TERM1 (1117971), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Ве.шчина Еь)в), обратная кривизне, т.е. гс(я) = 177к(я), называется радиуса.н кривизны в и!очке -~(в) 1ссэли й(ь) = О, то полагают 21(в) = о"). Примеры вычисления кривизны. Вычис шм кривизну отрелса прямой и окружности. В натуральной параметризации координатные функции, задаюшис отрезок, .линейны )см. выше), поэтому ускорение равно нуяю и, значит, кривизна отрезка прямой равна нулю. Натуральная параметризлция "71я) окру кпосе 77 радву а и на пл 7ск 7стн Н~ имеет внд )см. выше): 1 з э к 1з) =йсоь —, я 1з)=йып— и й где 7 Е )о,втй).

Вы 7нслнм 77екчор ускоренна !ея 1 з ! з) 1е) = ! — — сое —, — — ып— й й й й) -7з17) = ( — еш —,сое — ), й й Нсн 7, что длина векторач равна 1,7й,, поэтому крввиэнаокру7кно7 ти постоянна н равна 17'й, а радиус кривизны совпадает с радиусом окружности. 'Упражнение 1.8 Если 1 произво.льный пара, истр на регулярной гривой ), 7по кривизна в тсэчке;г)1) может быть вьсчислена по след7уюи!е7! 1рормуле: й(1) = !; ф х .)11) ! ! "7'11) 7! где через !и х ш!! л7ы обозначи.7и площадь паралэш,шграмма, нап7янулпого нс7 бек!парь! и и 'ш из й о случае кривой на плоскости )Р 717орллу7а дяя кривизны в яаном виде з выел иди п7 п2ак: )711) сэ ,е(1)у<1) — ' (2)у(1) (:.(1)з+ у)з) ' где )7и, у) стандс1ртнь7с координап1ы на плоскости Р77 и д7171) = 1г)71), у(1)).

Доказательство. 1)ействллтсльно, по прсдложсншо 1.3, имеем (-)1в), о(я)) = 1. Дифференцируя это равенство по в. получаем Кривыг на плоскости. Регулярная параметрическая кри>зая О (1) навьи>ается бпрегуллрной, если се кривизна всюду отлична от нуля. Из упражнения 1.8 вытекает, что бирсгулярность кривой равносильна следуюгпему условию: векторы скорости )(1) и ускорения >)(1) прв любой параметризапви регулярной кривой; линейно независимы в каждой точке 11ь). Рассмотрим теперь случай плоской кривая. Итак, пусть и = 2, и ~(а) натурально параметризованная бирсгулярная кривая в Х~. Обозначим через т единичный вектор скорости 1(а) в точке,(а), т.е.

т = 1(а), а через нормированный вектор ускорения в точке; (з), т.е. и = >)(а)! ~7иа) ~~. Вектор и называется глаоной нормалью к "> в точке >(а). Из предло>кения 1.4 следует, что пара (т, и) образует ортонормированпый репер в каждой точке у(ь), называемый рс-перо.н Франс. Тс>ерема 1.1 (Формулы Фраме) В сделаннсях предположениях, инеетп лес>по следующая спгпмла цраанснай> < т= йи, и= — йт, где й = 1(ь) обозно чаев> краапзну купоой у а пьочкс у~а). Доказательство. Первое равенство мгновенно вытекает из определения векторов т и и. Докажем второе равенство. Дифференцируя тождество (и, и) = 1, находим, что (и, и) = О, т.е.

вектор и перпендикулярен и и, пп>тому, колинеарен с т. Следовательно, ь =(и,т)т. Покажем, что (и, т) = — ьч Для этого продиффсрснцирусм тождество (и, т) = О. Получаем О = (и, т) + (и,т) = (и, т) + (и,>си) = (и, т) + к, что и требовалось. г[ля плоских кривых более естественным является понятие ориентированной кривизны. Пусть О(а) натурально параметризованная плоская регулярная кривая, и и,(в) се лсйство единичных нормалей, таких что при каждом а пара (")(з), и„(ь)) образует положительно ориентированный базис (м>л предполагаем, что плоскость канонически ориентирована). Определение.

