TERM1 (1117971), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поверхности. Вторая фундвлгентальнвя форъга. Пусть П произвольная г>роходягпая через Р Е М двумерная плоскость, нс лежащая в ТрМ. Несложно показать, что П пересекает поверхность М около точки Р по некоторой регулярной кривой у. Каждая такая кривая называется плоским сече>гаем, проходящим через Р. Если плоскость 11 проходит через нормаль Л к понерхности М в точке Р, то плоское сечение ! называется нормальны.н. Если 1 произвольный параметр на;, такой что ЯО) = Р, то оудсм говорить, что сечение Т проведено в направлении 0~0). Тоорома 4.1 !Об отношении форм) Пусть с, Е ТрМ произвольны ненулевой сектор, "г плоское ссчснис, >гровсденное через Р а направле.— нии (, п 0 кривпзна сечения т в точт !'.
Тогда пли 1. и дф) одновре.- менно равны нугю, сти 1 сов0 = дФ) 'бЮ ' здс 0 угол .исокду главной нормалью т к сечению э и нормалью гйг к пооерлнотпи М в точке Р (>гаполнигг, что вторая фунда ненп>альная форма вычисляется по отнотеншо к >У). Доказательство. Условие й = 0 равносильно линейной зависимости векторов ч и;, а последнее условие равносильно тому, что ") лежит в касательной плоскости Тг М (так как задающая г плоскость П не содержится в ТвМ). Значит, условие к = 0 равносильно перпендикулярности векторов г> и У, что, в свою очередь, равносильно условик> 01>;) = О. Таким образом, первая возможность рассмотрена. Рассмотрим теперь случай к ф О.
Вспомним, что каждая кввдратглчная форма однородная функпия степени однородности 2, поэтому 01Л~) = Лз цф и б(ЛЕ) = Л бф для любых вектора 0 б ТрМ и числа Л. Поэтому дК) д(ИЫ ~) 'ОЮ бЙ/М 0' и,:значит, теорему достаточно доказать лишь лля единичных векторов Е. Выберем на кривой 0 натуральный параметр в, такой что; (0) = Р, э(0): ~, тогда гг(0): к гп, чз1г): 1, и нЮ ~Ы) — = ЯО) У) = (й гп Дг) = й (гп ку) = 1 соч 0 что и требовалось.
Если в теореме 4.! в качестве у выбрать плоское нормальное сечение, то векторы т и У окажутся коллянеарны, поэтому сов 0 = +1, гле "+Г' получается тогда и только тогда, когда г>г главная нормаль к -г. '1аким образом, мы доказали следующее утверждение. Поверхности. Вторая фундвлгснтальнвя форма. Слодствие 4.2,3наче»»»»е д(с) второй фундь»л»е»»»валь»»ой формы поверкносп»и ЯХ но единично.н векторе б Е Тр»11 равно плюс или минус кривизне й плоского норжальноео сечения у, проведенного через Р в направлении 11ри это.и ш»ак ешлк»с" выбирается тогда и пт,»ько тогда, когда ьй является гг»ав»»о»1 но1»жп„»мо ссчтшв ~с В чпсп»носпмь Л = (ч)б) !.
Обозначим через уп плоское нормальное сечение, проведенное через Р в направлении ~, и пусть к. кривив»»а сечения 1п в точке 1э. Приводимое ниже следствие нз теоремы 4.1 называется теоремой лХсньс. Следствие 4.3 ХТоорема Манье) Пусть а' Е ТвЛХ ненулевой вгктор, а; и ~ь н,.»покое сечение и плоское норв»от нос сечение. »»роведсннь»е через Р в одном и тон же нпправлснии б. Тогда или од»»перел»с»»но 0 = 0 и йп = О, или кп = усов 0,, дс 0 угол „чеькду главны,ни»»ор»»аля,т» т и и к сечения и у и уп соо»псе»исп»бенно.
