗНЫЕ 'УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА' Решить уравнения 301 — 330 и построить графики их решений.
301. ху'+хз+:оу — у = О. 302. 2ху'+ у = 1. 303. (2туз — у) с1х+ х Йу = О. 304. (ху'+ у) = хзу'. 306. (х + 2уз)у' = у. 305. у — у' = уз + ху'. 307. у' — у'е * = О. ~Все задачи 19 решаются изложенными ранее методами. 298. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площади 2аз.
299. Найти кривую, каждан касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна 1. 300. Найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2. г 9. разные уравнения первого парадна 359. ту'(1пд — 1пт) = у. 360. 2у' = т+ 1пу'.
361. (2:огу — Зуг)у' = бхг — 2хдг + 1. 362. уу' = 4х+ Зу — 2. 363. угу' +:ег а1п г, = уг с$8 х. 364. 2ху' — у = вУп у'. 363 (тгуг + 1)у+ (ту 1)гг.у' О Збб. уабпт+ у'совт = 1. 367. тйу — ус(х = х /тг + угу. 368 дг+тгу~- у( ~~+у,з) 369. у' = 4/2т т— д+ 2. 370.
(х — усова) йх+тсовайу = О. ет1. 2 (*'7~ а-';* у ) о~ 61= 0. 372. (у' — т~/у) (тг — 1) = ту. 373. у' + (у' — 2у')х, = Зу' — у. 374. (2 +Зд 1)д +(4т+бд — З)ау=О. 375. (2хуг — у) с1х+ (уг+ х+ у) Йу = О. 376. у = у'~/Г+ д". 377. уг = (хду'+ 1) 1пт. 378. 4д = хг + у' . 379. 2х йу + у йх + туг (т е1у + у йх) = О. 380. хднф+ (тгссху — Зсоеу) с)у = О. 381. тгу'г — 2(ту — 2)у'+ уг = О. 382. ту' + 1 = е* ". 383. у' = 18(д — 2х). 384.
Зхг — у = у'ъ~Р + 1. 44 г10. Уравнения, допуснающие понижение парадна 407. уу' -~- х — 2 ~ х ( 408,! 3 +Р Р д=( д 409. (~,/~г, 1+1) („г+ ЦОт = ту4„ 410. ( +у +Црд'+( +у — Ц =О. 411. уг(л: — Ц с1т = х(ху + х — 2у) с(у. 412. (тр! — у)г = тгуг — хс. 413. хуу' — хг с/у~+1 = (х + 1)(уг + 1). 414. (тг — Цу'+ уг — 2ху+ 1 = О. 415.
д'18у+ 4хз сову = 2х. ! 416. (ху' — у)г = д' — + 1. 417. (т + у)(1 — тд) с(а: + (т + 2у) с1у = О. 418. (Зтд+ т+ у)ус!т+ (4ту+ т+ 2д)хс(у = О. 419. (хг — Цс1х+ (хауз+ ха + в) с(у = О. 420. х(у' + ел") = — 2у'. 8 10. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 1. Если а уравнение не входит искомая функция у, т. е. оно имеет вид Е(х, уС ~, уС + ~, ..., рС"!) = О, то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входнщих в уравнение, т. е. сделав замену уС = з. сн) 2.
Если в уравнение не входит независимое переменное т, т. е. уравнение имеет вид Г(р, у', у", ..., рС"!) = О, то порндок уравнения можно понизить. взнв за новое независимое переменное у, а за неизвестную функцию у' = р(у). Пример. Решить уравнение 2рун = у' + 1. 110. Удлинении, допускающие понижение порядка 40 В уравнение не входит х.
Полагаем у' = р(у). Тогда д(у') др(у) 4 Ь с(х. дх г1у сдх Подставлня у' = р и у" = рр' в уравнение, получим 2урр' = р Ь 1. Порндок уравнения понижен. Решив полученное уревнение, найдем р = ~тГСу — Т. Следовательно, у' = ~тгГу — 1. Из этого уравнения получим 4(Су — 1) = Сз(х + Се). 3. Если уравнение однородно относительна у и его производных, т.
е.не меняется при одновременной замене у, у, у , ... на ку, ку~, куо, ..., то порядок уравнения понижается подстановкой у = уз, где з — новая неизвестная функция. 4. Порядок уравнения понижаетсн, если оно являетсн однородным относительно х и у в обобщенном смысле, т. е. не меняется от замены х на (сх, у на )с"'у (при этом у' заменяется на Й у, у на к'" у' н т. д.). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным, и найти число т, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых число )с будет входить в к а ж д ы й член уравнения после указанной выше замены. Например, в первый член уравнении 2хеуо — Зу = х~ после втой замены число й будет входить в степени 4+ (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
