А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 2
Текст из файла (страница 2)
юуйю+ (я+ 1) с1у = О. 52. ~/уг + 1 йт = зд Оу. 53. (ю~ — 1)у'+ 2ху = 0; у(0) = 1. 54. у' с13т + у = 2; у(з) — ~ — 1 при ю -+ О. 55. у' = 3(/дг; д(2) = О. 56. зр' + д = дг; у(1) = 0,5. 57 2,гу„' „„г 2 56 „' — ~1г=2зд 59. е ' (1+ а") = 1 60. г' = 10*с*. Ф 61. зф+1 = 1. 62. у' = соз(у — з). 63. у' — у = 2з — 3. 64. (з -ь 2у)у' = 1; у(0) = — 1. 61. Я = Яст2р — г В задачах 66 — 67 найти решения уравнений, удовлетворнющие указанным условиям при ю — ~ +ос.
66. югу' — сои 2у = 1; у(+ос) = 9я/4. 67. Зугу'+ 16з = 2зуз; у(ю) ограничено при ю — ~ +оо. 68. Найти ортогональные траектории к линиям следуюших семейств: а) у = Сзг: б) у = Се*: в) Ст.' + дг = 1. В задачах 69* и 70* переменные разделнются, но получаемые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. Однако, исследован их сходимость, можно дать ответ на поставленные вопросы. 69*. Показать, что каждая интегральная кривая уравнег з е+1 ния у' = )е( лтт — имеет две горизонтальные асимптоты.
— ~l*+г 70*. Йсследовать поведение интегральных кривых уравнении у' = )( „.„ и в окрестности начала координат. Пока1еб ьи1 зать, что из каждой точки границы первого координатного угла выходит одна интегральная кривая, проходящая внутри этого угла. 12 'Ч3. Геолгетпрические и физические задачи В 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ' 1. Чтобы решить приведенные ниже геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через у = = у(х) (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через х, у и уЧ Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию угх).
2. В физических задачах надо прежде всего решить, какую из величин взять за независимое переменное, а какую за искомую функцию. Затем надо выразить. на сколько изменится искомая функция у, когда независимое переменное х получит приращение Ьх, т. е. выразить разность у(х+ Ьх) — у(х) через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на Ьх и перейдя к пределу при Ьх -э О, получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию. В большинстве задач содержатся условия, с помощью которых можно определить значения постоянных.
входнщих в общее решение дифференциального уравнения. Иногда дифференциальное уравнение можно составить более простым путем, воспользовавшись физическим смыслом производной (если независимое переменное — время В то ф есть скорость изменения величины у).
В некоторых задачах при составлении уравнения следует использовать физические законы, сформулированные в тексте перед задачей (или перед группой задач). Пример. В сосуд, содержвщий 10 л воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут? Решение. Примем за независимое переменное время Ц а за искомую функцию у(1) количество соли а сосуде через $ минут после начала опыта.
Найдем, на сколько изменится количество соли за промежуток времени от момента 1 до момента 1+ Ы. В одну минуту поступает 2 л раствора, а н гчх минут — 2Ы литров; в этих Все задачи этого параграфа сводятся к уравнениям с разделяющимисн переменными. Задачи, приводящиеся к уравнениям других типов, можно найти в соответствующих параграфах. Необходимые для решения задач значения показательной функции и логарифмов можно брать из таблицы в конце задачника. ЗЗ.
Геометрические и 4иэические гидичи 13 2Ы литрах содержится О,З 2сьг = 0,6гЗг кг соли. П другой стороны, за время гЗг из сосуда вытекает 2~И литров раствора. В момент г ва всем сосуде (10 л) содержитсн р(г) кг соли, следовательно, в 2гЗг литрах вытекающего раствора содержалось бы 0,2г'.Ы у(г) кг соли, если бы за времн Ьг содержание соли в сосуде не менялось. Но так как оно за это времн меннется на величину„бесконечна малую при сьг — > О, та в вытекающих 2Ж литрах садержитсн 0,2Ы(р(8)-Ьа) кг соли, где а — г 0 при сьг — г О. Итак, в растворе.
втеьаюшем за промежуток времени (г, 1+ + Ь1), содержится 0,6Ы кг соли, а в вытекающем — 0,2Ьг (р(г) + + о) кг. Приращение количества соли за эта времн у(г+ г'.Ы) — д(Ц равно разности найденных величин, т. е. р(г+ Ы) — д(г) = О,ОЬг — 0,2Ы (д(г) + о). Разделим на гЗг и перейдем к пределу прн гЗг — ь О.
В левай части получится производная П'(1], а в правой получим 0,6 — 0,2д(1), так как о -+ 0 при гас -е О. Итак, имеем дифференциальное уравнение у'(г) = 0,6 — 0,2у(8). Решая его, получим р(г) = 3 — Се-'". (1) Так как при г = 0 сали в сосуде не было. то д(0) = О. Полагая в (1) г = О, найдем р(0) = 3 — С; 0 = 3 — С; С = 3. Падставлня это значение С в (1), получим р(1) = 3 — Зе а*г'.
При г = 5 в сосуде будет у(5) = 3 — Зе а' = 3 — Зе 1,9 кг соли. 71. Найти кривые, длн которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постонннан, равнан аз. 72. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постояннан, равная Ь. ТЗ. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью. проведенными из произвольной точки кривой, равен 2и.
Т4. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касании. То. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллель- 14 53. Геометрические и физические задачи ные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делитсн кривой в отношении 1: 2.
76. Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полярным радиусом и полярной осью. В задачах 77 — Т9 считать, что втекающий газ (или жидкость) вследствие перемешивания распределяется по всему объему вместилища равномерно. 77. Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80% азота и 20е%с кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99% азота? 78. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли.
В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час? Т9. В воздухе комнаты объемом 200 мз содержитсн 0,15% углекислого газа (СОг). Вентилятор подает в минуту 20 мз воздуха, содержащего 0,04% СОг. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? В задачах 80 — 82 принять, что скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.
80. Тело охладилось за 10 мик от 100' до 60'. Температура окружающего воздуха поддерживаетсн равной 20'. Когда тело остынет до 25'? 81. В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20', опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75'. Через минуту вода нагрелась на 2'. Когда температура воды и предмета будет отличатьсн одна от другой на 1'? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь. 82. Кусок металла с температурой а градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от а градусов до Ь градусов.
При разности температур ЗЗ. Геаметпрические и физические задачи 15 печи и металла в Т градусов металл нагревается со скоростью ?сТ градусов в минуту. Найти температуру металла через час. 83. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки.
11ачальная скорость лодки 1,5 м/сек, через 4 сек скорость ее 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/сек? Какой путь может пройти лодка до остановкиу В задачах 84 — 86 использонать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. 84. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останетсн 1% от первоначального количества'? 85. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия'? 86.
В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4.,5.10з лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Определить возраст горной породы. Считать, что в момент образования горнан порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). 87. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падаюшего на него света и толщине слоя.
Слой воды толщиной 35 си поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 лу Для составления дифференциального уравнения в задачах 88 — 90 за неизвестную функцию удобнее взять скорость. Ускорение силы тяжести считать равным 10 м/сека. 88.
Парашютист прыгнул с высоты 1,5 лзз, а раскрыл парашют на высоте 0,5 кзс. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 16 13. Геометрические и физические задачи 50 м/сек. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. 89. Футбольный мяч весом 0,4 иГ брошен вверх со скоростью 20 м/сек. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Г при скорости 1 м/сек. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
