TERM1 (1117971), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Х! 1~ ! ( уя- у., Л! ( х поэтому !+?з+?з ), -.)'.1' 1+!з,!' и, значит, средняя и гауссова кривизны, в соответствие с предло кепи ем ??, имеют вид: ( + )К)Ул~ УхУуУху + ( + У~)Ууу . ?ке?Хя У х гз )2)а/з ' (1 4 ?2 ! )2)2 Поверхности. Вторая фундалэснтальнгя форма. Упражнение 4.3 Вычислить среднюю и гауссоау кривизны для гиперпо- веРхности, заданной гуафээколк хп = Х(х~,... охп '). 'Упражнение 4.4 Вы шслить среднюю и сауссоеу кривизны для поверхно- сти, задиянои' нелепой эруээкэ1ээей Г(х',..., хп). Пример.
Пусть ЛХ = Вз стандартная сфера радиуса й. В качестве ээХ выбеРем внУтРеннне ноРмали к Взэ т.е. ноРмелпк напРавленные в пРотивоположную сторону по отношению к соответствующим радиус-векторам. '1ак как каждое плоское нормальное сс эенпе является окружностью радиуса Хэ, кривизна каждого такого сечения равна 1ээй.
Поэтому кривизны главных нормальных сечений также равны 1ээВч и, значит, средняя кривизна равна 2э'11, .а гауссова равна 1ээ!Хз. 4.5 О выборе координат на поверхности В разных задачах бывает полезно выбрать такос представление поверхности (т.е. такие координаты на поверхности), для которого первая иэ'или вторая фундаментальная формы имеют наиболес простой вид. Мы уже знаем, что при замене параметризапии матрицы первой и второй форм меняются как матрицы квадратичных форм, причем в качестве матрицы замены надо взять соответствующую матрицу Якоби. Пусп, ЛХ поээерхность, заданная параметрически с помощью отображения э: Й -э х", и (и,..., и" ) координаты на атой поверхности, поролсденныс е.
Пусть Р Е М. Выберем произвольную невырожленнуэо матрицу (с'„) размера (и — Ц х (и — 1) и зададим с ес помощью линейное преобразование касательного пространства 1) Л1, переводящее канонический базис (дю) в базис (й,), имеющий внд й„= Л э с'„д,. Пусть (см..., е„э) стандартный базис в пространстве Ь" ~ Й.
Рассмотрим линейное преобразование С, отображаэоэпес .'к" на себя и переводящее базисные векторы е, в базисные векторы е„= Л ', с" е,. !огда координаты и" пространства, "', порожденные базисом е„, связаны с кооршшатами и' так: эр = ~ „с,',и".
Построим новую параметризапию г: Й вЂ” э '" поверхности М, положив Й = С (!1) и г = гоС. '! огда эяатрнца Якоби, с помощью которой осуществляется и!эеобэ!эжэоваэше координат фундамен сальных форм поверхяости, составлена из частных производных дэРХди п равна С. Итак, мы доказали следукнпнй резул ьтат. Предложение 4.6 Любое линейное. прсобразоеаээпе кас~ательээого просгпроястаа ТрМ поверхности ЛХ ложно видать за.иеной координспп иа поьерхности ЛХ, т.с. зазэеной пара.петри эсского представления отой посэээрхяостп. В часэтээостэд для любой пэочки Р Е М существуют такие координаты иа М, что е них индуиирооаиная жепэрика, аычисээсиная е точке Р, Новсрхногти.
Вторая фундллгснтальняя форма. .задается, гдини гной,матриией, а гггпорая фундаментальная форма е этой пгочке диагональной матрицей. Нриведсъг приъгер координат, часто бывающий полезным в разных вычислениях. Пусть М некоторая двумерная поверхность в .йз, и Р Е М.
Зададим поверхность М в окрестности точки Р в виде графика функпии - = /1л, у), выбрав в качестве коорлинатной плоскости ХУ касатет,ную плоскость ТрМ, и, поэтому, в качестве оси - прямую, перпендикулярную к 'ГрМ. '1огдгг в этих координатах точка Р равна 10, О, О), и график функции / касается плоскости ХУ в точке Р, поэтому /л10, 0) = зи10, 0) = О. Г 1+ Л .И„') Вспоминая, что матрица метрики имеет вид ." ~з г видим, что в точке Р эта матрипа единичная. Вычислим вторую фундамснтальнукг форму, а также среднюю и гауссову кривизны в точке Р. Имеем (- '1=(- "1 /2 /2 гл зггг згзгг / гс злгг згги / г: Л Н = /',. + /ью Л = /,.~„— /,.„. Упражнение 4.5 Обобщить предыдущую контпрукцию на случай ипгрпоьерхности л" = )1л''.....
