TERM1 (1117971), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ь Ъспражнение 5.1 Выяснтпь, каь преобразуются си.иволы 1(ристоффслл при замене параистризации поверплосппь Ъгпражнение 5.2 Вьлчисллиллль силльолльл 1(ристоффс.ля для дьумсрной по- перхнослпи вращения. Коэффициенты деривационных формул связаны соотношениями, которые по.лучаются при вычислении двумя разными способами третьих смешанных производных радиус вектора и вторых смешанных производных вектора нормали.
Одно из ннх бьио впервые записано Гауссом, а остальные Петерсоном, ГИайнарди и Кодацци. Их общий вид носит сейчас в литера суре название уравнений Петерсона Кодацпи. Именно онн, как мы уже отмечали, образуют набор необходимых и достаточных условий интсгрирусмости системы, к которой сводится зада ла о восстановлении поверхности по перлзой я второй квадратичным формам. Однако эти уравнения и эта задача лежат за рамками нашего курса. Нас будет интелэесовать лишь уравнение Гаусса, записанное им для случая двумерной поверхносгп в .йз.
Из этого уравнения Гаусс получил свою знаменитую Тльолста суседлит "стистатсльнухз теорему". 5.2 Теорема Гаусса Так называемая "Блистательная Теорема Гаусса" состоит в следующем. Теорема 5.1 (С. Р. Сания: ТЬеогеша ЕКгоКлпш) Гауссова кривизна дву,нсрной поверхности не лтнястся при ллзломстрии. длругилли слова.ни, дву,ллерные изло.неплрличньле поверхности имеют в сооплвеплствуннлЛллх точках одинаковую гауссов у криьизну. Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. равенство: д1д ча — (Чнсдь длудлч)д а Умнолким последнее равенство на дн, и просуммируесм по всем д.
Поскольку ~а даддду — — бл символ КРонсксРа, полУчим в итоге УРаьнсниЯ ГаУсса: 1, длр ди' ( ' ') ( дг„'„дг;1 "(„,~-,"~( '-" 1))- "-" До оного момента, заметим, мы нигде не пользовались тем, что поверхность М двумсрна. Теперь запишем уравнение 1 аусса для двумерной поверхности,положив л' = 1 и 1 = 2. Получим: ,л .д "'(д д Л (, - .1 ) дг11 дглз х р -я д я д дллзл( з л + ~ (1лл(ьз 1лз1йс! = "слЮ~ диз дил где О матрица второй квадра-личной формы. Однако, в силу утверждения 4.2, гауссова кривизна К равна отношшппо определителей первой и второй квадратичных форм. Из атоса факта и уравнения Гаусса вытекает, что гауссова кривизна выражается только через элементы первой квадратичной формы. Доказательство закончено. Приведем пример того, как работает теорема 5.1.
Следствие ос.1 Нсскакусо часть стандартной с1ауягрной сферы нельзя изо- лстрично опьобразшть на ссяоскосспь. Доказательство. Действительно, в противном случае их гауссовы кривизны совпадали бы. Однако, гауссова кривизна сферы радиуса В равна 11сЛ~, а л ауссова кривизна плоскости равна нулю.
Доказательство закончено. Замечание. Отметим, что теорема Гаусса имеет ряд нетривиальных обобшепнй па, случаи поверхностей произвольной размерности. Например, оказывается аналогично можно доказать, что все чстные злсмснтарныс симметричные мяогочлсны от главных кривизлл, т.с. выражения вида кс, йю Сс( (сьр где 2 < 2р < и опредслялотся первой квадратичной формой гиперповсрхно- сти в йсц З'пражнение 5.3 ГЛьсасдипсс онпаашиеся ураансния Лсссссрсона йодации.
Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. 5.3 Абсолютная и ковариантная производная касательного векторного поля Запишем теперь производную произвольного касате;п,ного вектороного поля Х вдоль координаты и'. Как и вылив, запишем вектороное поле Х в виде линейной комбинации координатных векторных полон: Х = ~ Ход„ '1огда, в силу предложения 5Д, получим: дХ дЛ д . дв-+~хи —,.дв, = а в — ь,... ~~(х~~~с;,а.~„ак)) = ~ '('~', + ~ Гв Х") а„. + (~ ~,д Хр) Х Мы видим, что производная касательного векторного поля Х по координате и' имеет, вообще говоря, нормальную составляющую. и поэтому нс является касатслыпем векторным полем.
