А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 8
Текст из файла (страница 8)
у[ — 4у[ + бу[ — 2у = е ~. Так как число 3 не является корнем характеристического уравнении, то частное решение ищем в виде уг = пе . Подставлня в зс уравнение, находим и = 1/4. Следовательно, общее решение имеет вид у = уо + у~ = (Сг -1- Сзт)е' + Сзе ' + — ез' = 4 = (Сг+Сз!пх)х+Сзх'-1- — х' (х > О). 4 При х < О получается аналогичнан формула, но с 1п [х[ вместо 1пх. 5. Длн решения задач 635 — 640 и 879 можно пользоваться следующими законами теории электрических цепей (см. также [3[, з 13). Для каждого узла цепи сумма всех притекающих токов равна сумме вытекающих токов. Алгебраическая сумма напрнжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напрнжений на всех остальных участках этпго контура. Падение напряжения на сопротивлении П равно Ш", падение напРЯженин на самоинДУкЦии А Равно А о, 1 паДение напРЯжениЯ на ш.
конденсаторе емкости С равно о/С, где д = д(1) заряд конденсатора в момент й при этом 3л = 1; во всех трех случаях 1 = 1(1)— а сила тока, протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент и В этих формулах 1 выражаетсн в амперах,  —- в омах, й —. в генри, о —. в кулонах, С вЂ” в фарадах, 1 — в секундах, напряжение — в вольтах. 54 511.
Линейные уравнен л с ностоянныли коэффициент ни П р и м е р. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону В = Р гйпшй сопротивление В и емкость С. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме'. Решение. Сила тока 1 = 1(1) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединении). Падение напряжения на сопротивлении равно В1, а на емкости д/С. Следовательно.
В1-~- — = ИзпыЛ. Дифференцируя и пользуясь тем, что Я бу ' С вЂ” = 1, получим уравнение Ф 61 1  — + — = 1'ш сое сЛ. 61 С (15) Это — линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для отыскания установившегося режима найдем периодическое реше- ние этого уравнении. Исходя из вида правой части уравнения, ищем решение в виде 1 = Агсозсм -~-Вгшп~Л. (16) Подставляя (16) в (15) н приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим систему двух уравнений, из которой можно найти А~ и Вы Но в электротехнике важнее знать не коэффициенты А~ и Вг„а амплитуду изменения силы тока.
Поэтому выражение (16) переписывают в виде 1 = Ашп(сЛ вЂ” ~о). (17) А ВАшзпг(о+ — соз р = О, А ВАш сов р — — шп1о = Иш. С Отсюда найдем Поясним, почему найденное периодическое решение называется установившимся режимом. Общее решение уравнения (15) равно ~устаяоенешнмсн режимом назыеаетсн такой, прк котором сила токе постоянна нлн меняется периодически. Подставляя (17) в (15), переходя к тригонометрическим функци- ям углов шб и р, приравнивая коэффициенты сначала при з(пшс, а затем при сов ш1, получим З 11. Линейные уравнения с постонннъаии коэднуиииентачи 55 (18) Твк как решение уравнения (18) 7 = Ле Ыво (здесь К вЂ” произвольная постояннан) стремится к нулю при 1 -+ -Ьоо, то любое решение уравнения (15) при г -+ +со неограниченно приближаетсн (и притом весьма быстро) к найденному периодическому решению (17).
Решить уравнения 511 — 548. 511. ун+ д' — 2д = О. 512. до+ 4у'+Зд = О. 513. уи — 2у' = О. 514. 2ун — 5у'+ 2у = О. 515. ун — 4у'+ 5д = О. 516. до+ 2д'+ 10р = О. 517. ун + 4у = О. 519. у~~ — у = О. 518. уи' — 8у = О. 520. уги+4у = О. 521. учг+ 64у = О. 522.
дн — 2у' + д = О. 523. 4ун + 4у'+ у = О. 524. у~ — Одг~ + 9ун' = О. 525 уи 10уш + 9у~ О 526. дг~ + 2ун+ у = О. 527. ун' — Здн + Зу' — у = О. 528. уи' — дн — у'+ у = О. 529 угу 5д + 4у 0 530 уч + Зу + 16ую О 532. уг~+4ди+ Зу = О. 531. уи' — Зу' + 2у = О. 533. ун — 2у' — Зу = ее'. 534. до+ д = 4те . 535. ун — у = 2е* — хз. 536. до + у' — 2у = Зхе' .
— Зу'+ 2д = в!пх. + у = 4 з(п я. 537. уи 538. ун 539. ун — 5у'+ 4у = 4шзез'. сумме найденного честного решения (17) н общего решения линей- ного одноролного уравнения 56 З 11. Линейные уравнении с настоян«ызеи ноэйнуиииентачи 540. дн — Зу'+ 2у = хсовх. 541. дн + Зд' — 4у = е " ' + хе ' . 542. ун + 2у' — Зу = хзее. 543. ун — 4у' + 8у = езе + вш 2х. 544. ун — 9у = езе сов х. 545. уо — 2у'+ у = бхе". 546. ун + у = х яп х.
547. ун + 4д' + 4у = хез*. 548. уи — Зу' = Зхз+ вш5х. В задачах 549 — 574 длн каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить). 549. ун — 2у' + 2д = ее + х сов х. 550.