Доказательство. Случай й = О разбирается так же, как и в доказательстве теоремы 4.1. Пусть теперь й ф О. Выберем в качестве нормали Хч к поверхности точке Р главную нормаль и к плоскому нормальному сечению э;,. По теорсмс 4.1, Й сов 0 1п сов О уп, дЮ = 40(0 = '' по и требовалось. Пример. Рассмотрим прямой круговой пилиндр в трехмерно л евклидовом пространстве яз, параметрически заданный так: и (»»,и )=из. л 1»» ь и ): йв»пи у (7», и, ): Хь сов 7» Обозначим через ьХ поле нормалей к цилиндру, направленное наружу. Рассмотрим плоскость П, пересекающую вертикальную координатную ось Ол' под углом сс Ота плоскость пересекает цилиндр по некоторому эллипсу. Пайдсм кривизну этого эллипса в его вершине Р, наиболее удаленной от центра эллипса.
Обозначим через с' касательный вектор к эллипсу в точке Р, и пусть Пк двумерная плоскость, проходяшая через векторы Г(Р) и 1С Эта плоскость, о»еви,чяо, пересекает цилиндр по окру»к»»ест»» радиуса Л (этим и хороша выбранная нами точка эллипса). Из следствия 4.3 получасьл, что кривизна Ц Р) эллипса в точке 1' может быть вычислена так: ь(Р) сов(к/2 — о) = 1»»Н, т е. ь(Р) = 1Ч11в»»» о). В частности, если о = к/2 (п»»оскость П совпадает с П,ч), то Л(Р) = 1/Х1, а если о = 0 ~»».»оскость П пересекает ци»пп»др по прямой, .паралле.п,ной оси Ол»), то 1(Р) = со.
Тот же резульга», впрочем, можно получить и непосредственно из теоремы 4.1. Для этого нам придется вычислить обе квадратичные формы 47 Поверхности. Вторая фундллгснтальнля форма. цилиндра, что мы и сделаем. Векторы канонического базиса цилиндра за- писываются так: д„1 = [ — Л, вш и, Л соа и, О), г?ас = [О, О, Ц. Представим всктор норагали Еэг в виде нормированного векторного произведения [д„ы дяг)77[ [д„ы д„~)[[. Получим: ээг = [сони, ып и, 0).
Далее, первая квадратичная форма цилиндра в координатах [и,, и ) имеет вид з лез = Лз[аи')з+ [г?и')з Чтобы найти вторую квадратичную форму цилиндра, вычислим вторыс производные парамстризуюшсго отооражепия г. Получим: д 7' дег даг = [ — Лсоаиэ,— Ле!пи,О)... = О...,, = О. Поэтому вторая квадрати шая форма цилиндра имеет вид: г?7? = — Е?[г?и ) . Обозначим через !7 единичный касательный вектор к эллипсу в точке Р. В координатах [777, из) этот вектор имеет, очевидно, вид И = [177 Г?с 0). Вектор главной нормали в[Еэ) к эллипсу направлен внутрь цилиндра, вектор Еэг[Р) нормали к поверхности наружу цилиндра, полому угол меэкду векторами 77[Р) и Х[Р) равен л?72+ сэ.
Итак, из теоремы 77, получаем: 1-,(Р) Сея[я?72+ а) = = — 1Е Лс -Л[1,? Л) з ! поээому й[Р) = 177[Ля?по), как и выше. Замечание. В дифференциальной геометрии поверхностей сложилась следующая терминология. Объекты и величины, опредсляемые первой квадратичной формои, принято называть;элеаты ами енугарютей геожетрэш. Саму первую квадратичную форму называют иногода енутрснниза ска,элрээьэ,.я проиэведснпеас К впугрсннсй геометрии, например, принадлежат гакие поняээгя как длина кривых, углы между кривыми, площади областей. Однако, как мы видели, первая квадратичная форма определяет нс все. Например, в терминах первой квадратичной формы нельзя вычислить кривизну кривой на поверхности.
Объекты и величины, для определения которых недостаточно первой квадратичной формы, называют элементами внешней ееожсэлрии поверхности или еео.нетрии поеруаменил. 4.3 Главные кривизны и главные направления Пусть, как и вьппс, Р произвольная точка регулярной гипсрповсрхпостп РЕ в К". '1огда, как мы уже знаем, в точке Р определены две квадратичные 48 Поверхности. Вторая фундвлгснтальнля форма. формы: первая форма чз и вторая форма д. Из линейной алгебры известна тзк называемая теорема о паре квадратичных форм, .которая, напомним, формулируется так.