Естественно определить на касательных векторных полях другое дифференцирование, такое, чтобы его результат был бы все-таки касательным векторным полем. Опрвдоионин. Еовариантнои' производаоя ~7,Х касательного векторного поля Л по координате и' называется касательное векторное поле, полученное в каждой точке из вектора —,, ортогональной проекцией на касатсльох дв' ную плоскость: где через ( )т обозначена операция ортогонального проектировании на ка- сатслы|ую плоскость.
Непосредственно из определении получаем следующее выражение длн координат векторного поля ХчХ. Предложение ос.2 Пусть в окрестности пьочки Р регрлярнои' гиперповертности Л1 задано касательное векторное поле Х, инеттее в координатах (и',..., ио 1) вид Х = ~ „Х дв-. Тогда координапня касательного векторного поля T;Х ои~носитсльно (и~,..., и" ) могут быпьь вычислены так: (С.„Х)з = ' ~ Г',вХ". Здесь Г„' си.ивовы Кристоффеля поверхности ЛХ.
Замечание. Операция ковариантного дифференцирования опрсделястся только первой квадратичной формой поверхности. Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. В следующем упражнении собраны элсмснтарныс свойства операции ковариантного дифференцирования, которые легко выводятся ич определения Упражнение 5.4 Покссзаннь, что операция коварианпсного дифференци- рования обладает следуюиссыссс сс~оссспьссамсь ° Линеиностьс сс,(оЛ + ЛУ) = очссХ+сэсг,У, где Х и У пртсзвояь- ньсе касательньсс искторныс паяя, а о и 3 ссроизиояьньн числа.
° ПРавило Лейбница: 7сДХ) = ~додис) Х + )~7,Хс гдс Х пРоизоояьнос касательное векторное пояс, и Р произвосьная гсодкая функция на поверхности. Замечание. В терминах ковариацтног о дифференцирования, символы Кристоффеля Г, имеют следующий прозрачный геометрический смысл: это ь коэффициенты разложения по векторам канонического репера ковариантной производной утго координатного поля по с-й координате: ~гсдсн = ~ ~Г,",д„- а Замечание.
Удобно распространить операцию ковариантного дифференцирования на функции на поверхности, положив по определению ~7сф = д) /дис для произвольной функции с,. Нам также будет важно установить следующее важное правило,дифференцирования скалярного произведения векторных полей. Предложение 5.3 Еонарионтное дифференцирование сохраняет сксрвую киадуснпичную форму ссиверхноспси в следующем смысясс сели Х и У произнояьные косатеяьные векторньсе ссо ся на поверхссоспссц то Доказательство.
Этот факт может бы нь доказан двумя способами. Первое доказательство получается прямым подсчетом. Пусть (сс~,..., и" ) координаты на поверхности. В силу предложения эЭ2, имеем: (~сХ,У) = ~ Ус, (,, Уд+ ~~ Г,'",Х УВ). из Точно так же (Х,~,У) =~ Уие(Х +Х '~ ГдтУ'). Элеъленты дифференциального исчисления на поверхностях.
70 Складывая эти два равенства, и пользуясь определением символов Кри- стоффеля получаем: ЯХ,У)+(Х,~'У) =~ Уа,( УЛ+Ха )+ дЛ -, „дУ" ,„(Л,. ЛПь Л,„~) „,„) дн длл д1! Теперь заметим, что после преобразований типа ~' дь„,д ~ = дг в выражениях для символов Кристоффеля в последней формуле четыре из шести слогасмых сокращаются, а два оставшихся сворачиваются. В итоге нд чд Последнее выражение, очевидно, совпадает с ковариантной производной скалярного произведения векторных полей Х и У: лдх,лз=,''л(~д.ах г') дЛ" дУд ля Доказательство закончено. Второе доказательство пе требует таких громоздких вычислений.
Воспользуемся определением ковариантной производнои. 'Тогда, очевидно, дХ ~дХ г ~дХ~' ~дХ~' где через ( )' обозначена ортогональная проекция на нормаль к поверхности. Очевидно. для любого касательного поля У, (,,',,У) = (~;Х,У), так как нормальный вектор (л)' перпендикулярен касательному вектору У для любого исходного вектора б. Итак, д(Л.,У) лдЛ. у~ лТ ду~ (~,Л.у) (~~,у что и требовалось.
Элеълентьл дифференциального исчисления на поверхностях. 71 Замечание. Предложение б.З иногда называют предложением о ковари- антной постоянности метрики. Как и в случае обычного дифференцирования, удобно определить ковариантную производную вдоль произвольнол о касательного векторного поля. А именно, если Х и 1 касательные векторные поля, то определим ковариаллтллулло производнуло ллхУ поля У вдоль поля Л так: ~ Х 1 — ~~' Х ~иу. Иепосредственно из определений вытекает следуюплее утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
