А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 7
Текст из файла (страница 7)
— 2), во второй в степени 2тз в третий в степени 4. Следовательно, т должно удовлетворять уравнениям 4 -!- (т — 2) = 2ш = 4. Отсюда ш = 2. Если же полученные уравнения для гп будут несовместными, та дифференциальное уравнение не является однородным в указанном смысле. После того как число т, найдено, надо сделать замену переменных х = е', у = земе, где з = з(1) — новая неизвестная функции, а 1 новое независимое переменное. Получим уравнение, в которое не входит независимое переменное и Порядок такого уравненин понижается одним из ранее рассмотренных способов. 5. Порядок уравнении легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, чтобы обе его части являлись полными производными по х от каких-нибудь функций.
Например, пусть дано уравнение ууо = у~ . Деля обе части на уу~, получим "т = л-! (1пу')' = (!пу)'; !пу' = !ну + !пС; у' = уС. Порядок уравнейия понижен. Решить уравнения 421-450. 421.хзуо = у' . 422. 2ху'уо = у' — 1. З10. Ураекекия, допускающие покиисекие порядка 424. у' + 2ууо = О. 426. Ууо+ 1 = у' . 428. Уо' = уо . 423. Узда = 1. 425.
Уо = 2уу'. 427. Ук(е + 1) + у' = О. 429. ууо = у' — у' . 430. Уи' = 2(до — 1) с18 т. 431. 2уу" = уз + у' . 433. уо + д' = хд". 435. хуо' = уо — ху". 437. у" = еи. 439. 2У'(до+ 2) = хдк . 440. д' — д'ук = 1. 441. у' = (Зу — 2У')у". 442. Уо(2У'+х) = 1. 447. туо = у'+ т а1п У-. 449. ура+ у = у' .
Решить уравнения 451 — 454, воспользовавшись формулой, своднщей многократное интегрирование к однократному (см. (1], гл. 1й, '1' 2, п. 1). 451. ху~ = 1. 453. Уо' = 2ту". 452. хук = з1пль 454. ту~~ + д'о = е*. Решить уравнения 455 — 462, преобразовав их к такому виду, чтобы обе части уравнении являлись полными производными. 456. д'уо' = 2дк . 458.
5дк' — Зуоу'~ = О. 460. Уи = ху' + у + 1. 455. Уди'+ Зу'уо = О. 457. Уук = у'(у'+ 1). 459. Ууо + у' = 1. 443. Уо — 2У'уо' + 1 = О. 444. (1 — тз)до+ ту' = 2. 445. Уук — 2уу' 1п у = у' . 446 (у'+2У)у = У 448 у ~у =У 450. хук = У +х(д +т )' 432. Ук + тук = 2у'. 434. Уо+ у' = 2е ". 436. Уо = у' + 1. 438. Уо — хуо'+ до' = О. 210. Уравнения, допускающие понижение порядка 47 462. хдн — д' = хзуу'. 461. хун = 2уу' — д'.
В задачах 463 — 480 понизить порядок данных уравнений, пользуясь их однородностью, и решить эти уравнения. 463. хуун — ху' = дд'. 464. Уун = у' + 15УЗ~/х. 465. (хе+ 1)(у' — дуо) = худ'. 466. худо + хд' = 2уу'. у2 468. Ун+ — + — = — ' у у у х:оз у 469. У(хун+ д') = ху' (1 — х). 467. хздун = (у — хд')2. 470. х ддн+у' = О.
471. хз(д' — 2уун) = УЗ. 472. хддо = У'(У+ У ). 473 4х2узуо = хз — уа 474. хзуо (у хд )(у хд х) 2 475. — +у =Зхд + У,З о 2уу ,г х 476. д = ( 2хд — — / у + 4У / Я, 2 4У / ° ° .2 ' 477. хз(2уун — у'2) = 1 — 2хуу'. 478 ХЗ(дун у'2) + Хуу' = (2ХУ' — Зу)Ъ'ХЗ. 479. Х4(уна 2дун) = 4ХЗУУ'+ 1. 480. Уу' -~- хуун — ху' = хз. 482. Уо — у'дн' = ® 481. Ун(3+ уд' ) = у' . 483. Уу' -Ь 2хзун = ху' . 485. 2хуз(хун + у') + 1 = О.
484. у' + 2хдуо = О. В задачах 481 — 500, понизив порядок данных уравнений, свести их к уравненинм первого порядка. 48 З 10. Уравнения, допденанияие понижение порядка 486. г.(уо + у' ) = у' + д'. з( уо 2 нз),м 488. у(2жди -~- у') = жу' + 1. 489. ди + 2уу' = (2ж + ~~) у'. 490.
