TERM1 (1117971), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Пусть г; Й вЂ” ь .к' непрерывная параметрическая поверхность. Рассмотрим произвольное взаимно-однозначное непрерывное вместе со своим обратным отображение р: й' — ь й области Й' С йв па область й С "чь. Каждое такое отображение порождает новую иепрерывнукз параметрическую поверхность г о уп Й' Ь л" н называется замвнои' парамтпризации для г.

Отметим, что г и г о р совпадают как подмножества пространства !кд', т.е. имеют совпадщощпе образы. Кроме того, если,. замена парамстрнзации, то !в также является заменой парамстризаписй. В слу— 1 чае, когда поверхность ь гладкая, мы будем дополнительно предполагать, что замены параметризации р и р гладкис. При этом, как легко видстьч дифференпиалы отображений ьв и уз всюду невырождены, — 1 т.е. залюотся невырожденными матрицами. Поэтому, в сделанных предположениях, замена парамстризации сохраняет свойство параметрической поверхности быть непрерывной, гладкой или регулярной. Определение.

Поверхностью в пространстве о!и называется семейство всех параметрических поверхностей, каждая пара которых отличается на замену параметризации. Поверхности. Первая фундаментальная форма. Из сделанных соглашений относительно возможных замен параметризапии вытекает, что понятия гладкости и регулярности естественно переносятся и на поверхности. Таким образом, можно говорить о гладких и регул,ярны,г поверхностях.

Ясно, что задание поверхности равносильно 'заданию произвольного представителя этой поверхности, т.е. заданизо параметрической поверхности. Последнее приводит к тому, что традипиовпо, говоря про параметрические поверхности, слово 'парамстрическии' опускают. Кроме того, переход от параметрической поверхности г к параметрической поверхности го а, где !с замена параметриэации, наэыва|от заленой координат на поверхности г.

Л1ы также будем следовать этой традиции там, где нс возникает путанипы. 3.2 Три способа задания поверхностей Как мы только тго сказали, чтобы задать поверхность, достаточно задать подходящую параметрическую поверхность, т.с. отображение г: Й вЂ” ~ Р~. Такой способ задания поверхностей называется паралгтрическил. Однако, часто поверхность удобно задавать другими способами.

Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая регулярных гпперповерхностсй в !В'.", т.е. регулярных поверхностей размерности и, — 1 (случай обшей регулярной и-мерной поверхности в Р" разбирается анс.огично).. Мгл опишем следующие два способа задания гиперповерхностей: 1) график гладкой фуякпии )': Й вЂ” ~ .й, где Й область в .Ли ', т.е. множество таких точек (л,..., л"), что ли = д!т,,..., з ~ ); 2) множество ЛХ решений уравнения Г1л:~,, яи) = О, глс Г гладкал функция, дифференциал дГ = )Г ы..., Г ) которой отличен от нуля во всех точках из Л1.

Разберемся как связаны мезкду собой эти три способа задания поверхностей. Пусть !л1,..., к") стандартные координаты вЬ", и л" = 1!л~,..., л" некоторая гладкая функция, определенная на ооласти Й С к" 1. "Гогда гладкое отображение г: Й вЂ” ь Д", определенное так: г: )и,...,и' ) ~ — ~ (и,...,и', д~и,...,ив )), задает регулярную поверхность. так как векторы ги1 = (1, .О,..., .О, )'„~),. ..., г 1 = (О,...,О, 1, Г„„, 1) линейно независимы в каждой точке области Й. Говорят, что поверхность 1 задана срафикол функции !. Покажем тепергь что регулярную гиперповерхность в некоторой окрестности каждой ее точки можно задать в виде графика некоторой гладкой функции.

