TERM1 (1117971), страница 7
Текст из файла (страница 7)
и~) поверхности М и точкой Р. С другой стороны, в силу произвольности ! падкой кривой ц, числа пи!!!!11 ~! — с„произвольны. Поэтому касательное пространство ТрМ это линейное пространство, натянутое на вскгорь! Оаы..., д„ю где через д„, обозначен вектор гтолбсц (дх! Хди',..., Ох" (Ои') Поверхности. Первая фузгдаментальная форма. 3.4 Индуцированная метрика или первая фундаментальная форма регулярной поверхности Пусччь как н выше, Р произвольная точка регулярнон А-мерной поверхности М С 1й". Скалярное произведение векторов в,й" порождает скалярное произведение касательных векторов из ТрМ. А именно, пусть д и д касательные векторы к поверхности Л1 в точке Р.
Пусть (из,..., и") координаты на поверхности М, а С вЂ” (С С ) зз ц — (ц:: з1 ) компоненты касательных векторов С и ц в относительно этих координат. Тогда (з = Л,(д д„, н ц = Л, за д„, где (д„,) канонический базис в точке Р. Поэтому скалярное произведение векторов д и ц (как векторов в й") может бьггь вычислено так: (~ з1) — (~ сз д, ~~, ',з д,) — ~~, "(д, д,)кз Числа (ди,, д, ), образующие матрицу Граьзъга канонического базиса (д, ), обозначаются через до(Р) и пазываютгя кожпоигптали инддцировапной мвт1зикзц нлн кожпоиеитижи первой фдидииептальиой формы поверхности ЛХ или колзпоигитажи первой квадратичной формы поверхности М в коордииатат из,..., зз~.
Если поверхность задана отображением г с координатными функциями х (и,..., и ), то дхг дхг д, (и,..., и ) = (г1„,, д„, ) = ~~ Отметим, что компоненты метрики гладкие функпии координат и', т.е. гладко зависят от точки Р. Таким образом, соли фиксированы координаты (и,..., и") на поверхности М, то в какдой ее точке Р = (и',..., ил) определена квадратная (д х к) матрица 1.(и) = (д, (и)) ззатрица инддцироваиной метрики или ,ивтрицв первой квадратичной формы поверхности.
Матрипа С по опрсде; пению это матрица Грамма, поэтому она симметрична (что очевидно), нсвырождена и положительно определена (что известно пз линейной алгебры). /1алее, если задана замена параметрнзацин и' = и'(и',.... и~) поверхности М, то в каждой точке определено две матрицы: зд(и) = (дн(и) = (ди,,д„,)) и С(и) = (дгч(и) = (д„юдае)). Так как 6(и) и С(зз) матрицы Грамма двух разных канонических базззсов, связанных в силу предложения 3.2 с помощью матрицы Якоби замены параметриззазгнн, заключаем, что б (и) = да О(зз(и))э', где д = ('з",) матрица Якоби замены параметризацнн. Этот результат можно лез-ко полу зять н непосре:1ственно, вогпользовавщись теоремой о дифференцировании сложной функпии.
В Поверхности. Первая фузздаментальная форма. покомпонснтной записи он выглядит так: диг ди" д» (зл,..., зз ) = ~ дзч(и (зз,..., зл ),..., г (и,..., и )), кч где частные производные ззычисляются в точке ~и',..., иь). Итак, мы показали, что при замене координат на повсрхностзз матрица ее первой квадратичной формы меняется так, как меняется матрица билинейной (квадрззтичззой) формы ца линейном пространстве при замене базиса.
Подведем итог. сформулировав следующее предлохсение. Предложьзниьз 3.3 Пусть ЛХ нроиэво.зьная регулярная повергность в Рп, и Р любая ес и>очка. Тогда на касазпсльнои просзпринсзпвс ТрМ, рассжатрззвае,.ио,н как линьиное просзпранство, корректно определена невьзрождснньзя положительно озьрсдельнная си нжстричная билиньйнст фариа еЗ, матрица С' = (у„) которой в канозззз зсскозз базисе зьд„,) произвольной системы координат (зз~,..., иь) это житрица Три.ньза этого хтзноничсского базиса. При вилене параяепзризации и; = и')и,..., ил) .иазприца первой квадро>пичной формы,ненястся по закону иэженения матриц билинеиныл форм: Г(и) = этз"(з>(зз))э', где,У = (э„",) иатрззца Якоби эаятсы лоординазп.
Опродеяенио. Билинейная форма ез пз предложения 3.3 я соответствующая квадратичная форма называются первой квадратичной формой поверхности или зззздузрзроваззной жетриьозй Замечание. Пусть с и ц касательные векторы к регулярной поверхности М в точке Р. Тогда их скалярное произведение может быть вычислено с помощью первой квадратичной формы так: (б, у) = збф, ц). С точки зрения линейной алгебры это скалярное произведение, заданное в линейном пространстве ТгМ билинейной формой к>. Отметим, что по определению зто скалярное произведение совпадает со стандартным скалярным щ>оиэвсдением векторов д и ц, как векторов в Й'.
Если фиксированы координаты (и,..., и ) на поверхности, Я,..., С ') и (ц,..., ц ) компоненты векторов б и у соответственно, а (д, ) матрица нервов квадратичной формы поверхности М в точке Р в координатах )и,..., и ), то скалярное произведсние вычцслястся так: Отметим, ччо полученное число не ззавзлсит от выбора коорзилнат на поверхности. Отметим также, что если задана индуцированная метрика, то для вычисления скалярного произведения касательных векторов, их длин и Поверхности.
