А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (DJVU) (1117998), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Исследовать движение груза в случаях Ьз < 4Ьгп и йз ) 4Ъи. 632. Решить предыдущую задачу при дополнительном условии, что к грузу приложена еще периодическая внешняя сила 1 = Ьа1пы1. Показать, что при любых начальных условиях движение груза будет приближаться к периодическому н найти это периодическое движение (вынужденные колебания). 111.
Линейные уравнения с постоянными ноэф4иииентами 61 633. На конце упругого стержня укреплена масса пь Другой конец стержня вибрирует так, что его смещение в момент 1 равно В гйп сей Упруган сила, возникающая в стержне, пропорциональна разности смещений его концов. Найти амплитуду А вынужденных колебаний массы пь Может ли быть А > В? (Массой стержня и трением пренебречь.) 634. Частица массы еп движется по оси Ош, отталкивансь от точки т = 0 с силой Згпго и притнгиваясь к точке х = 1 с силой 4тгы где го и га — расстояния до этих точек.
Определить движение частицы с начальными условинми х(0) = 2, х(0) = О. 635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоннного тока, дающего напряжение $', сопротивления В, самоиндукции Е н выключателя, который включается при 1 = О.
Найти зависимость силы тока от времени (при 1 > 0). 636. Решить предыдущую задачу, заменив самоиндукцию Ь конденсатором емкости С. Конденсатор до замыкания цепи не заряжен. 637. Последовательно включены сопротивление Л и конденсатор емкости С, зарнд которого при 1 = О равен у. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи при 1 > О. 638. Последовательно включены самоиндукция Е, сопротивление В и конденсатор емкости С, заряд которого при 1 = 0 равен д. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер. 639.
Последовательно включены источник тока, напряжение которого меннется по закону Е=$'з1поэй, сопротивление В и самоиндукция Е. Найти силу тока в цепи (установившийся режим). 640. Последовательно вклк>чены источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = Р'з1пый, сопротивление Л, самоиндукция Е и емкость С. Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте ы сила тока наибольшая'? 62 312. Линейные уравнения с переменными коэ4фиииентами 3 12. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Большинство задач этого параграфа решается с помощью методов общей теории линейных дифференциальных уравнений (см.
[1), гл. г', 3 2, 3 3 или [4], гл. 2, 3' 3, 3 5) и методов качественного исследовании линейных уравнений второго порядка (см. [1), гл. 1Г1, 3 2, и. 1, и. 3). К остальным задачам даны указании или ссылки на литературу. 2. Если известно частное решение уг линейного однородного уравнения п-го порядка, то порядок уравнения можно понизить, сохраняя линейность уравнения. Для этого в уравнение надо подставить у = угз и затем понизить порядок заменой г' = и. Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка аэ(х)угг + аг(х)у' + аг(х)у = О, у которого известно одно частное решение ум можно понизить порндок уравнения указанным выше способом. Однако удобнее воспользоваться формулой Остроградского — Пиувилля: уг уг [ — 1ебйе' аг(х) (=Се, р(х)= уг уг ао(х)' где уг и уг — любые два решения данного уравнения.
П ример. Пусть известно частное решение уг = х уравнения (х ч- 1)у — 2ху + 2у = О. По формуле Остроградского Лиувилля получим у уг -у( 'Т) = Се " м; Угре — УгУг = С(т + 1). у[ уг Так как функция уд известна, то мы получили линейное уравнение первого порядка относительно уг. Проще всего оно решается следующим способом.
Разделив обе части уравнения на уг~, получим слева производную от дроби уг/уг уг')' р у',— у р, С('Р1) И'=''=.' уг / уг уг Твк квк уг = х, то уг Р х +1 / 11 +СгСх+ уг х уг = С(х — 1) -~- Сгх. 2 12. Линейные уравнения с переменными коэффиииентами 63 Это — общее решение уравнения (1). 3.
Общего метода для отыскания частного решении линейного уравнения второго порядка не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора. Пример. Найти частное решение уравнения (2) (1 — 2х )у + 2у + 4у = О, являющееся алгебраическим многочленом (если такое решение существует). Сначала найдем степень многочлена. Подставляя у = х" + ... в уравнение (2)и выписывая только члены с самой старшей степенью буквы х, получим: — 2тэ. п(п — 1)х ~ -~- ...
-~- +4х" -~- ... = О. Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени х, получим: — 2п(п — 1) +4 = О; пэ — и — 2 = О. Отсюда пь = 2; корень пе = — 1 не годен (степень многочлена целое положительное число). Итак, многочлен может быть только второй степени. Ищем его в виде у = хе -~- ах -~- б. Подставляя в уравнение (2), получим (4а -~- 4)х -1- + 2+2в,+46 = О.
Следовательно, 4а+4 = О, 2+ 2а+46 = О. Отсюда а = — 1, Ь = О. Итак, многочлен у = х~ — х нвлнется частным решением. 4. При решении задач 738 — 750 воспользоваться следующими утверждениями, вытекающими, например, из З 7 гл. Ъ' книги (5). Пусть ~ДС)( ~( Пе при са Ч 1 ( ощ с, и = сопят > О. Тогда 1) уравнение ик + (1 + ф(1))и = О имеет два таких линейно независимых решении, что при 1 -е -~-оо 2) уравнение ин — (1 — ф(С))и = О имеет два таких линейно независимых решении, что при 1 — ь +~х> иь(1) = е' (1 + 0 ( — ) ), ие(г) = е ' (1 + О ( — ) ) . В задачах 641 — 662 исследовать, явлнются ли данные функции линейно зависимыми.