ун+ бд'+ 10у = Зхе з' — 2ез*совх. 551. ун — 8у'+ 20у = 5хее вш2эи 552. да+ 7у'+10у = хе з сов5х. 553. ун — 2у'+ 5д = 2хее+ ее яп2т. 554. ун — 2у'+ у = 2хе '+ ееяп2х. 555. ун — 8у'+ 17у = ее' (хз — Зхяпх). 556. ун'+ у' = япх+ х сов х. 557. дн' — 2ун + 4у' — 8у = ез" вш 2х + 2хз. 558. до — бу' + 8у = 5хез* + 2е4* вш х. 559. ун+ 2у'+ д = х(е ' — совх). 560. ун' — ун — д'+ у = Зее+ 5хвшх. 561.
ун — бу'+13у = хзезе — Зсов2х. 562. дн — 9у = е зе(хз + яп3:с). 563 утч+ ун = 7х — Зсовх. я 11. Линейные ддаенения с постоянными ноэффициеноисии 57 564. уи+4д = спят сояЗж. 565 уи' — 4уи + Зд' = тг + хег'. 566. уо — 4д' + 5д = его я1п т. 567. до+ Зу'+ 2у = е *сове он 568. уо — 2у'+ 2д = (и+ее) яшт,.
569. рзи+ 5уо+ 4д = яшх ° соя2т. 570. уи — Зу'+ 2у = 2е. 571. уи — д = 4яЬт. 572. уо+ 4у'+ Зд = сЬж. 573. до + 4у = яЬх ° яйп 2эи 574. уо + 2у' + 2у = сЬ т, ° яйп лп Решить уравнения 575 — 581 способом вариации постоянных. 575. ди — 2у'+ д = "—. 576. до + Зу'+ 2у =,,~ „. 577. уи + у = 578. до+ 4у = 2тйт. 579. до + 2у' + у = Зе ' от + 1. 580. уи+ у = 2яесзи 581*. шз(уи — у) = тг — 2. Найти решения уравнений 582 — 588, удовлетворяющие указанным начальным условиям. 582. уи — 2у' + у = 0; д(2) = 1. у'(2) = — 2. 583. уи + у = 4е '; у(0) = 4, у'(0) = — 3. 584.
ро — 2у' = 2е*; д(1) = — 1, у'(1) = О. 585. уи + 2д' + 2д = же ", у(0) = у'(О) = 0- 586. ди' — у' = 0; р(0) = 3, д'(0) = — 1, уи(0) = 1. З 11. Линейине уравнения о настоянными ноэфу1ииивнтпами 59 608. уи+ 2у'+ Ву = е '(сои~ль+18х). 609. хзуи — 2у = х -Ь 1 610. х у — ху + у = + х !пх 611* ° у + д = 11х). 612*. Какие условии достаточно наложить на функцию 11х), чтобы все решения уравнения задачи 611 оставались ограниченными при х — > +со? В задачах 613 — 618 построить линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющие данные частные решения.
613. у~ = хзе*. 615. у~ = хвшх. 61?. у~ = хе', уз = е '. 614. дг =ел*солт.. 616. уг = хе' сов2х. 618. уг = х, уз = вш х. 619. При каких а и Ь все решения уравнения до + ау' + + Ьу = О ограничены на всей числовой оси — оо < х, < +ос? 620. При каких а и Ь все решения уравнения до + ау' + + Ьу = 0 стремятсн к нулю при х — э +ос? 621.
При каких а и Ь уравнение уи -Ь ау' -Ь Ьу = О имеет хотя бы одно решение д1х)ф О. стремящееся к нулю при х — Ф +ос? 622. При каких а и Ь каждое решение уравнения до + + ад'+ Ьу = О, кроме решения д(х) г— в О, монотонно возрастает по абсолютной величине, начинан с некоторого х? 623. При каких а и Ь каждое решение уравнения уо + + ау' + Ьу = О обрашается в нуль на бесконечном множестве точек х? 624*.
При каких а и Ь все решения уравнения уо + + ау'+ Ьу = О удовлетворяют соотношению у = о(е ) при х -++ос? 625*. Длн заданного Ь > О подобрать такое а, при котором решение уравнении до+ ау'+ Ьу = О с начальными условинми 60 Ь11. Линейные уравнения с настоянными ноэ4фиииентами у(0) = 1, у'(О) = О возможно быстрее стремится к нулю при х — > +со. 626. При каких Ь и ы уравнение Оо + Ьзу = вшаэг имеет хотя бы одно периодическое решение? 62Т.
Найти периодическое решение уравнении т, + их + + Ьш = еш оэй и нарисоваты рафик зависимости его амплитуды от величины иь 628. Найти периодическое решение уравнения х + х+ + 4з = еыы и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решении при изменении ы от 0 до +се. 629".
Дано уравнение ун + ад' + Ьу = Дз), причем Щк)~ < т (-сс < з < ос), а корни характеристического уравнении Лз < Лг < О. Найти решение, ограниченное при — сс < к < сс. Показать, что а) все остальные решения неограниченно приближаются к этому решению при к — э +ос, б) если Д1к) периодическая, то это решение тоже периодическое. Указание. Применить метод вариации постоянных. Нижние пределы полученных интегралов взять бесконечными такого знака.
чтобы интегралы сходились. В задачах 630 — 632 принять, что при отклонении груза от положения равновесия на расстояние ж пружина действует на него с силой йж, направленной к положению равновесии. 630. Найти период свободных колебаний массы еи, подвешенной к пружине, если движение происходит без сопротив- ленин. 631. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массы ш. Прн движении груза со скоростью о сила сопротивлении равна Ье. При 1 = О грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