Пусть поверхность задана парамстрически так: г: Й вЂ” э Х", где 27 Повсрхностп. 1!ерная фундаментальная форма. П некоторая область в йа, и пусть х" = х'(и",...,««~ '), 1 = 1,..., п, соответству«оп«ие координатные функции. Пусть Р Е П произвольная точка, Р = (ив,..., и««), и положим т(Р) = (хс,..., х(,'). Тзк как поверхность т регулярна, ранг затрпцы Якоби (дх«««диз) отображс««ия т равен п — 1 в каждой точке и, в частности, в точке Р. Предположим для определенности, что первые п, — ! строк матрицы Якоби в точке Р линейно независимы. !'огда, по теореме об обратной функции, примененной к первым п — 1 функциям хл(и,..., ив ), « = 1,..., т« — 1, в некоторой окрестности И" точки (гв,..., га' ) е.к" су««леству«от функции и«(х,..., х~ ), задающие обратное отображение.

Последнее означает, что х'(и (х,...,хи ),...,ив (х ....,х" )) =х', «=1,...,п — 1 длв всех (х«,... ыт" «) из И'. По определению, функции и« = и«(х«,..., ги ') задают регулярную замену координат на т. Воспользовавшись этой заменой, получим нового предсташпеля поверхности г, имеющего следуюший специальный вид: з = г', « = 1,...,п — 1: г~ = х" (и (х,...,г" ),...,и" (х,...,т," )), Таким образом, в окрестности точки Р образ поверхности совпадает с графиком гладкой функции .ги = ха(г,..., х" '), или, другими словами, поверхность задана графиком функции х".

Далее, пусть Р(г,,..., х") гладкая функ«лия, определенная на некоторой области в ,'й". Рассмотрим множество уровня этой функции ЛХ = (Г = О). Пусть Р й М имеет координаты (хв,...,х,«), и предположим, что «з точке Р дифференциал «11г = (1",,..., 1',.) функции Р отличен от нуля.

Без ограничения общности, будем прсдполагат«ч что Г,. (Р) Р О, тогда, по теореме о неявной функции, в некоторой окрестности И точки Р множест«зо Л1 О 1Г задается в виде графика некоторой гладкой функции х" = ! (х,..., х' ), определенной в некоторой окрестности П точки (хв,..., хс ') Е .'йа '. В частности, ««ля всех (х',..., та ') Е 1; выполняется Г(х«,...,:«", «"(.т,..., г" )) = О. Таким образом, М О И зто некоторая регулярная поверхность, про которую мы будем говорить, что она задиел«сл валиной фцикиисй Г. Отметим, что если во всех толках из М дифференциал Г отличен от нуля, то М представимо как объединение образов регулярных поверхностей.

Покажем, наконец, что локально каждую поверхность ложно задать некоторой неявной функцией. Действительно, как уже было доказано, локально каждая поверхность задается графиком некоторой гладкой функпии х" = !(х,...,ха ),поэтому такую поверхность можно задать с помощью неявной функплли 1з(х',..., «л«а) = х" — )'(х',..., ха '), что и требовалось. '1'аким образом, мы доказали следующую теорему. 28 ХХовсрхногтп. ХХервяя фундаментальная форма. Теорема 3.1 Три опиганиых, гпособа задалнля регулярной ттгрповсрхаоспт, т.г.

в виде пара.яетрической поверхностщ ь виде графика,. лидкой функции и с помощью неявной функции с отличным от нуля дифференциалом, эквивалентны, с локальной точки зртшя: дяя каэкдой точки Р ргзу.мрной поверхности М в нскоплорой окресльлносльли лпочклл Р поверхность ЛХ можно задапгь ка:ясдыя из пере тсяенпьлх трех способов. гпражнение 3.2 Обобп1ить теорему д.! на сялучал! регулярных Е-яерньлх поверхностей в .й". Следствие 3.1 В некоторой окрсгтиогти каждой точки параягтризуюилее отображыиш регулярной' поверхности азии.ино-однозначно с образом.

Доказательство. Это очевидно, так как в силу теоремы 3.1 любая поверхность в окрестности неособой точки может быть парамстрнзована в виде графика некоторой гладкой функпин. Такая параметрнзапия, очевидно, взаимно-о,знозаначпа. 1'егулнрнаа поверхность г: Й вЂ” л .Дч называстгя вложенной, если г взанмно-однозначное с обрезом отображение. В силу следствия 3.1, в достаточно малой окрестности каждой точки Р Е Й, т.е.

