TERM1 (1117971), страница 15
Текст из файла (страница 15)
'Утверждение. ос.1 !!усть Х и У ьосатезьныс вскторныс поля на рс.у,лярной гипсрповсртлости л17 с координатаяи (ллл,...,лло '). 7огда слхУ это встворнос ллоле, л-ая координата которого ижл.ст вид (С- У)'=~ ' Л +'~ С„',Х У" в ьи Доказательство. Доказательство получается прямым вычислением. Дей- ствительно, и силу определений и предложения !л.2 имеем: ~ 1 ='~ Х ~уиУ= ~" (Х" ~ (~иУ)лгв) = — Ч х (~ ( + Ч с~,хь), )— = Л (Л л . х' + ~ г.',х л ").г в яо что и требовалось.
Из у гверждения 5.1 и предложения о.З немедленно вытекает следуюший факт. Слелдствио ое.2 17утпь на поверхности лИ задано три касатсльньы век- торных поля Хл, Лз и У. Тогда и.нсвт жсслпо сзлсдуклилсс соолллнотснисл ~"у(Хы Лз) = (17гЛл, Хл) + (Хл, ьлгХз). 13 дальнейплеьл нам также понадобятся следуюшие обозначения. Пусть Х векторное поле на поверхности лИ, и 7 регулярная кривая на М, параметризованная параметром !. Рассмотрим ограничение Х1!) векторного поля Х на кривую;:. Обозначим через тг'лХ ковариантную производную поля Л вдоль касательного к кривой поля 7. Гсометри леский смысл Элементы дифференциального исчисления на поверхностях.
этой операции ясен: мы дифференцируем поле Х(!) по ! н результат дифференцирования ортогонально проектируем на ЛХ. Если (и1,..., и" 1) регулярные координаты на 51, то поле ~гХ имеет вид: (~ыХ) = ~~, и'+ ~Г; и'Х". 5.4 Геодезические Воспользуемся теперь разработанной выше техникой для вычисления вектора ускорения произвольной регулярной кривой па поверхности, параметризованной натуральным параметром. Напомним, что вектор ускорения натурально параметризованной кривой всегда перпендикулярен ее вектору скорости, см. предложение 1.4. Пусть йХ регулярная гиперповерхносчь задшшая параметрически в виде г:!! — ь Ь",и пусть э регулярная кривая на ЛХ,параметризованная натуральным параметром в. Фиксируем на йХ какие-нибудь коор,пшаты (н,..., и" ), и пусть и'(в), ! = 1,..., и, координатные функции кривой Ооозна п1ы через г (н,..., и" ) координатные функции поверхности ХХ.
Как и вьппе, будем обозначать дифференцирование по и' нижним индексом ь и точкой дифференцирование по натуральному параметру л. Тогда вектор скорости у кривой ", как элемент касательного пространства к поверхности имеет вид: ч) = ~сии и Нродифференцируем еше раз. Получим след!четное выражение для вектора ускорения -), Перепишем последнее соотношение, воспользовавшись деривапионными формулами, см. прсдложсние 5.1, и затем переменим порядок суммирования.
!! олучим: ';=У'(Е(У'г".;.+д.,лр) 'Ф+..ц ) = д л — х (Ес.,с" ~еь)., ~ (Е,.й с)н. Посмотрим повнимательнее на коэффнпмент при векторе гь и выполним ряд формальных преобразований. Представив производную по натураль- Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. ному параметру я в вцдс д 'и аа ~-~ ди. можно переписать вторую производную йия в виде я х дил,„ й =язл, й", ди" поэтому, в силу у пзержденпя 5.1, выражение,лля вектора ускорения окон- чательно переписывается в виде где через ц обозначена вторая квадратичная форма поверхности. Замечание. Выражение 'к',, ) в данном контексте имеет лишь следующий формалыпм1 смысл: это касательный вектор к поверхности, определенный в точках кривой.
Его координаты в каноническом базисе (гя) имеют вид Геди'ил + й~. бд Отметим, что так как векторное поле ч определено, вообще говоря, лишь в точках кривои Т, операция Tг) не определена. Иа самом деле, можно показать, что поле ф можно продолжить па некоторую окрестность кривой у в М, и что результат ковариантного дифференцирования вдоль ~ в точках кривой пе зависит от такого продолжения.
Но мы нс будем сейчас тратить ца это время (в дальнеишем мы проделаем э со в существенно более общих предположениях). Итак, доказано следующее утверждение. эетверждение ое.2 Вектор ускорения нао~уралбно пара нюпризобанной кривой Т на гиаернобераноети б каждой точке раеккгдбшается е суяяну касаlпсльноео бекепода 77ау и ноукальноео бск1пОРО Ц(УНУ).