у'д'и = уо + у' у". 492. ун = у' — уу' д". 494. ун'у' = 1. 491. рун = у' + 2зуз. 493. 2дун' = у'. 495. уху'и = р' . 496. харуо+ 1 = (1 — у)жу'. 497. уу'уи'+ 2у' дн = Зууо . 498. (у'уо' — Зуо )у = у' . 499. уз(у'уи' — 2уо ) = уу' ун+ 2у' . 500. жз(узда' — у' ) = 2узд' — Зару' . 501. ууо = 2зу'; у(2) = 2, д'(2) = 0,5. 502.
2уаа — Зу' = 0; у(О) = — 3, у'(О) = 1 ун(0) = — 1. 503.;гади — Згеу' = ~Яр- — 4у; у(1) = 1, у'(1) = 4. 504. дн' = Зуу', у(0) = — 2, д'(О) = О, уо(О) = 4,5. 505. ун сон у+ д' е1пу = у', "р( — 1) = в, у'( — 1) = 2. 506. Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс.
Рассмотреть два случая: а) кривая обрещена выпуклостью к оси абсцисс; б) вогнутостью к оси абсцисс. 507. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. 508. Определить форму равновесия нерастижимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка В задачах 501 — 505 найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям. )) 11. Линейные уравнения с ностоннныэли ноэуллЛлияиент лли 49 так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста).
Весом самой нити пренебречь. 509. Найти форму равновесии однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием ее веса. 510*. Доказать, что уравнение движения маятника уо + + яп у = 0 имеет частное решение у(х), стремящееся к я при х -+ +ос. В 11. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Чтобы решить линейное однородное уравнение с настениными коэффициентами аорШ~Ч алур О+ ...
+а лу +а у б, О) надо составить характеристическое уравнение слаЛ -~-алЛи -~- .. +а лЛ+а„= О (2) и найти все его корни Лл, ..., Л„. Общее решение уравнения (1) есть сумма, состоящая нз слагаемых вида Слет' для каждого простого корня Л, уравненнн (2) и слагаемых вида (С ел+С, элх+С еэх -~- ... -~-С .эьх. ')е (3) длн каждого кратного корня Л уравнении (2), где й — кратность корня. Все С, произвольные постоянные. Коэффициенты уравнения (1) и корни Л здесь могут быть вещественными илн комплекснымн. Волн же все коэффициенты уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней Л. Длн каждой пары комплексных сопряженных корней Л = о х Дл в формулу общего решения включаютсн слагаемые С эле"* сое Дх + С еле * ыв Дх, если эти корни простые, н слагаемые Рц л(х)е"*соеДх+1)ь л(с)е ' елям 50 Ь11.
Линейные уравнения с постояннызси коэффициентами если каждый из корней се+ Дй и се — Д) имеет кратность Ь. Здесь Рь е и суь д — многочлены степени й — 1, аналогичные многочлену з (3), их коэффициенты — — произвольные постоянные, Пример. Решить уравнение у~ — 2йш — 16у'+ 32д = О. Пишем характеристическое уравнение Л вЂ” 2Л вЂ” 16Л+ 32 = О. Разлагая левую часть на мяожители, находим корни: (Л вЂ” 2)(Л вЂ” 16) = О. (Л вЂ” 2)э(Л+ 2)(Л -~- 4) = О. Лв=Лз=2, Лз= — 2, Л4 =21, Лз= — 21. По изложенным выше правилам пишем общее решение у = (Се -~- Сех)е™ -'г Сзе -~- С4 сов 2х -~- Сз зш2х (степень многочлена Св+Сзх на 1 меньше кратности корня Л = 2).
2. Для линейных неоднородных уравнений с постоннными коэффициентами и с правой частью, состоящей из сумм н произведений функций Ье+ Ьех+ ... + Ь,х, е *, совфх, шпДх, частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Длн уравнений с правой частью Р (х)ет, где Р (х) = Ьо+ -~-Ь|х -ь ... -ь Ь,х™, частное решение имеет вид уз = х (у,(х)е~', (4) где Я„,(х) — многочлен той же степени оь Число в = О, если Ч вЂ” не корень характеристического уравнении (2), а если т корень, то в равно кратности этого корня.
Чтобы найти коэффициенты многочлена с) (х),надо решение (4) подставить з дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при полобных членах в левой и правой частях уравнения. Если з правую часть уравнения входят синус и косинус, то их можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлера е'р*+е 'р е'р — е *р' совДх =, зшфх = (5) 2 ' 21 н свести задачу к уже рассмотренному случаю. Если же коэффициенты левой части уравнения вещественны, то можно обойтись без перехода к комплексным фунициям (5). Для уравнения с правой частью е (Р(т) созфх+ Ях) ыпфх) (6) З11.