Орнснгпароаанной кривизной 1,(ь) кривой у а п>очке;~(а) называется число (->>(я), ь,(а)). Легко видеть, что й,~а) = ~й~а). Кроме того, формулы Фрепе из теоремы 1.1 естественно переписываются через ориентированную кривизну. Л именно, 1(рзсвыг на плоско гти. Теорема 1.2 (Формулы Френе для ориентированной кривизны) В сделанных прсдпоь!оженият, имеет .,несто следующая система уравненаа: с=А,сьм ь йь = — к, г.

Более того, ориснтированная кривизна моясет быть вычислена через произвольную парамстризаьнпо кривой по аналогии с упражнением 1.с. оспражнение 1.9 Если 1 произвольный парамтпр на регулярной кривои 'у, то ориентированная кривизна г !почке ~ф .ноже!п быть вы сислена по следующей угор.нуле: где через ахи мы обозначили ориенсяированную !ыощадь пара.тс.!ограмма, натянутого нса векторь! и и т из !Ь: ег.ли и = (с!, и ), а и = (!с, т ), то и х щ = ьд!яз — из и!. В явном вис!е у!орлу!ла ды ориентированной криююны ьыглядшп !пак: х! !)уЯ вЂ” х)с)у(Х) о~1~ = л (х~~) з + М~)') ' где (х, у) с!пандиртныс координаты нс! плосконпи Р~, и ч(С) = (х(с), у(С)).

Оказывается, ориентированная кривизна полпогтью определяет форму кривой. Теорема 1.3 Пусть )'рв) ссроизвольная глс!дкая ср!р!кс!ия. уогда с то !- частью до движетм сущее!паус.т сдинстьснная !таская регу.трноя кривая у, нот ура яьно паро.иетризованная парамгп!ром я, такая что ев ориентированная криьизно 1,(я) в каждой точке у(я) равна з"(з). Доказательство. Пусть -с(я) — произвольная натурально параметризованная регулярная кривая, и 1ься) ес ориентированная кривизна. Так как вектор -! сдипи'ный, его можно представить как (соь !о, в!в!о). Поэтому — ь!и !р сов !р) — р Ро(в); откуда !р = кю.

Следовательно, !а(в) = !рс+ ~ А,(Х) д1, х (в) = хс+ / сов!о(1) Ж, х"!я) = хе+ ~ яьч р(Х) сН, за за Л где сьс, х! и хс некоторые числа. ! Таким образом, если функция 1,(,я) фиксирована и равна З ря), то кривая с задается однозначно с точностью до чисел рв,,ха и х„. Первое из ник ! .2 )(ривыг на плоскости. )4 соответствует повороу плоскости на угол зоо, в вектор [ло, л„) с,1вягу. 2 Приведенные выше формулы, после подстановки в ннх вместо )ее[в) функпии у [л), дают явное выражение кривой Т через у [л).

Доказательство закончено. Опродсление. Соотношение лл[л) = у [л) называется нотурпльныж урапнытеж плоской нрпеой. О явных решениях натурального уравнения. Отметим, что решить натуральное уравнение в явном виде часто не удается иитегрвлы,как правило,не берутся. Ска»сем, с~ли мы рлссмотрни натуралыюе уравнение и (з) = ал -'Г К то даже в том, на первый взгляд простом случае, у к» полл»яюзся специальные функции инте1рллы Фре»елл.

Однако чнс юнпо найти р .шенне не составляет труда, ~ и. рнс. 3. Рнс. 3: Крнзгая, ориентированная кривизна которой равна Зл+), л Е [ — о, б]. Добавление 1. Соприкасающаяся окружность. Выясним ггоъиетрнческий смысл рад~лу а кривизны. /[лл »гого опр~ дел . 1 л ° '1 сружность, касающаяся кривои в данной точке с максимальным порядком, ил~лег радиус, равный радиусу кривизны. !'асслеотрим на плоскосги пару регулярных кривых Чз и Зз и предположим, что они пересекаются в точке Р. Отнесем обе кривых к натуральному параметру з, выбрав в качестве начальной точки точку пересечения Р.

Таким образом, длина отрезка кривой от то ики Р = у,)0) до "1Д») рлвпл л. Ясно, что Чз[0) — Чз(0) = О, и для нексторого ь ) 0 выполи»езс» ш[») — чз(л) = 4» ) «рн л -е О )н функшея ",4») называется о(з~) при з — з О, если ]]ч[з)]]1»л стремится к нушо прн з — з 0). Максимальное 1е, для которого справсд.шво это соотношение, называотся перла»еж касания ариезег -и и чз. Пример. Пусть 0)з) пропзвозьная регулярная кривая, парамсгризов в~на» натуральным параметром, и Р = З(0) точка на ней. Рассмотрим семейство прямьзх на плоскости, проходящих через зту точку и тоже параметризованных натуральным параметром.