л" '). Возникает естественный вопрос: можно ли так подобрать координаты на поверхности М, чтобы индупированная метрика задавалась единя шой матрицсй в камедей точке". Оказывается, в общем случае ответ отргшатслсн. В следующем семсгтрс лы введем в рассмотрение так называемый тснзор кривизны Римана, исследуя который можно понять, когда существуют такие координаты 1сушегтвовагсие таких координат равносильно занулепикг тензора Римана). Оказывается, в двумерном случае вид метрики можно существенно упростить, выбирая подходящие координаты. 10тзсетиьг сразу, что этот результат не обобщается на болыпие размерггости.) 11азовем координаты (и, и) на двумерной поверхности М конформными пли изотерлгг г вски я и, если в них индупированнзя метрика имеет вид дь~ = Л1гг, и)1ди~ + диз), где Л(и, и) некоторая положительная функпия.
Этот рсзуггьтат мы приводим без доказательства. Тсзорома 4.2 10 сущсгслтвовглнии конформных координат) На любой двумерной поьсркноспщ М можно еьести конформные координачгы. Ниже мы покажем, как можно использовать эту теорему, на примере исследования важного класса двумерных поверхностей, называемых минимальными поверхностями и повсрхногтями постоянной кривизны. Поверхности. Вторая фундлллснтальнвя форма. 4.6 Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны Выше мы привели теорему Лапласа 11уассона, проясняющую физическилл смысл средней кривизны двумерллой поверхности <напомним, средняя кривизна поверхности раздела двух однородных равновесных физических сред пропорпионалл,на разности давлений).
Частными случаями поверхностей раздела двух однородных сред являются мыльные пленки <средняя кривллзпа равна пулю) и ъльлльные пузыри <срсдняя кривизна постоянна). Определение. Гяперповсрхность М пазьлвастся .вини яа.льно71, если се средняя кривизна тождественно равна нулю. Поверхность ЛХ называется поверхностью постоянной гредн7 й кривизны, если ес. средняя кривизна постоянна. Рассьлотрлльл двумерную поверхность ЛХ в ч, заданную парамстричсски в виде х = г<и, 7 ), где х = <х, х, х' ) стандартные координаты в з Р~. Предположим, что координаты <и, и) являются конформнымн <по теореме 4.2, такис координаты всегда можно выбрать), т.с. индупированная метрика двз в координатах <и. и) имеет вид; двз = Л<и, и) <диз + для), где Л<и, и) некоторая положительная функпия.
Тоорл7ма 4.3 Пусть двумерная поверюлость ЛХ в ц(з азадана параястричсски ь виде г<и, и), причет координать7 <и, и) конформны. Пусть Н = 17ц, гц]77] <гц, гц]] сд77нлтная нерваль к повсрхноспли М. '1 огда д 7' д 7' Ьг =, +, = гц, + лц„= ЛНЛ7, диз диз где Н средняя кривизна повсрхнослпи М, вычисленная по отноилснило к Л. Н часлпллолллп77, лап.ласиан схг радиус;вектора г перпендикулярен повгрхнотпи М. Доказательство. Покажем сначала, что 7лг~ М. Дсйслвитсльно, <ЫГ Гц) цц <72 ц + 72„, 7 ц): <Гцц, 7 ц) + <7 цц, 7ц) 1 ! 1 1 1 2 ' ' ' 2 2 ' 2 2 <лц ли)ц + <лц, 7ц)ц <72 лцц): Лц + О <лц лц)ц: Лц Лц: О.
Аналогично показывается, что <Лг, гц) = О. Вычислим теперь <Лг, дл:). Имеем <:: ) = < .,-7)+< ',,") = б1 с другой стороны, с ~1цл = 717, позтому и = 17<0 ® = 171ц777л, откуда <суг, Я) = ЛН ~ Лг = ЛНД7, что и требовалось. Повсрхпости. Вторая фундллгснтальнвя форма. Радиус-ггектор т(лг, с) назовем сармонилсскин, если дзг с)зт схт=,, +, =О. с)из с)из Приведем важное следствие предыдущей теоремы. Следствие 4с8 Двумерная пов»ртность»ТХ в мь, заданная парамшпричс*- сии в вид».