Линейные уравнения с посталннъьии коэффициентами 51 можно искать частное решение в виде уг = х'е (В„,,(х) газ фх -Ь Таях) яви), (7) где з = О, если а -~- на не корень характеристического уравнения, и з равно кратности карня о -Ь )з1 в противном случае, а В н Т, многочлены степени т, равной наибольшей из степеней многочленов Р и С).
Чтобы найти коэффициенты многочленов Н,„и Т,, надо подставить решение (7) в уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах. Еще один метод отыскания частного решения уравнения с вещественными коэффициентами и правой частью вида (6) состоит в следующем. Сначала решают уравнение с правой частью Р(х)е~ З РО .
Вещественнан часть этого решения будет решением уравнения с правой частью Р(х)е" сов Щ а мнимая — решением уравнения с правой частью Р(х)е" 'яви. Если правая часть уравнения равна сумме нескольких функций вида Р(х)ез' и вида (6), то частное решение отыскивается по следующему правилу. Частное решение линейного уравнения с правой частью (~-~- +... + 1г Равно сУмме частных Решений УРавнений с той же левой частью и пРавыми частЯми 7м ..., Тг.
Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнении и общего решения однородного уравнении с той же левой частью. Пример. Решить уравнение у — бу + 9у = хе * +е * сов 2х. (8) Характеристическое уравнение Л -ОЛ +9Л = О имеет корень Л = 3 кратности 2 и корень Л = О кратности 1. Поэтому общее Решение адноРодного УРавнениЯ имеет вид Уа = (Сз + Сзх)ез + -~- Сз.
Правая часть (8) состоит из двух слагаемых вида (6); для первого 7 = а -Ь Щ = 3. а для второго а+ 61 = 3-Ь 21. Так как этн числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений ун' — бун + 9у' = хе *. у — бу' + 9у = е *' сан 2х,. (9) (10) Числа 7 = 3 является корнем кратности з = 2, поэтому частное решение уравнения (9) согласно (4) имеет вид у~ = хз(ат+ -РВ)еы. Подставив у = уг в (9), найдем о = 1/18, Ь = — 1/18. 52 311. Линейные уравнения с постоянными ноэугу1ициентами Далее, число а + ~% = 3 + 2г не явлнется корнем характеристического уравнении,поэтому частное решение уравнения (10) согласно (7) имеет вид дг = ез" (ссов2х+ ав1п2х). Подставив у = уг в (10), нейдем с = — 3/52, а' = — 1/26.
Общее решение уравнения (8) равно у = уо + дг -~- дг, где уе, ум уг уже найдены. 3. Линейное неоднородное уравнение аод~ ~'+аг1С~" ~+ ... + аоУ = /(х) (11) с любой правой частью /(х) решается методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение д = Сгуг+... +С у„линейного однородного уравнения с той же левой частью. Тогда решение уравнении (11) ищетсн в виде д = Сг(х)уг + ... + С„(х)у„. Функции С;(х) определнютсн из системы С,'д, + ... -Р С„' д.
= 0 Ср +...+С у„=б ао(С,'у,'"-О+ ... + С„'у~,'*-О) = /(х). 4. уравнение Эйлера аох у~"~+агх'" уф ~ т ... +по гху +аоу =/(х) (12) сводится к линейному уравнению с постоннными коэффициентами заменой независимого переменного х = е при х ) 0 (или х = — е при х ( 0). Для полученного уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид аоЛ(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2)... (Л вЂ” и+1)+... +а гЛ(Л вЂ” 1)+а„гЛ+а„= О. При составлении этого уравнения каждое произведение хмуро в (12) заменяется на произведение й убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2)...
(Л вЂ” й+ 1). Пример. Решить уравнение х у — т, у +2ху — 2д=х. ,3 го г е г з (13) 211. Линейные урпонения с постояннылси ноэ1Дфиииентпми 53 Сразу пишем характеристическое уравнение и решаем его: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) — Л(Л вЂ” 1) 4- 2Л вЂ” 2 = О. (14) (Л вЂ” 1)(Л вЂ” 3Л+ 2) = О, Лз = Лз = 1, Лз = 2. Прн таких Л общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид (согласно п. 1) Уо = (Сг + Сзс)е' + Сзем. Чтобы решить неоднородное уравнение (13), сначала раскроем скобки в (14): Лз — 4Л + ОЛ вЂ” 2 = О. По этому характеристическому уравнению составляем левую часть дифференциального уравнения, а правую часть получаем из правой части (13) заменой х = е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