Ка» дая такал прям1л1 нмееь вид 1л[») = Н зяз!0), гдето единичный в|кго1ь Найдем и ~рядок касания прямой 1г и кривои ч в точке л = О. Имеем: ч)з) — 1п[л) =",(О) с Ч')0) з + о(л) — ч)0) — Ез = (Ч'[О) — Е]з + о(з), л е О. !!озтолиу все прямые, кроме 1 1о1, имеют порядок касанил О, а порлдок касания прямой 1. 1о1 не меньше 1. 1(ривыг на вдоскогти. !, .

! р скоростью мы движемся вдоль кривых. Пусть снова ",(л) произвольнвл чыоская ршулярнав кривая, параметризованная натурачьным парамотром, и Р = э(О) точка на ней. Предположим сначшча, что кривизна кривой з)з) отлична от нуля в точке е = О. Рассмотриь! всевозможные окружности с)л), параметризованные натурачьно, проходящие через точку Р и касающиеся кривой ";(я]. Это множ! ство распадае ! ся на два сем йсч на: с! 1л) = 1 -1- Я! ! 10] — — Я! (сов [ -~- р!], 5!и[ -1- ю! ] ), 14! ' Я! сэчл): Р— Я! ! )0) — ЯЗ (со. [ — — ф тэ] л!и[ — — 4 рз]) Яз Бл где и, радиус окружности, а „э, находятся из условий (совр!,ь!п„э!) = — ! 10) и !сов рг,ып из) = и (0), гарантирующих, что с,10) = э(0), см. рислк ч.

ч! Рис. 4: Два семейства окружностей! касающихся кривой. Так как 21з) — с,!я) =т(0) — с,!0)4- '1ч'10) — с,'10))лд- — '1з '(О) — с,10))з 4-о1я ), 2 то. в силу формул Сврене для ориентированной кривизны, см. теорему 1.2, имеем -(з) — с!(ь) = — (й,(О)в (0) — ! — совр!,— юпт!))л -со(з = — (!ы)0) и йо) — — ! о!0)) з -1- а)з ,'!чл) — сз(е) = — )й )0)! !ч0) — — ! — совтг.— ыпчэг))з 4-о)з ) = = — (А„)0) ! (О) -1- — ! (О)) е 4- о(.! ). Отсюда заключаем, что условие касания порядка не меньше двух имеет вид Ла)0) = ! и! длв первого семейства и 1 ° 10) = — — для второго.

Однакэ Яч Р О, поэтому в случл! ! вз 1 10) Р О лому условшо удовэютворяет ровно одна окружность из первого ссмойсчва, а в случае Ле)0) ( 0 лишь одна окружность из второго семейства. Отметим, что в оооих случаях радиус такой окружности равен !(1!О), т.с, радиусу кривизны Я кривой, а венгр налодичся в точке Р 4- — и = Р 4- — и = Р)-Яи. ! Пусть теперь кривизна кривой т(з) в точке з = О равна пулю. Тогда легко видеччч что прлмая, касающаясл кривой в точке "1!0), имеет порлдок касания нс моньше, чом 2. Гели прямые рассматривать как окружности бесконечного радиуса, то, опять же, за«лючаем, что и в этом случае супчествует единственная окружность, насаюшвяся кривой э'(5) с порядком не лченьшим 2.

И!ах, лчы дока.чали с.ледуюшее утвер кдение. 1(рпныг на плоскости. Утверждение. 1.1 Орсои оссх окр!ох«костей, ароходнших через кот торую 11!чкс!чрчо оаю!ую точку 1э рсгуллр ° ой криьой, сушьсезоуст сдшчстост!ал окружность, длл которой сс порлдок касакил с кривой больше или равен доум. Радиуг той окрулскости раасн радиусу криьиокы Л криоои ь то тс Р, а цека р каходитсл о то !кс Р-~- ! и„=Р-~- ч! =Р-уЛ!« Определение. Окружность нз утверждение 1.1 называется соорикасщои!сйсл окрухсиогтью кривой; в точке Р.

Характеристики

Список файлов лекций