Рй рввя фундаментальная форма. углов между пипи нет пеооходимости вычислять их координаты в объемлющем пространстве. Достаточно знаьь их компоненты относительно системы координат на поверхности. В частности, нам не важен конкретный вид отображения г, задающего поверхность. Иногда, чтобы подчеркнуть этот факт, говорят, что ока зярное произведение вычисллетсл ва внуп~рвннях терминах, а нндупированную метрику называ|от внутренней,иетрикои поверхности.
Здесь слово "внутреннии" подчеркивает независимость вычислений скалярных произведений от обьсмлющего пространства. Замочанио. В теории двумерных поверхностей в 1Рз приняты следующие обозначения: Уы = Е, 0щ = ую = Р, узз = С, таким образом, матрица индуцированной метрики записывается в виде: '-=(' ') С помощью метрики легко записываются длины касательных векторов и углы между ними. В частности, через компоненты метрики удобно записать длину кривой у: 1а, Ь] — В 1а'", лежащей нв поверхности ЛХ, а также величину угла между такими пересекающимися кривыми. Если 1и 11),..., и" (1)) запись кривой у в координатах 1и',..., и~) поверхности И, то «1Т) = / ]у11)] М = / ~ ~уми Ь1)иРЯ Ж.
а О Долее, пусть;1 н уз две кривые на поверхности, пересекаюпшеся в точке Р. Тогда уело.п .вежду кривы.ии из и уз в точке Р называется меяыпий из двух углов между касательными векторами к этим кривым в точке Р. Напомним, что угол между векторами определяется через скалярное произведение. Л именно, если а и Ь произвольные векторы, то косинус угла между ними по определению равен 1а, Ь) ]а]] ]Ь ] Ясно, что если Р точка регулярной поверхности ЯХ, кривые ур заданы координатными фуцкпиямя, т.е.
в виде и' = и'11), р = 1,2, и касвтельр р ныс векторы уг записаны в виде столбцов координат относительно канонического базиса 1дв.), то косинус угла р между кривыми;~р пожег быть вы зислен так: х увв1Р)и~из сов р Гь. ВВК4Уьк а|К'*' Поверхности. Первая фундаментальная форма,. Замечание. В дифференциальной геометрии первую квадратп шую форму часто называют "квадратом элемента длины' поверхности.
В этом случае используют так называемую 'запись в дифференциалах'". При этом саму форму е1 обозначают через дл — "квадрат элемента длины" и, в координатах (и,..., и '), записывают форму б в виде денс!и с д Эта запись приобретает смысл. если договориться обозначать через (Ы) линейныс функционалы на касательном пространстве був!г1, образуюшис в двойственном пространстве Т~~М двойственный базис по отношению к каноническому базису (д„,).
Напомним, что двойственный базис в !'",6! однозначно опрелеляется из соотношений г!и'(д„,) = 6' (эдессе как обычно, трез б' обозначены символы Кронексра). При этом, очевидно, если а = (а',..., а") касательный вектор, заданный своими координатами в каноническом базисе (д * ), то значение функционала с!и! на векторе и равно аэ. Теперь выражение для г!лз можно воспринимать как запись квадратичной формы в виде (симметричной) комбинации произведений линейных форм (т.с. как элеъпнт пространства Ь (1~",.И)). Значение формы гдэз на паре векторов а и 6 вычисляется так: !лз(и,6) = ~ ~д з йи '(а) йй(6) = ~ д ли" 6", где а, = (а!), и 6 = (6'), что полностью согласуется с данными выше определениями.
Отметим, что запись в дифференциалах удобно использовать для непосредственных вычислений ин,луцированной метрики: если записать квадрат элемента длины в объемлющем пространстве Л" с декартовыми координатами (л',..., ла~ в виде 2 (! 1)з+ +(1 а)2 подстагп1ть в это выражение явный вид задаюших поверхность координатных функций л' = л'(и,..., и ), честно вычислить дифференциалы с!лр н записать полученное выражение как полипом от азиз, то получится выракснис для первой квадратичной формы поверхности (проверьте это). Приведем примеры вычисления индуцированной метрики.
Пример. В качестве первого примера, рассмотрим двумерную плоскость П в Х~, заданнУю паРаметРичсски в виде г (и, из) = ге+ аз и + аз и, где гс, а~ и аз фиксированные векторы, при 1е л а1 и аз линейно независимы. Поверхности. Первая фундаментальная форма. Поскольку, очевидно, д„, = оо ! = 1,2, поверхность П невырождена в ка- ждой своей точке.
Первая квадратичная форма 1бп плоскости П постоянна и имеет вид дзз = (аы а1)(ь!и')з + 2(аы из)с!и' диз + (аз, аз)(ди )", или, в матричном виде, (аы аз) (аы из) а', аз о) а,' т где д — матрица, столбцы которой суть векторы а1 и аз соответственно. Пример. Зададим стандартную сферу радиуса Л в Р~ параметрнческн так: В координатах !д, р) первая квадратичная форма сферы имеет вид; де = Л (дд) + Л соз 1!(с!р) . Л.п1на четверти меридиана р = узс, д Е ~0, я/2), например, вычисляется так: /з с Л !..-сь а=сан. е Пример. Пусть поверхность зелена в виде графика - = д)х,у). Тогда соответствующее параметрическое представление имеет вид: = ( , у: У! х, у)), = (1: О. ) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