локалл,по, каждая рсгулярпаа поверхность является вложенной. В дальнейшем, изучая локальные характеристики поверхностей, мы всел да бу, 1ем предполагать, что рассматриваемые поверхности вложены. Вложенность поверхности позволяет отоллдествллть поверхность с ее ооразом. Таким ооразом, мы будем говорить 'пусть М С 11т некоторая 6-мерная поверхность, и и' координаты на ней", понимая под этим. что Л! является образом вложенной поверхности г.: Й л 1д', Й С 11 , .н и' стандартные координаты в Р~. В частности, 'точка Р, лсжашая на поверхности ЛХ", зто как точка из Й, так и соотвстствчлолпая точка нз 3.3 Кривые, координатные линии, касательное пространство и канонический репер на регулярной поверхности Пусть ЛХ С 1Я," регулярнаа поверхность. Говорят, что кривая у:[а,6] -л Р" лежит на ЛХ, если образ отооражсння у принадлежит ЛХ.

В силу лззаллмллойл однозначности парахлетрллзующел о поверхнопп, М отображения г: Й вЂ” ь Р", каждая такая кривая у задаст кривую =,: [а, 6] — > Й в области Й, такую что =~ о р = у. Ооратно, каж чая кривая ц: [а, 6] — ь Й задаст кривую ; = у о р в 1", лежашую па поверхности ЛХ. В силу регулярности поверхности М, кривые у и "; являются гладкими [рсл улнрными] одновременно. В дальнейшем мы, как правило, пе будем различать кривые 1: [а, 6] — Ь Й и 3 —— . [а, 6] — ь Л" и будем называть каждую нз них кривой на поверхности Л!. 29 Повсрхкогти. Первая фундаасентальная форма.

Если (и,..., и ) координаты в области Й, то лля того чтобы задать кривую на поверхности достаточно задать набор функпий и'(!), ! = 1,..., 10 ко ж>рые называются координатнь!.ви функ!!ил.ии кривой. Ясно,. что зти координатные функции определяют соответствующее отображение ! (и'(1),..., ил(1)) отрезка в !к,'. которое в координатах (х',... огп) шю ладит так: х (1) = х'(и'(1),..., и~(1)), где,гу(и!,..., ил) координатные функции поверхности г. Пример. Через каждую точку на поверхности М проходит й так называемых координатных, лини!1, вдоль каждой из которых меняется ровно одна координата и', а остальные постоянны.

Более формально, если Р Е ЛХ точка на поверхпогги с координатами ис,..., ив, то г-ой координатной ! я .ьинигй, проходящей через точку Р, называется кривая, заданная так: ий(1) = ил!, у ф к и!(1) = Х. Пусть Р к ЛХ произвольная точка, и у(1) гладкая кривая, лежащая на М. Пусть у(0) = Р, т.г. у проходит через Р. Вектор скорости л1(0) кривой Т в точке Р назонам кссвтвльныж вектором к М в я!очке Р. Совокупность касательных векторов в точке Р ко всем гладким кривым на поверхности М, проходящим через згу то псу, называется касательны.н пространством к поверхности М в точке Р и обозначается через ТрЛХ. Изучим структуру кагательного пространства '/г М.

Пусть, как и вылив, :.г' = х'(и',...,и~), .!' = 1,...,и, координатные функции поверхности ЛХ. Возьмем произвольную кривую Т(1) на поверхности, проходящую через точку Р, и пусть и! = иУ(1) координатные функпии этой кривой, а Р = Т(1в). 'Тогда г-ая координата соответствующе! о касательного вектора имеет вид: с1х' дх' л с=! !! и'! Таким образом, касательный вектор к кривой у произвольный элемент касательного пространства Тг М это линейная комбинапия следующего вида: с где векторы-столбцы (Ох!/Ои',..., с)х" /дн'), ! = 1,..., Й, не зависят от выбора крнвои -! н однозначно определяются координатными функциями ;.г!(и',....

Характеристики

Список файлов лекций