В каждой задаче функции рассматриваютсн в той области. в которой они все определены. 641. х+ 2, т — 2. 642. бх + 9, 8т + 12. 644. 1, х, х'. 643. в)пх, соьлн 645. 4 — х, 2х+ 3, бх, + 8. 64 2 12. Линеание уравнении с неуеменными коэффициентами 646 3+2 3,2 647. хз — х+ 3.
2хз -Ь х, 2х — 4. 654. вЬх, сЬх, 2е* — 1, 3е + 5. 656. япх, созх, в1п2х. 655. 2, 3*, 6*. 657. з|пх, яп(х+ 2), соз(х — 5). 661. х, [х[, 2х+ Лх~. 663. а) Явлнютсн ли линейно зависимыми на отрезке [а, 5) функции, графики которых изображены на рис, 1? б) Тот же вопрос длн рис. 2.
Рис. 1 Рис. 2 664. Известно, что длн функций ды .... у„детерминант Вронского в точке хе равен нулю, а в точке х~ не равен нулю. Молева ли что-нибудь сказать о линейной зависимости [или независимости) этих функций на отрезке [хо, хг)? 665. Детерминант Вронского дла функций ды ..., у„равен нулю при всех х. Могут ли быть зти функции линейно зависимыми? Линейно независимыми? 648. е', ез', ез* 650. 1, япзх, сов2х.
652. 1п(хз), 1п3х., 7. 658. их, ~/х+ 1, ~/т+ 2. 659. агс$8х. агссьих. 1. 660. хз, х[х[. з ~ з[ 649. х, е*, хе*. 651. зйх, сЬх, 2+ е . 653. х, О, е'. 2 12. Линейные уравнения е переменными нову?фиииентами 65 666. Что можно сказать о детерминанте Вронского функций ры ..., у„, если только известно, а) что они линейно зависимы? б) что они линейно независимы? 667. Функции уз — — х, уз = х", уз = ]хз] удовлетворяют уравнению хзуп — 5ху'+ 56 = О. Являются ли они линейно зависимыми на интервале ( — 1, 1)? Объяснить ответ.
668. Доказать, что два решения уравнения ун+ +р(х) р'+ + у(х)р = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении х, линейно зависимы. 669. Даны 4 решении уравнения уи' + ху = О, графики которых касаются друг друга в одной точке. Сколько линейно независимых имеется среди этих решений? 670.
Пользунсь известным утверждением об интервале существования решения линейного уравнения ([1], гл. е', конец 2 1), определить, на каком интервале существует решение данного уравнения с указанными начальными условиями (не решан уравненин): а) (х + 1)ун — 2у = О, у(0) = О, у'(0) = 2; б) уи + узх х, = О, у(5) = 1, у'(5) = О. 671. Могут ли графики двух решений уравнения у~"1 + + рг(х)у~н О + ...
+ р„(х)у = О (с непрерывными коэффициентами) на плоскости х. у а) пересекаться. б) касаться друг друга? 672. При каких и уравнение задачи 671 может иметь частное решение у = хз? 673. Линейное однородное уравнение какого порядка на интервале (О, 1) может иметь такие четыре частных решения: Уг —— хз — 2х + 2, дз = (т — 2)з, Уз = хз + х — 1, У4 = 1 — х? В каждой из задач 674 — 680 составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения.
6Т5. х, е*. 674. 1, созх. 676. Зх, х — 2, е'+ 1. 6ТТ. хз — Зх, 2хз+ 9, 2х+ 3. 679,, з 678. е', зЬх, сйх. 680. х, хз, ]тз]. 66 г 12. Линейные уравнен и с переленны.ии неэуеуиииентиии В задачах 681 — 701 найти общие решения данных уравнений, знан их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной функции ут = ее* или алгебраического многочлена уг — — т +ох" '+ Ьх" г+ ... 681.
(2х + 1) ун + 4ту' — 4у = О. 682. хг(х+ 1)ун — 2у = О: ут = 1+ 1~. 683. хун — (2х+ 1)у'+ (х+ 1)у = О. 684. хун + 2у' — ху = 0; уг = '— . 685. ун — 2(1 -~-18~ х)у = О: уг = 18х. 686. х(х — 1) ун — ху' + у = О. 687. (е + 1)ун — 2у' — е у = 0; уд = е — 1. 688. хгун 1п х — ху' + у = О. 689. ун — у'ейх+ 2у = О; уг = шпх.
690. (. ' — 1) ун + (» — 3) у' — у = О. 691. хун — (х + 1) у' — 2(х — 1)у = О. 692. ун + 4ху' + (4л:г + 2)у = О; уг = е * . 693. хун — (2х -1- 1)у' + 2у = О. 694. х(2 е + Цун + 2(х + 1) у' — 2у = О. 695. х(х + 4)ун — (2х + 4)у' + 2у = О. 696. х(хг + 6)ун — 4(тг + 3)у'+ бту = О, 697. (хг + 1)ун — 2у = О. 698. 2х(т + 2)ун + (2 — л:)у' + у = О. 699. хун' — ун — ху'+у = О; уг = х,, уг =е'. 700.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