Напомним, что вектор ускорения в натуральной парамстризапии перпендикулярен вектору скорости. Таким образом, если у произвольная регулярная кривая на поверхности, то в каждой точке из Т определено два перпендикулярных к кривая вектора: первыи это вектор Х(Р) нормали к поверхности, и второй это вектор ч)Р) ускорения кривой в натуральной параметризации.
Если кривая бирсгулярна, т.с. вектор ускорения отличен от нуля, то определен сонаправленный с ним единичный вектор главной нормали к кривой в точке Р. Вообще говоря, вектор ускорении -'~(Р) и вектор Х(Р) нс обязаны быть коллинеарны. Крнвыс для которых это так обладают многими замечательными свойствами и выделяются в отдельный класс. Элементы дифференциального исчисления на поверхностях.
Определение. Кривая у па поверхности ЛХ называется еодезичсской, если в кажлои точке Р из; вектор ускорения;(Р) в натуральной параметризации коллинсарсн вектору нормали Ху (Р1 к поверхности. Из утверждения 5.2 немедленно получается слсдуюшсс описанис геодезических. Утверждение 5.3 Регулярнол кривая; на поверхноспт ЛХ явллеспся геодезической, если и только сели в каждой точке из 7 имеет место раоснгтоо Г-л = О. Если на поверхности узиксированы координаты (и,..., и" )1, то последнее равенство зквивалстпно следующей систс.не ураонсний: и'"+~ Г"„уи'"и' =О, 1=1,...,п — 1. Определение.
Уравнения из утверждения 5.3 назыавются ураонениями геодезических на гиперповерхаоснпи ЛХ. Итак, кривая 7 является геодезической на поверхности М если и только если ее координатные функции удовлетворяют уравнениям геодезических. 'Упражнение 5.5 Показать, ~то „нодуль вектора скорости -'; геодезию- ской .~ф не зависят, от П Упражнение 5.6 ХХоказтпь, что если "1ф геодезическая, то для произвольного шола и ф О кривая; (а1) толсе геодезическая в своей области определения.
Упражнение 5.7 Какие еще занены параметризации Х = 1(т~ оставляют геодезическую 7(1) геодьзическойй Заметим, что уравнения геодезической представляют собой ситсму дифференциальных уравнений второго порядка. Иозтому для них оправе,ллива стандартная теорема существовании и единственности решения задачи Коши. Из агой теоремы немедленно выл екает теорема существования и единственности геодезической на поверхности. Следствие ое.З Пусть М рстХлярная гиперповсрхность, Р ее произоольноя спочкц и и Е ТрЛХ произвольный касательный' оектор к М в то ~кс Р.
Тогда но ЛХ срцсствует гсодезо ~еская О, выходтцая из Хз и такая, что ее выстор скорости в точке Р равен и. Более того, такая геодезическая ч единшпоснна в том смысле, что любыс две такие геодезических совпаданзт в пересечении областей определения. Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. Вернемся к выражению для вектора э ускорения произвольной натурально параметризованной кривой у на поверхности. Папомним, что модуль всктра э называется кривизной кривой. Из утверждения 5.2 и теоремы Пифагора вытекает, что кривизна к(Р) натурально параметризованной кривой у в произвольной точке Р может быть вычислена так: й(Р) = Поскольку вектор у имеет единичную длину.
то второс слосемое зто в то тости кривизна йн(Р) нормального сс сония в направлении ), см. следствие 4.5. Первое слагаемое обы шо обозна ~ают через й, (Р) и называют геодезической кривизной. кривой у в точке Р. Непосредственно иэ определений и утверждения 5.3 вытекает слсдуюший результат. 'Утверждение 5л4 Рсгулярнол кривая 1 но повергности является геодезической если и только если ее геодезическая кривизна равна нулю в каокдой точас.
В терминах геодезической и норэпыьной кривизны можно, кзк мы уже видели, вычислить кривизну регулярной кривой на поверхности (как кривой в объемлющем пространстве). А именно, имеет место следующее утверя,дение. Утверждение. 5.5 Кривизна к регулярной ьривой; С 'л", лсисатсй на поверлноспэи М,,нолсет йьмпь вьтислена так: где. 1с ееодсэическал криьизна криьой у, а йм кривизна нормального свечения в напрев,~енин вектора -). Замечание. Отметим, что мы, фактически, дали три эквивалентных определения геодезическая: 1) кривая на поверхности, вектор ускорения которой (в натуральной па- раметрызации) колинеарен вектору нормали к поверхности, 2) кривая, удовлетворяющая уравнениям геодезической Tч-) = О, 3) кривая нулевой 1 еодезической кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