г)и, л,), сд» (и, и) конфолз,.нные коордлгггатьц лвллгпгсл,нинимальной, се ли и только если радиус-вскпго)г т(щ и) гармонинсскии'. 1",ели поверхность задана графгппнл функции т = )1т., у), то условие сс минимальности, в силу проделанных ранее явных вычислений средней кривизны, записывается так: ~1+ 1,')Ттп -~.Т»А.Т», + ~1+.Тл)Т,и = О Это уравнение, пай»1сннос Ойаграпжеьг, пазьгвастся уравнение и мини »гольных повсртностсй. Интересно отметить, что хотя для малых областей плоскости ЛУ существует много разных решений этого уравнения, решений, определенных на всей плоскости, нс так уж много. Одним из очевидных решений является произволыгая шлнеглная функпия. Оказывается,.
других таких решений нет. Приведем без доказательства следующую теорему, принадлежа|цую Бернштейну. Теорема 4.4 (Бернштейн) Если Т(т, у) рстиснис. уравнения минимальныт пввсртнвстсй, определенное на вгсй плоскости ХУ, то функция Т линейно. Приведем епге некоторые примеры минимальных поверхностей.
Пример. Опишем все минимюгьныс поверхности вращения, т.с. поверхности вращения нулевой средней кривизны. Т!оверхность вращения, напомним, получается при вращении графика положительной глалкой функции Т вокруг оси изменения параметра. Задании поверхность вращения ЛХ как отображение т: П вЂ” т хэ так: т~(1с, ) = Т(т) сов сс, т~[:,с, ) = Т1») в)п:р, т~(1с, т) = =.
Векторы канонического базиса в точке )1с, ») имеют вид: дэ: ( 11 )в!п1с, г1 )совка.О)> д»: Тг 1в)гон»с. г 1»)вгпт»,1), поэтому первая квадратичная форма поверхности вращения имеет вид: д' = Ф )) 1Ф)з+ (1+ У'ТзИз)1дс)з Поверхности. Вторая фуггдамеггтальггая форма. Зададим поле нормалей на поверхности И как нормиронаглное вскторнос произведение векторов канонического базиса: гз (р, з) = ', = (соя(р,вззз р, — Г"'( )). ~ [Д, З,] ~ 1+ (р (з))з Отметим, по это внешняя нормаль. Вы пылим вторукз квадратичную форму поверхности ЛХ. Поггучизз( -у'(я)Ир)з+ уа(х)Из)з гз г (г( ))' Вычислим теперь среднюю кривизну поверхности вращения, воспользовавшись для этого утверждением .).2) Н1Р) = лгасс(С бл)— г'()№))* Л )(~+(Г(*))г) 1+ (г(*))' Таким образом, условие равенства нулю средней кривизны поверхности вращения можно записать в виде: р" 1 )уф — 1Д'1л))' — 1 = О.
Проинтегриро(зав полученное дифференциальное уравнение, нахо,(им: Дз) = а сов1)1л)га) + (). Это так называемые кате)го)где) поверхности, полученньге при вращении цепной л)лини. Их можно наблюдать, опустзпз ьз мыльную водз проволочный контур, состоящий из двух окружностей. Один из катеноидов, а = 1, () = О, показан на рис. 9.
Рзлс. 9: 1хатснозгд поверхность вращения нулевой средней кривизны Вше одним примером минимальных поверхностей является еслако)гд, замстаемый прямой линией, которая равномерно движется вдоль нскоторой оси и вращается вокруг нес. При специальном выборе координат н .аз, Поверхности. Вторая фундя льеугтальняя форма геликоид можно записать в тлде х, = ьь сове у = игйпь : аьд где а некоторая ненулевая постоянная 1ььроверьте, что гсликоид является минимальной поверхностью). Напомним, что яинейчаяьой поверхностью называется поверхность, замстаемая пря лой линией при произвольном се движении.
Оказывается, что имеет место с.ьеььУьопьий РезУльтат. Предложение 4.7 11хаталан) гдинейчатая поверхность ьыььщмиььна, если и ьььоьько если она явяястсн или и ьоскостью, или геьикоидом. 'Упражнение 4.6 Доьалсите теорему?ьаьпаььана. 4.7 О теореме Бонне Возникает вопросе а вес ли знают про поверхность ее первая и вторая кваратичные формы". Может бьгть следует определьггь еще несколько квадратичных форм или достаточно уже определенных нами двух? Ответ на зти вопросы дает теорема Бонне. '1'о шо сформулироватт ее мы еше не готовы, поэтому дадим лишь 'предварительную версию".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