Предложение 4.2 Пуспьь ь линейном пространь тьь чь, в котором фиксирован проозвольный бивне, с помощью сая,нтирнчной негырожденной положительно определенной мапьрапы С задано скалярное произведение (з ). Пусть, кро,.не того, задана квадратичная форма д. ! огда в йо сущетивует базис (е,), ортонормальный относительно указанного скиаярного произведения, а пьакой что форма д в.нсст в нем даогонсыьный вад.
Пра атон, если ьу ота,мапрриуа формы д в негодном базисе, пзо базис (е,) а сооьивстстьующае собственныс числа формы О. относительно формы С могут быть найдены ири рещен|нз следующего харатперастаческого уравнения: с1е1(ь1 — ЛС) = О. Доказательство. Как известно из линейной алгебры (теорема о собственном базисе квадратичной формы) в пространстве ..~о сушествует базис 1);), ортонормированный относительно нсвырожлснной положительно определенной квадратичной формы, задаюгпсй скалярное произведение. Пусть Л матрица перехода к этому базису, другими словами, .координаты Л произвольного вектора в исходном базисе связаны с координата ли Л"у в базисе (Я так: Лу = АХ. Тогда, матрица Су квалрзтнчнои формы чз, задающей скалярное произведение, связана с матрицей С этой квадратичной формы в исходном базисе так: Ат СьЛ = С.
Аналогично, Л~б11Л = Ц. Отметим, что, так как мы выбрали базис (Я ортонормнровюьпым относительно патлато скалярного произведения, матрипа Су это едини пзая матрипа, т.е. 4т,1 Теперь воспользуемся теоремой о приведении квадратичной формы Я в евклндовом пространстве 1Ри к главным осям. 13 силу этой теоремы, форма ь1 имеет ортонормированный собственный базис (е;). Отметим, по, так кзк базис (еь) ортопормированный, матрица формы ьб в нем по прежнему единичная. Ообствснныс числа и собственные векторы формы д могут быть найдены, как известно, прп решении характеристического уравнения с1е1®у — ЛЕ) = О.
Умножив это уравнение на не равный нулю квадрат определителя матрицы перехода А и внеся матрицу Л под знак определите.тя, получим де1Аз с1е1Яу — ЛЕ) <1еь А = с1е1(АтЯ1А — ЛАЕА ) = с1е1Я вЂ” ЛС), таким образом, характеристическое уравнение эквивалентно уравнению Оська — ЛС) = О, что н требовалось. Применим предложение 4.2 к каноническим формам регулярной ьнпсрповсрхности М в произвольной ее точке.
49 Поверхности. Вторая фундвлгснтальнвя форма. Определение. Пусть С и 1,1 матрицы первой и второй квадратичной формы регулярной гиперповерхности М в некоторой ее точке Р. Корни уравнения с!сг!12 — ЛС) = О называются главны ни кривизнами поверхности Л1 в точке Р. Если Лв главная кришюна, то ненулевые решения линейного уравнения )11 — Лоб)Х = О, которые, очевидно, существуют, называются главны.ни напраьлснилм» поверхности М в точке Р. Замечание. Из предложения 422 вытекает, что главныс кривизны и главные направления поверхности не зависят от выбора координат па поверхности.
Слодствио 4.4 11усть Р произвольная точка регулярно»' гт1ерповерхности М. Тогда в касательном пространстве ТвЛХ,ноокно выбрать такой базис, что первая квадратичная формс1 поверхности ь это н базисе будет иметь оид дв = ~~ (йи')2, а вторая квадрати<1ноя форма ад = ~ Л;(Ии')2. При зто,н, указанный баз»с сос»1оит, из векторов г.1авнь1х направлений, а чисош1 Л; являются главными кривизнами по»1рх»ости М в точке Р. Из следствия 4.'2 вытекает следующий результат, поясняющий геометрический смьюл главных кривизн. Следствие 4.ос Главная кривизна Л, поверхности Л1 в то 1ке 11 равна, с 1почностью до знакц кривизне нормального сечения повсрхнонпи в 1почке Р вдоль соотвс»1ствуютего плавного наврав.1сния. Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
